Đề khảo sát chọn đội tuyển Toán 8 (Vòng I) - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Trần Mai Ninh (Có đáp án)

 PGD&ĐT TP THANH HOÁ
 TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN
 TOÁN 8 NĂM HỌC 2023 – 2024 (VÒNG I)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi 02 tháng 12 năm 2023
 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
 Bài 1: (4,0 điểm) 
 a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 b) Cho 2; a b c abc. Chứng minh: .
 a b c a2 b2 c2 a b c
 Bài 2: (4,0 điểm) 
 a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 
 b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức 
 g(x) = x2 + 3x – 10.
 Bài 3: (4,0 điểm) 
 a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố.
 b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương
 Bài 4: (6,0 điểm)
 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx vuông góc 
 với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). Qua A vẽ đường thẳng 
 vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng qua O và song song với AB cắt AM ở D, 
 AC ở F. Đường thẳng MO cắt AB ở E. 
 a) Chứng minh rằng: EF = AO.
 b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng. 
 2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là giao điểm 
 của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. Chứng minh rằng: IG//MP
 Bài 5: (2,0 điểm) 
 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 0 a,b,c 1. Chứng minh rằng: 
 a 2 b 2 c 2 1 ab bc ac
 ---------------Hết----------------
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 1 PGD&ĐT TP THANH HOÁ
 TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM 
 Biểu chấm gồm 02 trang KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 - VÒNG I
 NĂM HỌC 2023 – 2024 
 Bài Nội dung cần đạt Điểm
 a) Cho x – y = 2. Tính giá trị của biểu thức: M = 2( x3 – y3) – 3( x + y)2 2,0
 Ta có: 
 M = 2(x3 – y3) – 3(x + y)2 = 2(x – y)(x2 + xy + y2) – 3(x2 + 2xy+ y2)
 0,5
 M = (x – y)2 
 0,5
 Mà x – y = 2 nên M = (x – y)2 = 4.
 0,5
 Vậy với x – y = 2 thì M = 4.
 0,5
 1 1 1
 b) Cho 2; a b c abc. Chứng minh: 
 a b c
 Bài 1 2,0
 4,0đ 1 1 1 1 1 1
 .
 a2 b2 c2 a b c
 2
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2
 Vì 2 4 4
 2 2 2 0,75
 a b c a b c a b c ab bc ca
 1 1 1 2(a b c)
 2 2 2 4
 a b c abc 0,5
 Mà a b c abc
 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 2 
 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c 0,75
 a) Tìm x biết: (x – 3)3 + (2x – 1)3 = (3x – 4)3 2,0
 Đặt x – 3 = a; 2x – 1 = b thì 3x – 4 = a + b.
 Ta có:
 x 3
 a 0 x 3 0 
 1
 a3 b3 (a b)3 3ab(a b) 0 b 0 2x 1 0 x 
 Bài 2 2 1,5
 a b 0 3x 4 0
 4.0đ 4
 x 
 3
 1 4
 Vậy x 3; ;  0,5
 2 3
 b) Tìm a, b để đa thức f(x) = ax3 + bx2 + 5x – 50 chia hết cho đa thức 
 g(x) = x2 + 3x – 10. 2,0
 2 Ta có: g(x) = (x +5)(x – 2) 0,25
 f(x) chia hết cho g(x) nên f(x) = (x +5)(x – 2).k(x)
 => f(2) = 0 và f(-5) = 0 0,75
 Từ f(2) = 0 => 8a + 4b + 10 – 50 = 0 => 2a + b = 10 (1) 0,25
 Từ f(-5) = 0 => -125a + 25b – 25 – 50 = 0 => – 5a + b = 3 (2) 0,25
 Từ (1) và (2) suy ra a = 1; b = 8 0,25
 Vậy a = 1; b = 8 thì f(x) chia hết cho g(x). 0,25
 a) Tìm số tự nhiên n để B = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố. 2,0
 Ta có: B = (n – 2)(n2 + n – 5)
 B là số nguyên tố nên (n – 2) ; (n2 + n – 5) là ước của 1 0,5
 + Nếu (n – 2) = 1 thì n = 3 khi đó B = 7 (chọn)
 Nếu (n – 2) = -1 thì n = 1 khi đó B = 3 (chọn) 0,5
 2
 Nếu n + n – 5 = 1 thì (n + 3)(n – 2) = 0 0,5
 Với n là số tự nhiên nên n = 2 khi đó B = 0 (loại)
 Vậy n = 3 và n = 1 thì B là số nguyên tố. 0,5
 b) Tìm n nguyên để C = n4 + 2n3 + 2n2 + n +7 là số chính phương 2,0
 Ta có: C n4 2n3 2n2 n 7 n4 2n3 n2 n2 n 7
 n2 ( n 1)2 n(n +1) 7. Đặt n(n+1) = y ta có C = y2 + y + 7
Bài 3 Vì C là số chính phương nên 0,25
4,0đ Ta có : y2 y 7 k 2 (k N) 4k 2 4y2 4y 28 4k 2 (2y 1)2 27
 (2k 2y 1)(2k 2y 1) 27 0,5
 Vì 2k 2y 1 2k 2y 1; 2k 2y 1 2k 2y 1 4k
 2k 2y 1 1 k 7
 *) 
 2k 2y 1 27 y 6
 0,5
 Khi y 6 ta có n(n 1) 6 (n Z) n 2; n 3
 2k 2y 1 1 k 7
 *) (loai)
 2k 2y 1 27 y 6
 2k 2y 1 9 k 3
 *) n(n 1) 1 (loai)
 2k 2y 1 3 y 1 0,5
 2k 2y 1 3 k 3
 *) (loai)
 2k 2y 1 9 y 1
 Vậy n = 2; n = - 3 thì C là số chính phương. 0,25
 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ tia Bx 
 3 vuông góc với BC (Bx cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC). 
 4,0
Bài 4.1 Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AO cắt Bx ở M. Đường thẳng 
 4,0đ qua O và song song với AB cắt AM ở D, AC ở F. Đường thẳng MO cắt 
 AB ở E. 
 a) Chứng minh rằng: EF = AO.
 b) BD cắt CM ở I Chứng minh rằng: Ba điểm E, I, F thẳng hàng. 
 M
 A
 D
 F
 E I
 B C
 O H
 1. a) Ta có: 
 Mà OA=OB nên OM là trung trực của AB => OM  AB tại E và EA= EB.
 0,5
 => B· EO 900
 0,5
 OD // AB; AB  AC=>OD  AC tại F=> ·AFO 900
 Mà B· AC 900 (GT )
 1,0
 => AEOF là hình chữ nhật => AO = FE
 1. b) Ta có AOC cân ở O nên đường cao OD đồng thời là phân giác
 => AOD COD O· CD 900 DC  BC BM / /CD và AD = CD.
 Câu 1 0,5
 4,0đ Gọi giao điểm của AI và BC là H.
 IM BM AM
 MB / /CD IA / /CD IH / /CD / /BM
 IC CD AD
 IA AM AM.CD 0,5
 Do IA / /CD IA 
 DC MD MD
 IH IC AD IH CD
 Do IH / /MB ;MA MB;CD AD 
 MB MC MD MA MD 0,5
 AM.CD
 IH IH IA; EA EB IE / /BC.
 MD
 0,5
 Từ IE//BC; EF//BC=> E, I, F thẳng hàng.
 4 2) Cho tam giác MNP có MN = 5cm, MP = 6cm, NP = 7cm. Gọi I là 2,0
 giao điểm của ba đường phân giác, G là trọng tâm của tam giác MNP. 
 Chứng minh rằng: IG//MP
 M
 D
 K
 I
 G
 N P
Bài 4.2 
 2,0đ
 2. Ta có: ND là phân giác của tam giác MNP
 MD MN 5 MD 5 5
 Ta có : MD MP 2,5 (cm)
 DP NP 7 MP 12 12 0,5
 MI là phân giác của tam giác MND
 IN MN 5
 Ta có : 2 (1)
 ID MD 2,5 0,5
 Gọi K là trung điểm của MP. 
 GN
 Vì G là trọng tâm của MNP nên 2 (2)
 NK 1,0
 GN IN
 Tù (1) và (2) IG / /DK Hay IG// MP
 NK ID
 Do: 0 a,b,c 1 
 0,5
 (a 1);(b 1);(c 1) 0 (a 1)(b 1)(c 1) 0
 Do (a 1)(b 1)(c 1) a b c abc ab ac bc 1 0,5
 Bài 5 a b c abc ab ac bc 1 0 a b c abc ab ac bc 1
 2,0đ a b c 1 ab ac bc abc 1 ab ac bc 0,5
 a b c 1 ab ac bc
 2 2 2
 Do0 a,b,c 1 a a; b b;c c 0,5
 a2 b2 c2 1 ab ac bc
 5