Đề khảo sát HSG cấp Huyện Toán 8 - Năm học 2024-2025 - PGD Tiền Hải (Có đáp án)

 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 TIỀN HẢI NĂM HỌC 2024 - 2025
 MÔN: TOÁN 8
 Thời gian làm bài: 120 phút.
 (Đề khảo sát gồm 1 trang)
 Bài 1(5,0 điểm).
 1) Phân tích đa thức x 2 4xy 4y2 2x 4y thành nhân tử.
 x 2 5 1
 2) Cho biểu thức P với x 2,x 3.
 x 3 x 3 x 2 x 2
 Rút gọn P và tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
 3) Cho hai số a,b thỏa mãn a 3 3a 2 5a 2025 0 và b3 3b2 5b 2019 0.
 Tính a b .
 Bài 2(4,0 điểm).
 1) Tìm x biết x 7 x 5 x 4 x 2 72 .
 2) Bác Tâm gửi ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 8%/năm. Hỏi 
 sau 2 năm tổng số tiền bác Tâm thu về là bao nhiêu? (Số tiền gửi của năm thứ hai bằng tổng số 
 tiền gửi và lãi của năm thứ nhất).
 Bài 3(4,0 điểm).
 1) Tìm dư của đa thức f(x) khi chia cho đa thức x2 x 2 , biết rằng f(x) chia cho x – 1 dư 2 
 và f(x) chia cho x + 2 dư 3.
 2) Cho hai số nguyên x, y thỏa mãn x 2 y2 1 2(xy x y) . Chứng minh rằng x và y là 
 hai số chính phương liên tiếp.
 Bài 4(6,0 điểm).
 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác AD D BC . Gọi E, F lần lượt là 
 hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC.
 BE AB2
 a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông và .
 CF AC2
 b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
 2) Cho tứ giác ABCD (AC > CD). Lấy điểm M, P theo thứ tự trên đoạn thẳng AB, AC sao 
 AM CP
 cho . Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = CD. Chứng minh rằng khi M di động 
 AB CD
 trên AB và P di động trên AC thỏa mãn giả thiết bài toán thì trung điểm I của đoạn thẳng MP 
 luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
 Bài 5(1,0 điểm). 
 Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong tam giác đều có diện 
 tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong 19 điểm 
 1
 đã cho có diện tích nhỏ hơn .
 9
 .Hết .
 Họ và tên thí sinh : Số báo danh: 
 Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8
I. Hướng dẫn chung
 1. Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm theo 
 cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
 2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
 3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai hình hoặc 
 không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó. 
 4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm ý trên 
 không đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho 0 điểm điểm ý đó.
 5. Điểm của bài thi là tổng điểm các Bài làm đúng và tuyệt đối không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
 HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm
Bài 1(5,0 điểm).
 1) Phân tích đa thức x 2 4xy 4y2 2x 4y thành nhân tử.
 x 2 5 1
 2) Cho biểu thức P với x 2,x 3.
 x 3 x 3 x 2 x 2
 Rút gọn P và tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
 3) Cho hai số a,b thỏa mãn a 3 3a 2 5a 2025 0 và b3 3b2 5b 2019 0.
 Tính a b .
 1) Ta có: 
 2 0,75
 1,5đ x2 4xy 4y2 2x 4y x 2y 2(x 2y)
 (x 2y)(x 2y 2) 0,75
 2) Với x 2,x 3ta có:
 2,5đ x 2 5 1 x 2 x 2 5 x 3 0,5
 P 
 x 3 x 3 x 2 x 2 x 3 x 2 
 x2 4 5 x 3 x2 x 12
 0,5
 x 3 x 2 x 3 x 2 
 x 4 x 3 x 4
 0,25
 x 3 x 2 x 2
 x 4
 Vậy với x 2,x 3 thì P 0,25
 x 2
 2
 Với x 2,x 3, ta có P 1 
 x 2 0,25
 2
 Do x nguyên nên P nguyên khi nguyên suy ra 2x 2 , 
 x 2 0,25
 suy ra x 2 1; 2 
 Từ đó tìm được x 0;1;3;4 
 0,25
 Kết hợp với điều kiện, ta có x 0;1;3;4 thì P nguyên. 0,25 3) Từ điều kiện của bài toán, ta có (a 1)3 2(a 1) 2022 0 (1) và
 0,5
 1,0đ (b 1)3 2(b 1) 2022 0 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra
 (a 1)3 (b 1)3 2(a 1 b 1) 0
 a b 2 a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 2 a b 2 0 0,25
 a b 2 a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 2 0
 HS lập luận chỉ ra a 1 2 a 1 b 1 b 1 2 2 0 a,b 
 Suy ra a b 2 0 hay a b 2 0,25
 Vậy a b 2.
Bài 2(4,0 điểm).
 1) Tim x biết x 7 x 5 x 4 x 2 72.
 2) Bác Tâm gửi ngân hàng 200 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 8%/năm. Hỏi 
 sau 2 năm tổng số tiền bác Tâm thu về là bao nhiêu? (Số tiền gửi của năm thứ hai bằng 
 tổng số tiền gửi và lãi của năm thứ nhất).
 1) Ta có x 7 x 5 x 4 x 2 72
 2,0đ 0,5
 x2 9x 14 x2 9x 20 72 
 x2 9x 17 3 x2 9x 17 3 72 0,25
 2
 x2 9x 17 9 72 0,25
 2
 x2 9x 17 81 hay x2 9x 17 9 0,25
 * x2 9x 17 9 hay x2 9x 8 0 , từ đây tìm được x 1;8 0,25
 * x2 9x 17 9 hay x2 9x 26 0
 HS chứng minh được x2 9x 26 0 x , suy ra không có giá trị nào 0,25
 của x thỏa mãn.
 Vậy x 1;8 0,25
 2) Số tiền lãi của năm thứ nhất bác An nhận là: 
 0.5
 2,0đ 200.8%=16 triệu đồng
 Số tiền gốc của năm thứ hai bác An gửi là:
 0.5
 200 + 16 = 216 triệu đồng
 Số tiền lãi của năm thứ hai bác An nhận là: 
 0.5
 216.8%=17,28 triệu đồng
 Vậy sau 2 năm bác An nhận được tổng số tiền là:
 0.5
 216 + 17,28 = 233,28 triệu đồng
Bài 3(4,0 điểm).
 1) Tìm dư của đa thức f(x) khi chia cho đa thức x2 x 2 , biết rằng f(x) chia cho 
x – 1 dư 2 và f(x) chia cho x + 2 dư 3.
 2) Cho hai số nguyên x,y thỏa mãn x 2 y2 1 2(xy x y) . Chứng minh rằng x 
và y là hai số chính phương liên tiếp. 1) Vì f(x) chia cho x – 1 dư 2 và f(x) chia cho x + 2 dư 3.
 0,5
 2,0đ Suy ra f(1) = 2 và f(-2) = 3
 Mà x2 x 2 x 1 x 2 0,25
 Suy ra f(x) = (x -1)(x + 2) g(x) + ax + b 0,25
 Suy ra a + b = 2 và -2a +b =3 0,5
 1 7
 Giải được a = , b = 0,25
 3 3
 1 7
 Vậy dư của đa thức f(x) khi chia cho đa thức x2 x 2 là x 0,25
 3 3
 2) Từ gt ta có x 2 y2 1 2(xy x y) 
 0,5
 2,0đ x 2 y2 1 2xy 2x 2y 4x
 x y 1 2 4x do x, y nguyên, suy ra x là số chính phương 0,5
 2
 Đặt x = m2 , m là số nguyên, suy ra m2 y 1 4m2 0,5
 2
 Suy ra m2 y 1 2m , suy ra y m 1 0,25
 2
 Hoặc m 2 y 1 2m , suy ra y m 1 suy ra đpcm 0,25
Bài 4(6,0 điểm).
 1) Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác AD D BC . Gọi E, F 
lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC.
 BE AB2
 a) Chứng minh tứ giác AEDF là hình vuông và .
 CF AC2
 b) Cho AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
 2) Cho tứ giác ABCD (AC > CD). Lấy điểm M, P theo thứ tự trên cạnh AB, AC 
 AM CP
 sao cho . Trên tia CA lấy điểm K sao cho CK = CD. Chứng minh rằng 
 AB CD
 khi M di động trên AB và P di động trên AC thỏa mãn giả thiết bài toán thì trung 
 điểm I của đoạn thẳng MP luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
 A
 F
 E
 B C
 D
 1a) Hs cm được tứ giác AEDF là hình chữ nhật 1,0
 2,5đ Mà AD là phân giác B· AC suy ra tứ giác AEDF là hình vuông 0,25
 BE DE
 HS chỉ ra được DE // AC suy ra (1) 0,5
 AB AC CF DF
 DF // AB, suy ra (2) 0,25
 AC AB
 Mà AEDF là hình vuông, suy ra DE = DF (3) 0,25
 BE AB2
 Từ (1) , (2) và (3) suy ra 0,25
 CF AC2
 1b) Hs chỉ ra được SABC SABD SADC 0,25
 1,5đ 1 1 1
 Suy ra AB.AC DE.AB DF.AC hay AB.AC DE.AB DF.AC 0,25
 2 2 2
 Do DE = DF 
 0,25
 Suy ra AB.AC DE. AB AC 
 AD
 HS cm được AED vuông cân nên DE 0,25
 2
 AD AB.AC 3.4 12
 Suy ra 0,25
 2 AB AC 3 4 7
 12 2
 Suy ra AD cm . kl .. 0,25
 7
 2)
 B
2,0đ
 H
 M
 I Q
 N C
 A K O P
 D
 Gọi H là trung điểm BK, từ M và P kẻ các đường thẳng song song với BK 
 0,25
 lần lượt cắt AH, CH tại N, Q
 AM CP AM CP
 Ta có mà CK = CD suy ra (1) 0,25
 AB CD AB CK
 AM AN CQ CP
 Mà MN // BH suy ra (2), PQ // HK, suy ra (3) 0,25
 AB AH CH CK
 AN CQ
 Từ (1), (2) và (3) suy ra , suy ra NQ // AC 0,25
 AH CH
 MN QP
 Hs chứng minh được mà BH = HK, suy ra MN = QP 0,25
 BH HK
 Mà MN // QP ( cùng // BK), suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành 
 0,25
 Suy ra I là trung điểm MP đồng thời là trung điểm NQ
 Gọi HI cắt AC tại O. HS chứng minh được O là trung điểm AC 0,25 HS chỉ ra được H, O cố định, suy ra điểm I di chuyển trên đường thẳng cố 
 0,25
 định HO (đpcm)
Bài 5(1,0 điểm). 
 Cho 19 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong tam giác đều có 
diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong 19 
 1
điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn .
 9
1,0đ
 Hs chỉ ra được cách chia tam giác đều ban đầu thành 9 tam giác đều bằng 
 nhau không có điểm chung trong như hình vẽ 0,25
 Vì 19 điểm nằm trong tam giác đều ban đầu nên theo nguyên lý Đirichlet 
 tồn tại ít nhất 3 điểm trong 19 điểm đã cho nằm trong 1 tam giác trong 9 tam 0,25
 giác trên 
 Do trong 19 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng nên tam giác tạo bởi 3 
 điểm nói trên nằm trọn trong 1 tam giác trong 9 tam giác trên. 0,25
 1
 Mà diện tích của một tam giác trong 9 tam giác trên là 
 9
 1 0,25
 Vậy diện tích tam giác tạo bởi ba điểm nói trên có diện tích nhỏ hơn 
 9
 (đpcm)