Đề kiểm tra CLB văn hóa Toán 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

 PHềNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HểA LỚP 8
 TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY
 Mụn kiểm tra: Toỏn
 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12/09/2023
 Thời gian làm bài: 90 phỳt
 (Khụng tớnh thời gian phỏt đề)
 Bài 1.(6,0 điểm) 
 1. Cho biểu thức M 1 21 22 23  22023 22024. 
 1 22025
 Chứng minh rằng M .
 3
 2. Tỡm x biết x 1 x 2 3x. 
 Bài 2.(3,0 điểm)
 Cho đa thức f (x) ax b, với a,b là cỏc số nguyờn, a 0. Biết giỏ trị của đa thức tại 
 x 1 và x 3 tỉ lệ với 2 và 2. Chứng minh rằng b chia hết cho a.
 Bài 3. (4,0 điểm)
 1 1 1 1 1
 1. Chứng minh rằng A ... .
 22 42 62 1002 2
 1 1
 2. Tỡm cỏc số hữu tỉ dương x,y thỏa món x y là một lũy thừa của 2. 
 x y
 Bài 4.(6,0 điểm) 
 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB AC), đường cao AH (H BC). Dựng 
 HM  AB tại M , HN  AC tại N. Gọi I là giao điểm của AH với MN.
 1. Chứng minh rằng AMH HNA và IM IN.
 2. Gọi O là trung điểm của BC, Q là giao điểm của HN và OA. Chứng minh rằng 
 ANQ HMB và BQ || MN.
 3. Gọi J là giao điểm của BQ và AH. Chứng minh rằng Bã JO Mã NC.
 Bài 5.(1,0 điểm) 
 Khi trờn bảng ghi 2023 số tự nhiờn 1,2,3,,2023, cần xúa đi ớt nhất bao nhiờu số để 
 cỏc số cũn lại trờn bảng cú tớnh chất khụng cú 3 số nào mà một trong 3 số đú bằng tớch 
 của 2 số cũn lại.
 -----------HẾT-----------
 Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: . PHềNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐÁP ÁN
 TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HểA LỚP 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn kiểm tra: Toỏn
 Ngày thi: 12/09/2023
 Thời gian làm bài: 90 phỳt
 (Khụng tớnh thời gian phỏt đề)
BÀI í HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
 Cho biểu thức M = 1- 21 + 22 - 23 + L - 22023 + 22024. Chứng minh rằng 
 1+ 22025 3,0
 M = .
 3
 M = 1- 21 + 22 - 23 + L - 22023 + 22024
 1,5
 1 ị 2M = 21 - 22 + 23 - L - 22024 + 22025
 ị M + 2M = 1+ 22025 1,0
 1+ 22025
 ị M = 0,5
 1 3
 Tỡm x biết x + 1 + x + 2 = 3x. 3,0
 VT > 0 ị VP > 0 ị x > 0 1,0
 ỡ
 ù x + 1 > 0 ị x + 1 = x + 1
 2 ị ớù 1,0
 ù x + 2 > 0 ị x + 2 = x + 2
 ợù
 ị x + 1+ x + 2 = 3x 0,5
 x = 3 0,5
 Cho đa thức f (x) = ax + b, với a,b là cỏc số nguyờn, a ạ 0. Biết giỏ trị của đa 2,0
 thức tại x = 1 và x = 3 tỉ lệ với 2 và - 2. Chứng minh rằng b chia hết cho a.
 f (1) = a + b, f (3) = 3a + b 0,5
 2 1 a + b 3a + b - 2a - a
 = = = 1,0
 2 - 2 4 2
 ị a + b = - a ị b = - 2a 0,5
 Do a,b là cỏc số nguyờn, a ạ 0 ị b chia hết cho a.
 1 1 1 1 1
 Chứng minh rằng: A ... 2,0
 22 42 62 1002 2
 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 A 2 1 2 2 2 ... 2 1 ... 1,0
 2 2 3 4 100 4 1.2 2.3 3.4 99.100 
 1 1 1 1 1 1,0
 => A 1 1 
 4 100 2 400 2 BÀI í HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
 1 1
 Tỡm cỏc số hữu tỉ dương x,y thỏa món x y là một lũy thừa của 2. 2,0
 x y
 a c
 Cú x ,y với a,b,c,d là cỏc số nguyờn dương thỏa món (a;b) (c;d) 1. Khi 
 b d
 đú, biểu thức đó cho viết lại thành 0,5
 1 1 cd(a2 b2) ab(c2 d2)
 x y .
 x y abcd
 Từ yờu cầu bài toỏn ta cú cd(a2 b2) ab(c2 d2) chia hết cho abcd. Suy ra 
 cd(a2 b2) chia hết cho ab. Từ (a,b) 1 (a2 b2,ab) 1 cd chia hết cho ab. 
 Hoàn toàn tương tự cú ab chia hết cho cd. Suy ra ab cd. Khi đú 0,5
 1 1 a2 b2 c2 d2
 2 x y .
 x y ab
 1 1
 Gọi n là số tự nhiờn mà x y 2n. Ta cú 
 x y
 1 1
 2n 2 x  2 y  4 n 2. 
 x y
 0,5
 Mặt khỏc cú a2 b2 c2 d2 2n ab. 
 Nếu n 3 a2 b2 c2 d2 chia hết cho 8. Từ tớnh chất số chớnh phương khi 
 chia cho 8, ta suy ra cả 4 số a,b,c,d đều là số chẵn. Điều này mõu thuẫn với 
 (a;b) (c;d) 1. Do đú n 2.
 1 1
 Khi đú x 0,y 0 x y 1. 0,5
 x y
 A
 N
 P
 PI
 Q
 4 1 M J
 C
 B H O
 Vỡ HM ^ AB,AB ^ AC suy ra HM / /AC ( từ vuụng gúc đến song song) dẫn đến 
 2,0
 Mã HA = NãAH ( hai gúc so le trong) BÀI í HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
 Xột tam giỏc DAMH và DHNA ta cú: ÃMH = HãNA = 900 (giả thiết), AH chung 
 và Mã HA = NãAH . Suy ra DAMH = DHNA (cạnh huyền, gúc nhọn) dẫn đến 
 AN = HM (Cạnh tương ứng).
 ã ã
 Ta cũng cú: IMH = INA ( hai gúc so le trong) suy ra DAIN = DHIM (g.c.g) dẫn 1,0
 đến IN = IM (cạnh tương ứng).
 Vỡ O là trung điểm của BC và tam giỏc ABC vuụng tại A nờn OA = OB =OC 
 suy ra tam giỏc AOC cõn tại O nờn OãAC = OãCA hay QãAN = OãCA ,lại cú: 0,5
 OãCA = BãHM ( đồng vị) suy ra QãAN = BãHM .
 Xột DANQ và DHMB , ta cú ÃNQ = HãMB = 900 , AN = HM , QãAN = BãHM 
 2 1,0
 nờn DANQ = DHMB (Cạnh gúc vuụng, gúc nhọn) nờn NQ =MB .
 Tam giỏc DMNQ và DQBM cú MN chung, NQ =MB , MãQN = QãMB nờn 
 0,5
 DMNQ = DQBM (c.g.c) dẫn đến QãMN = MãQB ị BQ / /MN .
 Từ cõu a suy ra IA = I H,IM = IN mà DAMH = DMAN (c.g.c) nờn AH = MN 
 suy ra IA = IN dẫn đến 
 IãNA = IãAN = IãHM = 900 - MãHB = 900 - ÃCO = 900 - OãAC Û IãNA + OãAC = 900 
 hay OA ^ MN . Kết hợp với QB / / MN suy ra BQ ^ AO . 
 A
 N 0,5
 P
 3 P
 Q
 M J
 C
 B H O
 Tam giỏc ABO cú AH ^ BO , BQ ^ AO , J là giao điểm của AH và BQ nờn 
 J là trực tõm của tam giỏc, dẫn đến OJ ^ AB mà AC ^ AB suy ra OJ / /AC . 0,5
 Từ đú suy ra BãJO = MãNC.
 Khi trờn bảng ghi 2023 số tự nhiờn 1, 2, 3, , 2023, cần xúa đi ớt nhất bao nhiờu 
 5 số để cỏc số cũn lại trờn bảng cú tớnh chất khụng cú 3 số nào mà một trong 3 số 1,0
 đú bằng tớch của 2 số cũn lại. BÀI í HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
 Nếu xúa 43 số 2, 3, 4, , 44 thỡ cỏc số cũn lại là 1, 45, 46, 47, , 2023 vỡ xột 1 số 
 0,5
 bằng tớch của 2 số khỏc nờn ta khụng cần xột số 1
 khi đú tớch của 2 số khỏc 1 trong phần cũn lại nhỏ nhất = 45*46 = 2070 nờn chắc 
 0,5
 chắn khụng cú số nào bằng tớch của 2 số khỏc.