Đề tài Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

x Î 
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) Û 
Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0)Þ u2 – v2 = 3. (1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2
Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0 
Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 3. Giải phương trình: (1)
Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0): (1) Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0
Mà a + b + 1 > 0 Þ a = b Û x = là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 4. Giải phương trình: (1)
Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0)
 (1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0 
Û (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2
c) Sử dụng ba ẩn phụ
Ví dụ 1 Giải phương trình: (1)
Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û 
Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac Û (a – 1)(b – c) = 0
Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0) 
Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu 
Từ đó ta có hệ: 
Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30 
Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4)
Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:
Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có: 
 (8)
Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có: 
d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5
Cách 2: Đặt và . Ta có hệ: Û Û x = 5.
Ví dụ 2 Giải phương trình: 
Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u , (u, v ≥ 0):
ÞGiải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) 
Þ Û . Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt (u, v ≥ 0) 
Þ Þ 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 
Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u, v ≥ 0) Þ 
Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2
Ví dụ 6. Giải phương trình: 	(1)
Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0) 
Þ (1) Û 
Ví dụ 7. Giải phương trình:
Giải. Đặt (1)
Û 
 Þ kết quả
6) Giải và biện luận phương trình vô tỉ
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình: 
Giải. Ta có: Û 
	– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
	– Nếu m ≠ 0: . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û ≥ m
	+ Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 4 Û 
	+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2
Tóm lại:
	– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm 
	– Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: 
(Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000)
Giải. Ta có: 
	– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
	– Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û 
	+ Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 3 Û 
	+ Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤ 
Tóm lại: 
	– Nếu hoặc . Phương trình có một nghiệm: 
	– Nếu hoặc : phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: 
Giải. Điều kiện: x ≥ 0
	– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm
	– Nếu m = 0: phương trình trở thành Þ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1
	– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với
	+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = 
	+ Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m
II. Kết quả thực hiện
	Qua việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn: Toán và giải toán trên máy tính cầm tay. Tôi đã áp dụng các nội dung của đề tài vào việc bồi dưỡng cho các em. Kết quả đạt được như sau:
1. Môn Giải toán trên máy tính cầm tay
	a) Cấp Huyện:
Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh cấp Huyện: 11 em
	Số học sinh đạt giải: 9 em (1 giải nhất, 2 giải nhì, 3 giải ba và 3 giải khuyến khích)
	b) Cấp Tỉnh:
Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: 9 em
	Số học sinh đạt giải: 9 em (3 giải nhì, 3 giải ba và 3 giải khuyến khích)
	c) Học sinh được tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Quốc gia: 1 em (Đạt giải ................)
2. Môn Toán
	a) Cấp Huyện:
Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Huyện: 8 em
	Số học sinh đạt giải: 5 em (2 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải khuyến khích)
	Số học sinh được chọn tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: 5 em
	b) Cấp Tỉnh:
Tổng số học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh: 5 em
	Số học sinh đạt giải: .................................................... 
III. Bài học kinh nghiệm
	Qua việc thực hiện chuyên đề giải phương trình vô tỉ trong chương trình của cấp THCS và việc bồi dưỡng học sinh giỏi hai môn Toán và Giải toán trên máy tính cầm tay. Bản thân tôi đã rút ra được một số bài học kinh nghiệm như sau:
1. Về công tác chỉ đạo
	Đây là một công tác quan trọng hàng đầu trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong năm học vừa qua, nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thường xuyên từ phía Ban giám hiệu Nhà trường và Phòng giáo dục đào tạo. Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đã và đang gặt hái được những thành công lớn. Nhờ có sự quan tâm đó, mà ngành giáo dục Lục Yên đã vươn lên trở thành một trong những huyện thị đi đầu về công tác mũi nhọn của Tỉnh Yên Bái
2. Về phía học sinh
	Để gặt hái được những thành tích cao trong công tác mũi nhọn. Học sinh là nhân vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết định trong sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồi dưỡng. Vì chính các em mới là người học, là người đi thi và là người đem lại những thành tích đó
	Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏi các em phải có một sự nỗ lực rất lớn. Một sự quyết tâm học tập trên 100% khả năng của bản thân mình. Chính vì vậy, sự động viên, quan tâm, giúp đỡ của lãnh đạo ngành, gia đình các em và những giáo viên tham gia làm công tác bồi dưỡng là rất lớn. Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 9, đặc điểm tâm lí lứa tuổi của các em có tác động không nhỏ đến việc học tập của các em. Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làm công tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm rất lớn đến các em, thường xuyên động viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có thể có một sự quyết tâm lớn trong công việc học tập của mình. Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán, đây là một môn học khó, có rất ít học sinh lựa chọn tham gia thi môn này. Cũng chính vì lí do này, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán càng trở nên khó khăn hơn rất nhiều
3. Về phía giáo viên tham gia trực tiếp công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
	Nếu học sinh giữ vai trò trung tâm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi thì vị trí của người thầy lại giữ vai trò chủ đạo. Để thực hiện thành công việc đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi, đặc biệt với môn Toán thì khó khăn hơn rất nhiều so với các môn học khác. Thực tế đã chứng minh điều đó, trong những năm qua, huyện Lục Yên cũng chỉ có một lần có học sinh giỏi cấp Tỉnh về bộ môn Toán, còn những năm trước không hề có. Toán học là một môn học khó, khô khan và lượng kiến thức rất rộng, vì học sinh đã được học toán từ khi vào lớp 1, tức là các em đã được học toán 9 năm liền. Chính vì vậy, những giáo viên tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Toán cần phải có thời gian bồi dưỡng nhiều hơn, phải đầu tư thời gian, công sức, tiền bạc nhiều hơn so với những giáo viên tham gia bồi dưỡng những môn học khác. Vấn đề là thời gian, vì học sinh không phải là những cái máy, chúng ta không thể cùng một lúc nhồi nhét vào đầu các em mọi vấn đề mà chúng ta cho rằng các em nên học. Mà việc tiếp thu, học tập của các em là cả một quá trình bền bỉ, lâu dài thì mới mong đạt được hiệu quả. Bản thân tôi là giáo viên tham gia công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán năm nay là năm thứ hai, nói về kinh nghiệm thì chưa nhiều. Song tôi cũng nhận thấy rằng, để bồi dưỡng được một đội tuyển đi thi có giải là cả một vấn đề nan giải, khó khăn. Ở đây tồn tại hai vấn đề: 
Một là, kiến thức của người thầy, giáo viên giảng dạy toán phải là người có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là người giải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuật giải toán hiệu quả. Nói tóm lại là kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là người giỏi toán
Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực. Cặp nhật thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặc biệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quả cao
PHẦN III
KẾT LUẬN
	Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong khuôn khổ chương trình cấp THCS, mà cụ thể là những phương pháp giải phương trình vô tỉ của lớp 9. Ngoài những phương pháp mà tôi chắt lọc nêu trên, chắc chắn còn nhiều phương pháp giải khác mà bản thân tôi, do năng lực còn hạn chế và thời gian nghiên cứu chưa nhiều nên đề tài của tôi không thể không còn những sơ suất. Chính vì vậy, tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn
Người thực hiện
Đỗ Trung Thành
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG
*******************************************