Đề thi học sinh giỏi môn: Toán 9

Phòng GD 
Đề thi học sinh giỏi
Môn:Toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2đ)
Cho biểu thức : 
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của x để M >0.
Câu 2: (3đ)
a) Giải phương trình : 
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3:(1đ)
Cho x,y là các số thực thoả mãn:
Chứng minh rằng x2 +y2 =1.
Câu 4: (2 đ) 
Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B .Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (O) và (O’ ) lần lượt tại M và N .Gọi I,J lần lượt là trung điểm của OO’ và MN .Chứng minh rằng tam giác BOI đồng dạng với tam giác BMJ .
Câu 5 (2 đ)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) .Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E ,hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại F .Chứng minh rằng 
 EA.ED + FA.FB =FE2 .
------------------------------------------------------------
Đáp án
Câu1:(2 điểm)
ĐKXĐ : và ;
b) (0,5 điểm)
Với điều kiện và .P>0 (do 
suy ra x >4. Kết hợp với điều kiện ta có x>4 và xthì M>0.
Câu 2:(3 điểm)
a) (1,5 điểm): ĐKXĐ : x;
 hoặc x+
 	1) với x+ 
- Nếu x>0 , suy ra phương trình vô nghiệm
- Nếu x0 -x. Kết hợp với điều kiện ta có -2005,khi đó hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được: x2-x-2005=0 (loại)
(thoả mãn)
 	2)Với x+
b) Đặt 
 Đặt .Khi đó hệ đã cho tương đương với hệ:
hoặc 
*) Trường hợp 1: 
*)Trường hợp 2: 
Câu 3 (1 điểm)
ĐKXĐ: -1 ;-1.
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có:1
Câu 4: (2 điểm)
M
N
A
B
 O,
 O
Vì OO’ là đường trung trực của dây chung AB nên 
 suy ra (1)
Tương tự : 
Do đó tam giác OBO’ đồng dạng với tam giác MBN (gg) suy ra 
Xét tam giác MAJ và tam giác OIB có:
 BMA= BOI (cmt)
 Suy ra tam giác BOI đồng dạng với tam giác BMJ.
Câu 5 : (2 điểm)
- Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác DCE , cắt EF tại M. Vì hai dây AB và CD của đường tròn (O) kéo dài cắt nhau tại F nên ta có FA.FB=FD.FC
Tương tự: FC.FD=FM.FE suy ra FA.FB=FM.FE (1) .Mặt khác 
(do tứ giác ABCD và DMEC nội tiếp) suy ra tứ giác AFMD nội tiếp .Do đó ta có EA.ED=EM.EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra FA.FB+EA.ED=(FM+EM) EF=EF2. 
A