Đề thi HSG cấp Tỉnh Toán 9 (Vòng 1) - Năm học 2023-2024 - PGD Huyện Yên Định

 UBND HUYỆN YÊN ĐỊNH KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8,
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG 1 DỰ THI
 HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
 ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2023-2024
 Môn: Toán
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1. (4,0 điểm)
 x 5 x 2x 5 2x 5
 1) Cho biểu thức: P 2 2 : 2 với x 0 ; x 5; x .
 x 25 x 5x 2x 10x 5 x 2
 2) Rút gọn biểu thức P .
 2) Cho ba số a , b , c khác 0 và thỏa mãn a b c 0 .
 1 1 1
 Tính giá trị của biểu thức P .
 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
Câu 2. (4,0 điểm)
 2
 1) Giải phương trình 4x 5 2x 3 x 1 9
 2) Cho a , b , c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a3 1 3a ; b3 1 3b ; c3 1 3c . 
 Chứng minh:
 a) a b c 0
 b) a2 b2 c2 6 .
Câu 3. (4,0 điểm)
 1) Tìm tất cả các số x , y nguyên thỏa mãn x4 y 4 y2 x2 .
 2) Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p a2 b2 c2 , trong đó a , b , c là các số nguyên 
 dương thỏa mãn a4 b4 c4 chia hết cho p .
Câu 4. (6,0 điểm)
 Cho hình vuông ABCD có cạnh là a . Điểm E thuộc cạnh BC , F là giao điểm của AE và DC , 
 G là giao điểm của DE và BF . Trên tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho BE DM . Gọi T 
 là trung điểm của EM .
 1) Chứng minh tam giác AEM vuông cân và ba điểm B , T , D thẳng hàng.
 2) Gọi I , K theo thứ tự là giao điểm của AB với CG và DG . Chứng minh IE∥ BD .
 3) Tìm vị trí điểm E trên cạnh BC để tổng BK CF đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. (2,0 điểm)
 Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x y xy 3.
 1 1 1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
 x y x y
 ----------------HẾT----------------