Đề thi HSG Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Đồng Hới (Có đáp án)

 PHÒNG GD&ĐT ĐỒNG HỚI KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2023 - 2024
 ĐỀ CHÍNH THỨC Khóa ngày 25 tháng 4 năm 2024
 ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8
SBD: ....................................... Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể giao đề)
 Đề có 1 trang, gồm 5 câu
 x2 x x 1 1 2 x2 
 Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 
 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
 1
 b) Tìm x để P .
 2
 Câu 2 (2,0 điểm).
 2
 a) Giải phương trình 3x 4 x 1 6x 7 6.
 b) Cho hàm số bậc nhất y (2m 1)x m 1 (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng 
 (d). Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m.
 Câu 3 (1,5 điểm).
 Một bà thầy bói chuẩn bị trong hộp kín các thẻ có kích thước và hình dạng giống 
 nhau chỉ khác nội dung ghi trên thẻ. Cụ thể có 8 thẻ ghi “May Mắn”, 12 thẻ ghi “Tài 
 Lộc” và 16 thẻ ghi “Vận Hạn”. Người tới xem bói được yêu cầu lấy ra ngẫu nhiên 1 thẻ 
 từ trong hộp.
 a) Tính xác suất lấy được thẻ mỗi loại.
 b) Thêm vào hộp một số thẻ ghi “May Mắn”, “Tài Lộc” và “Vận Hạn” sao cho khi 
 người xem bói lấy ngẫu nhiên một thẻ thì xác suất chọn được một thẻ mỗi loại là không 
 đổi. Hỏi bà thầy bói cần thêm ít nhất bao nhiêu thẻ mỗi loại? (Các tấm thẻ được thêm 
 vào cũng có hình dáng, chất liệu giống các tấm thẻ ban đầu).
 Câu 4 (3,5 điểm).
 Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh 
 AB lấy điểm M (MB < MA), trên cạnh BC lấy điểm N sao cho = 900. Gọi E là 
 giao điểm của AN với DC, K là giao điểm của ON với BE.
 a) Chứng minh: Tam giác MON vuông cân.
 b) Chứng minh: CK vuông góc với BE.
 c) Qua K vẽ đường thẳng song song với OM cắt BC tại H. 
 KC KN CN
 Chứng minh: 1.
 KB KH BH
 Câu 5 (1,0 điểm).
 Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2x3 x(1 xy) y 4 0 . 
 HẾT PHÒNG GD&ĐT ĐỒNG HỚI KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 NĂM HỌC 2023 - 2024
 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Gồm có 05 trang)
 Câu Nội dung Điểm
 Câu 1
 a) ĐK XĐ: x 1, x 0, x 1 0,25
 (2,0 đ)
 Với x 1, x 0, x 1 ta có 
 x2 x x 1 1 2 x2 
 P 2 : 2 
 x 2x 1 x x 1 x x 0,25
 x(x 1) x 1 (x 1) x 2 x2 
 2 : 
 x 1 x(x 1) 
 x(x 1) x2 1 x 2 x2 x(x 1) x 1
 2 : 2 : 0,25
 x 1 x(x 1) x 1 x(x 1)
 x(x 1) x(x 1) x2
 2 . 0,25
 x 1 x 1 x 1
 1 x2 1
 b) Để P thì với x ĐKXĐ
 2 x 1 2 0,25
 Hay 2x2 x 1
 2x2 x 1 0
 0,25
 (2x 1)(x 1) 0
 2x 1 0
 0,25
 x 1 0
 1
 x (TM)
 2
 x 1 (KTM) 0,25
 1 1
 Với x thì P .
 2 2
 2
 Câu 2 Ta có 3x 4 x 1 6x 7 6
 (2,0 đ) 2 0,25
 6x 8 6x 6 6x 7 72
 Đặt 6x + 7 = t. Ta có 
 t 1 t 1 t2 72
 0,25
 t2 1 t2 72
 t4 t2 72 0
 0,25
 (t2 9)(t2 8) 0 2
 x 
 3
 t 3 
 5
 x 0,25
 3
 2 5
 Vậy phương trình có tập nghiệm S = ; 
 3 3 
 b) Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d) đi qua với mọi m là x ; y 
 0 0 0,25
 ta có: y0 2m –1 x0 m 1, m
 2m –1 x m 1 y 0, m
 0 0 0,25
 (2x0 +1)m - (x0 y0 1) 0, m
 2x0 1 0 1 1
 x0 , y0 0,25
 x0 y0 1 0 2 2
 Vậy với mọi m, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định có 
 1 1 0,25
 tọa độ ; 
 2 2 
 Câu 3 a) Trong hộp có tổng số thẻ là 8 + 12 + 16 = 36 (thẻ), các thẻ đều 
(1,5 đ) giống nhau về hình dạng và kích thước, nên khi lấy ngẫu nhiên 1 
 thẻ trong hộp thì số kết quả có thể xảy ra là 36.
 0,25
 Số kết quả thuận lợi để lấy được thẻ “May mắn” là 8, nên xác suất 
 8 2
 để lấy được thẻ “May mắn” là: P(M ) .
 36 9
 Số kết quả thuận lợi để lấy được thẻ “Tài lộc” là 12, nên xác suất 
 12 1 0,25
 để lấy được thẻ “Tài lộc” là: P(T ) .
 36 3
 Số kết quả thuận lợi để lấy được thẻ “Vận Hạn” là 16, nên xác 
 16 4 0,25
 suất để lấy được thẻ “Vận Hạn” là: P(V ) .
 36 9
 b) Gọi số thẻ “May Mắn”, “Tài Lộc” và “Vận Hạn” cần thêm vào 
 lần lượt là , , ( , , là số nguyên dương), ta có:
 Số lượng thẻ trong hộp sau khi thêm vào là: 
 36 + + + (thẻ).
 Khi đó: Xác suất để lấy được thẻ “May mắn” là:
 8 + 
 푃( ) = 
 36 + + + 0,25
 Xác suất để lấy được thẻ “Tài lộc” là:
 12 + 
 푃( ) = 
 36 + + + 
 Xác suất để lấy được thẻ “Vận Hạn” là:
 16 + 
 푃( ) = 
 36 + + + Vì sau khi thêm các thẻ để xác suất chọn được một thẻ mỗi loại là 
không đổi, nên theo câu a, ta có:
 8 + 2
 = (1)
 36 + + + 9
 12 + 1
 = (2)
 36 + + + 3
 16 + 4
 = (3)
 36 + + + 9
Từ (1) và (3) suy ra: 2(8 + ) = 16 + ⇒ 2 = 
Từ (1) và (2) suy ra: 3(8 + ) = 2(12 + ) ⇒ 3 = 2 
Từ (2) và (3) suy ra: 4(12 + ) = 3(16 + ) ⇒ 4 = 3 
Từ 3 = 2 suy ra 3 phải là số chẵn hay phải là số chẵn hay 
 = 2 ( là số nguyên dương). 
 0,25
Từ 2 = ⇒ = 2.2 = 4 
Từ 4 = 3 ⇒ 4 = 3.4 ⇒ = 3 
Khi đó ta có: = 2 , = 3 , = 4 với là số nguyên dương. 
Do số thẻ cần thêm vào là ít nhất nên
 = 1, do đó: = 2, = 3, = 4.
Thử lại ta có: 
Xác suất để lấy được thẻ “May mắn” sau khi thêm thẻ là:
 8 + 2 10 2
 푃( ) = = =
 36 + 2 + 3 + 4 45 9
Xác suất để lấy được thẻ “Tài lộc” sau khi thêm thẻ là:
 12 + 3 15 1
 푃( ) = = =
 36 + 2 + 3 + 4 45 3 0,25
Xác suất để lấy được thẻ “Vận hạn” sau khi thêm thẻ là:
 16 + 4 20 4
 푃( ) = = =
 36 + 2 + 3 + 4 45 9
Ta thấy xác suất chọn được một thẻ mỗi loại là không đổi theo 
yêu cầu bài toán. Vậy bà thầy bói cần thêm ít nhất 2 thẻ “May 
mắn”, 3 thẻ “Tài lộc” và 4 thẻ “Vận Hạn”. M
Câu 4 A B
(3,5 đ) Vẽ hình
 N
 O 0,5
 K
 D C E
 H
 a) Vì ABCD là hình vuông nên = 900 => + =
 0,25
 900
 Vì = 900 => + = 900 => = 0,25
 Ta có BD là tia phân giác của 
 => = = 2 =
 450
 Tương tự ta có: 0 0,25
 = = 2 = 45
 Do đó: = 
 Xét ∆OBM và ∆OCN có: OB = OC, 
 = , = (chứng minh trên)
 => ∆OBM = ∆OCN (c-g-c) => OM = ON 
 0
 Xét ∆MON có = 90 , OM = ON 0,25
 => ∆MON vuông cân tại O. 
 b) Vì ∆OBM = ∆OCN nên MB = NC mà AB = BC
 0,25
 => AB – MB = BC – NC => AM = BN => 
 = 
 Lại có: AB // CD => AB // CE (vì E thuộc đường thẳng CD) => 
 = 
 Do đó: => MN // BE => (2 góc đồng vị) 
 = 퐾 = 0,25
 Mà ∆MON vuông cân tại O nên 퐾 = = 450
 Xét ∆BNK và ∆ONC có 퐾 = (hai góc đối đỉnh), 
 =>∆BNK ∆ONC (g - g) => 0,25
 퐾 = 퐾 = 
 Xét ∆BNO và ∆KNC có = 퐾 (hai góc đối đỉnh),
 => ∆BNO ∆KNC (c-g-c) => 0 0,25
 퐾 = 퐾 = = 45 Vậy 퐾 = 퐾 + 퐾 = 450 + 450 = 900=> CK vuông góc 
 với BE.
 c) Vì KH // OM mà OK vuông góc với OM => OK vuông góc với 
 KH => 퐾 = 900 (vì N thuộc OK)
 0,25
 Lại có 퐾 = 450=> 퐾 = 450
 => 퐾 = 퐾 = 퐾 = 450
 Xét ∆BKC có 퐾 = 퐾 => KN là phân giác trong của 
 ∆BKC, mà KH vuông góc với KN => KH là phân giác ngoài của 
 퐾 
 ∆BKC => 
 퐾 = 
 퐾 0,5
 Chứng minh tương tự ta có: 
 퐾 = 
 KC KN CN HC BN CN
 Vây 
 KB KH BH HB BH BH 0,25
 HC BN CN BH
 1 
 HB BH
Câu 5 2x3 x 1 xy y 4 0 2x3 x x2 y y 4 0
 2x3 x 4 x2 y y y x2 1 2x3 x 4 0,25
 2x3 x 4 x 4
 y 2x 
 x2 1 x2 1
 x, y Z x 4  x2 1 x 4 x 4  x2 1 0,25
 (x2 16)(x2 1) (x2 1 17)(x2 1) 17(x2 1)
 0,25
 hay x2 1 U (17) 1; 17
 *)x2 1 1 x 0, y 4 (TM ) *)x2 1 1(VN) 0,25
 x 4 y 8(TM )
 2 2
 *)x 1 17 128 *)x 1 17(VN)
 x 4 y (KTM )
 7
 Vậy x; y 0;4 , 4;8 
 Lưu ý: - Thí sinh diễn đạt cách khác nhưng đúng nội dung vẫn cho điểm tối đa.
 - Nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm bài hình.
 .. HẾT .
 Người duyệt đề Người ra đề Hoàng Ngọc Anh Lê Văn Đẩu