Đề thi Olympic Toán 8 - Năm học 2023-2024 - PGD Thị xã Hoàng Mai (Có đáp án)

 UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2023-2024
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 MÔN: TOÁN 8
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút
 (Đề thi gồm 01 trang) (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,5 điểm)
 a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 2x 2y 2 xy 2 .
 b) Chứng minh rằng a3b – ab3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên a,b .
 c) Tìm số nguyên n sao cho biểu thức B n2 2n 8 có giá trị là số chính phương.
Câu 2. (4,5 điểm)
 x y x2 y2
 a) Rút gọn biểu thức A = 2 2 : 2 2 ( x y và x; y 0 ).
 xy y x xy x y xy
 b) Đa thức P(x) chia cho đa thức x-3 dư 5, P(x) chia cho đa thức x-2 dư 6. Tìm đa thức dư 
trong phép chia đa thức P(x) cho đa thức x2 5x 6 .
Câu 3. (4,0 điểm)
 a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x y z 3.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP x 2x z y 6y z .
 b) Một Robot chuyển động từ A đến B theo cách sau: Sau khi đi được 4m dừng lại 1 giây, 
rồi đi tiếp 8m dừng lại 2 giây, đi tiếp 12 m dừng lại 3 giây, Cứ như vậy đi từ A đến B kể cả 
dừng hết tất cả 155 giây. Tính khoảng cách từ A đến B. Biết rằng khi đi Robot luôn có tốc độ là 
2m/s.
Câu 4. (6,0 điểm)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh AEF đồng dạng với ABC .
 AE.BF FD
 b) Chứng minh DE.EF CD .
 c) Trên tia đối của tia DH lấy K sao cho DK = DH, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE 
và KC. Chứng minh rằng B· MN 900 .
Câu 5. (1,0 điểm)
 Trên một đường thẳng có 10 đoạn thẳng, biết rằng không có 4 đoạn thẳng nào có điểm 
chung. Chứng minh rằng trong 10 đoạn thẳng đó tồn tại 4 đoạn thẳng đôi một không có điểm 
chung.
 -----------HẾT-------------
 Họ và tên học sinh: .. Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Nội dung Điểm
 A x2 -2x +2y = 2(xy+2)
 (1,5) (x-1)2 -2y(x-1) =5
 (x-1)(x-1-2y) = 5 0,5
 Từ đó ta được x-1 thuộc Ư(5) ={1 ;5 ;-1 ;-5}
 Ta có bảng kết quả 0.5
 x-1 1 5 -1 -5
 x-1-2y 5 1 -5 -1
 0.5
 x 2 6 0 -4
 y -2 2 2 -2
 B M= a3b – ab3 0.25
 (1,5) = (a3b –ab ) –(ab3 –ab) 0,25
Câu 1 = b(a3 –a) – a (b3-b) 0.25
 Ta có a3 – a = a(a-1)(a+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên tích chia 0,25
 3
 hết cho 6. Tương tự b –b chia hết cho 6 0.25
 Nên M chia hết cho 6 0,25
 C B = n2 + 2n + 8 là số chính phương nên
 (1,5) n2 + 2n + 8 =a2 (với a là số tự nhiên)
 (n+1)2 +7 =a2 0. 25
 (a+n+1)(a-n-1) = 7 Ta có bảng 0.25
 a+n+1 1 7 -1 -7
 a-n-1 7 1 -7 -1
 n -4 2 2 -4
 1,0
 Vậy n = - 4 hoặc n= 2
 a x y x2 y2
 A = 2 2 : 2 2 ( Với x ≠ y và x; y≠0)
 2,0 xy y x xy x y xy
Câu 2
 x2 y2 x2 y2
 A= : 2 2
 xy(x y) xy(x y) x y xy
 0.5 x2 y2 x2 y2 0.5
 A= : 2 2
 xy(x y) x y xy
 x2 y2 x2 y xy2 0,5
 A= . 2 2
 xy(x y) x y
 A= 1 0,5
 b) Ta có x2 -5x +6 = (x-2)(x-3) 0.5
 (2,5) Gọi thương và dư của phép chia P(x) cho x2-5x+6 lần lượt là A(x) 0,5
 và R(x). Vì đa thức chia bậc hai nên dư R(x) = ax+b
 Ta có P(x) = (x-3)(x-2).A(x)+ax+b ( đúng với mọi x) 0.5
 Cho x = 3 ta được P(3) = 5 nên 3a +b = 5
 Cho x = 2 ta được P(2) =6 => 2a + b = 6 0.5
 Ta giải được a = - 1 ; b= 8
 Vậy dư là –x +8 0,5
 A Vì x+y+z=3 nên z = 3-x-y 0,25
 (1,5) P = x(2x+z) + y(6y +z)
 P= 2x2 +6y2 +xz +yz
 P = 2x2 +6y2 +(3-x-y)(x+y) 0,25
 P= 2x2 +6y2+3x+3y -2xy –x2-y2
 P= x2 +5y2-2xy +3x+3y
 4.P =4x2 +20y2 -8xy +12x+12y
 0,5
 4P = (2x-2y+3)2 +(16y2 +24y +9) -9
 4P= (2x-2y+3)2 +(4y+3)2 -9
 4P 9
 Nên 9
 P 
Câu 3 4
 Vậy Min P = -4/9 khi x= -9/4; y = -3/4 và z= 6 0,5
 B Gọi số lần đi là x (lần) (x N *), Số lần dừng là x-1 (lần) 0.5
 (2,5) 4 8 12 4x 0.5
 Thời gian đi là: ... 2 4 6 ... 2x x(x 1) 
 2 2 2 2
 (giây)
 x(x 1)
 Thời gian dừng là 1 2 3 ... (x 1) (giây)
 2 0.5
 x(x 1)
 Theo bài ra ta có x(x 1) 155 0,5
 2 2x2 +2x+x2-x= 310
 3x2 +x-310=0
 (x-10)(3x+11) = 0
 x=10 (thỏa mãn)
 Thời gian đi là 10.(10+1) = 110 giây
 Khoảng cách từ A đến B là 110.2= 220 (m) 0,5
 A 0,5
 E
 F
 H
Câu 4 M
 D
 B C
 N
 K
 A Xét AEBvà AFCcó 1,0
 (2,0) B· AE C· AF
 B· EA C· FA 900
 Suy ra AEB∽ AFC (gg)
 AE AF
 Ta được 1,0
 AB AC
 Xét AEF và ABCcó
 F· AE C· AB
 AE AF
 (chứng minh trên)
 AB AC
 Suy ra AEF ∽ ABC(c.g.c)
 AE EF
 b) Ta có AEF ABC Suy ra (1) 0,5
 ∽ AB BC
 (2,0)
 Hoàn toàn tương tự ta có BF FD
 BFD BCA Suy ra (2) 0,5
 ∽ BC AC
 CD ED
 CED CBA Suy ra (3) 0,5
 ∽ AC AB
 0,5
 Nhân (1) (2) (3) theo vế ta được AE.BF.CD=EF.FD.ED
 Ta có điều phải chứng minh
 c) Ta có K và H đối xứng nhau qua BC nên H· BD K· BD 
 (1,5) Suy ra BEC ∽ BDK (gg)
 0,5
 Ta được BED ∽ BCK(cgc) 
 Do M, N lần lượt là trung điểm của DE và KC
 Nên BEM ∽ BCN(cgc)
 Suy ra C· BN E· BM ta được N· BM C· BE 0,5
 BE BM
 kết hợp với (Do BEM BCN(cgc) )
 BC BN ∽
 Suy ra BEC BMN(cgc) nên N· MB C· EB 900
 ∽ 0,5
 (1,0) Xét các đoạn thẳng nằm trên tia Ax
 Gọi a1 là đoạn thẳng có mút gần A nhất lúc đó có nhiều nhất là 
 hai đoạn thẳng có điểm chung với a1. Vậy còn ít nhất 10- 3= 7 0,25
 đoạn
 Trong 7 đoạn còn lại chọn đoạn a2 gần A nhất lúc đó có nhiều 
 0,25
Câu 5 nhất là hai đoạn thẳng có điểm chung với a2. Vậy còn ít nhất 7-
 3 = 4 đoạn
 Trong 4 đoạn còn lại chọn đoạn a3 gần A nhất lúc đó có nhiều 
 nhất 2 đoạn có điểm chung với a3. Còn lại ít nhất 4 -3 = 1 đoạn 0,25
 gọi đoạn đó là a4.
 Ta thấy 4 đoạn a1; a2; a3; a4 đôi một không có điểm chung
 0,25
 ---Hết---