Đường tròn – Hình vuông

ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG
1/ Cho hình vuông ABCD . Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M 
( M không trùng với D ) . Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm cạnh BC 
I
C
HƯỚNG DẪN
M
 B
	 O
 A	D
	DM là dây chung của hai đường tròn Þ AO ^ DI 
	Þ OAD = CDI ; AD = CD Þ D ADO = D DCI Þ IC = OD = ½ BC 
2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R . M là một điểm bất kỳ trên đường tròn .
a/Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
b/ Chứng minh MA . MB . MC . MD < 6R2 
M
HƯỚNG DẪN
K
 B	 C
H
O
 A	 D
a/ MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 ) – 2MA2 .MC2 = AC4 – 2MH2 .AC2 = 16R4 – 8R2.MH2
Chứng minh tương tự ta có : MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2
MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MH2 + MK2 ) = 32R4 – 8R2.R2
= 24R4 
b/ Aùp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có : 
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ³ 
Vì MA4 + MB4 ³ 
 MC4 + MD4 ³ 
Þ (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ³ 
 (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ³ 4MA.MB.MC.MD 
4MA.MB.MC.MD £ 24R4
MA.MB.MC.MD £ 6R4 Dấu “=” xảy ra Û MA = MB = MC = MD nhưng điều này không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R4
3/Cho hình vuông ABCD . Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA . Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K . Kẻ EF vuông góc với AB . 
Chứng minh EK = EF. 
HƯỚNG DẪN
B
A
	Nhận xét : EF ^ AB , EK ^ AK 
E
	Þ cần chứng minh AE là phân giác của góc BAD
K
C
D
	Đường tròn (D ) tiếp xúc với AB tại A Þ ADE = 2FAE (1) 
	ADE = KAF = FAE + EAK (2)
	Từ (1) và (2) ta có : FAE = EAK
3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a .
	a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định .
	b/ Tìm vị trí của E , F sao cho diện tích D CEF lớn nhất .
 A E	B	K	HƯỚNG DẪN
	H
 F
 D	 C
a/ Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ^ EF , H Ỵ EF .
D DFC = D DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
CF = CK .
Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA 
	= EB + FD = EB + BK .
Do đó D CEF = D CEK ( c.c.c)
Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau . 
CH không đổi , C cố định , CH ^ EF Þ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định ( C , a ) .
b/ D HCF = D DCF ( H = D = 900  ; CF chung ; CH = CD = a ) Þ SHCF = SDCF .
Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE
Þ SCEF = ½ SCDFEB Þ SCEF = ½ ( a2 – SAEF ) 
	SAEF ³ 0 Þ SCEF £ ½ a2 . Dấu “ = “ xảy ra Û SAEF = 0 Û 
	E º B , F º A hoặc E º A , F º D .
	Vậy E º B , F º A hoặc E º A , F º D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất . 
5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý . Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD . Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N . 
a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai . 
b/Tìm quỹ tích của N khi M di chuyển trên AB .
c/Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn nối tâm hai hình vuông . 
.
HƯỚNG DẪN
 F 	 E
N
H
C
D
I
 Q
 A	 M	B
a/ BD cắt AE tại H . D AHB có : HAB = HBA = 450 Þ HB ^ AH . 
Xét D AEB ta có : EM ^ AB ; BH ^ AE Þ AD ^ BE tại N . 
Mà DNB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Þ DN ^ BE tại N 
ba điểm A , D , N thẳng hàng 
 điều phải chứng minh .
b/ Quĩ ttích của N là nửa đường tròn đường kính BD .
c/ Quĩ tích của I là đường trung trực của đoạn thẳng PQ . Khi M trùng với B thì I trùng với tâm của hình vuông AMEF .