Giáo Trình Bồi Dỡng Học Sinh Giỏi Trường THCS Triệu Long

Vận tốc một động tử khi ngược dũng = vận tốc thật - vận tốc dũng nước.	
	b. Vớ dụ minh họa :
	* Toỏn về chuyển động đều:
1. Một người đi từ thị trấn Hồ xỏ về một xó ở Quảng Bỡnh. Người đú khởi hành lỳc 8 giờ sỏng và đi xe đạp với vận tốc 10 km/h. Sau đú 1 giờ cũng cú một người đi từ Hồ Xỏ về xó đú bằng ngựa với vận tốc 12 km/h. Hỏi người thứ 2 đuổi kịp người thứ nhất sau mấy giờ ? và gặp nhau cỏch Hồ Xỏ bao nhiờu km ?
	Giải:
	Cỏch 1: cỏch này dựng thụng thường với loại toỏn về chuyển động cựng chiều (đuổi kịp nhau).
	Sau 1 giờ, người đi xe đạp đi được 10 km. Nghĩa là sau 1 gời ta coi như 2 người cựng bắt đầu đi, thỡ rừ ràng người đi ngựa đi thua người đi xe đạp 10 km. Nhưng mỗi giờ người đi ngựa đi hơn người đi xe đạp là 12 – 10 = 2 (km). Như vậy muốn đi thờm 10 km nữa cho kịp, người đú phải đi trong  10 : 2 = 5 (giờ). Chỗ gặp nhau cỏch thị trấn Hồ Xỏ 5.12 10.6 = 60 (km).
	Cỏch 2: 
Trong cựng một thời gian, người đi ngựa đi được khoảng cỏch AC, với 
vận tốc 12 km/h. Người đi xe đạp đi
với vận tốc 10 km/h và đi được quóng
đường BC. Vỡ quóng đường tỉ lệ thuận 
với thời gian nờn ta cú: 
. Mặt khỏc AC – BC = 10 => AC = 10.6 = 60.
	Thời gian người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất là: 60 : 12 = 5 (giờ).
	Cỏch 3:
	Gọi t1 là thời gian để người đi xe đạp đi hết quóng đường AC; t2 là thời gian để người đi xe đạp đi hết quóng đường BC.
Ta biết thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc, tức là: .
Đến đõy bài toỏn được đưa về dạng: Tỡm hai số khi biết tỉ số của chỳng và hiệu của 2 số.
	t1 = 1.6 = 6 (giờ)
	t2 = 5 (giờ).
Quóng đường cần tỡm là 5.12 = 60 (km).
	*Toỏn về chuyển động ngược chiều:
2. Một xe đạp đi từ A đến B lỳc 8 giờ sỏng với vận tốc 20 km/h. Lỳc 9 giờ một ụ tụ đi từ B đến A với vận tốc 35 km/h. Hỏi sau mấy giờ thỡ gặp nhau? Và chỗ gặp nhau cỏch B bao nhiờu km? Biết rằng A và B cỏch nhau 240 km.
	Giải:
Cỏch 1:
	Sau 1 giờ người đi xe đạp đi từ A đến A/ cỏch A 20 km, lỳc đú ụ tụ bắt đầu đi từ B và cỏch người đi xe đạp 240 – 20 = 220 (km).
	- Mỗi giờ hai động tử đi được 20 + 35 = 55 (km).
	- Để đi được 220 km phải mất: 220 : 55 = 4 (giờ).
	- Chỗ gặp nhau cỏch B: 4. 35 = 140 (km).
	Cỏch 2:	
Từ 9 giờ đến lỳc gặp nhau, trong cựng một thời gian người đi xe đạp đi được quóng đường x với vận tốc 20 km/h. Trong lỳc đú ụ tụ đi được quóng đường y với vận tốc 35 km/h. Vỡ quóng đường tỉ lệ thuận với vận tốc nờn ta cú: . Mặt khỏc x + y = 220 nờn suy ra: 
=> => x = .
3. Một người cỏn bộ đó đi bộ liờn tục từ làng A đến làng B với vận tốc 
v = 6 km/h rồi từ làng B đến làng C với vận tốc v = 4 km/h. sau một thời gian cụng tỏc ở C người cỏn bộ đú trở về A theo đường cũ và quyết định đi thế nào để cho thời gian đi quóng đường CA bằng thời gian đi quóng đường AC để kịp bỏo cỏo. Muốn vậy người cỏn bộ tớnh toỏn phải đi đến trờn đoạn CA với vận tốc v = 5 km/h. Thế nhưng khi đến B người cỏn bộ phải dừng 24 phỳt để giải quyết cụng tỏc và cú thể về A đỳng thời gian qui định, người cỏn bộ quyết định tăng tốc 6 km/h. Hỏy tớnh khoảng cỏch từ A đến B, từ B đến C ?
	Giải:
	a).	+ Gọi thời gian đi từ B đến C là t1, thời gian đi từ C đến B là t2. (t1 và t2 tỉ lệ nghịch với 4 và 5 nờn ta cú: .
	+ Đi từ B đến C thời gian lõu hơn đi từ C đến B 24 phỳt (vỡ thời gian từ A à B và từ B về A là như nhau (quóng đường như nhau, vận tốc như nhau). Chi nờn chỉ cũn chờnh lệch thời gian ở quóng đường CB và BC).
=> t1 – t2 = 24.
	+ Vậy: 
=> Quóng đường BC bằng: 2.4 = 8 (km)
	b). Gọi t3 là thời gian đi từ A à B, t4 là thời gian đi từ B à A. Ta thấy:
. Nhưng đi từ B tới A lõu hơn từ A tới B 24 phỳt nờn: 
	.
	Vậy quóng đường AB là:	6km/h. 2 h = 12 (km).
.
4. Một ụ tụ đi qua cột km lỳc 7 giờ, qua cột km lỳc 8 giờ và qua cột km lỳc 9 giờ. Biết ụ tụ chuyển động thẳng đều. Tớnh vận tốc của ụ tụ.
	Giải:	
	* Từ 7 giờ đến 8 giờ ụ tụ đi được 
	 Từ 8 giờ đến 9 giờ ụ tụ đi được 
	* Vỡ ụ tụ chuyển động đều nờn : 
	=> hai chữ số bao giờ cũng bộ hơn 200) do đú cũng phải bộ hơn 200 và a khụng thể bằng 0 và a khụng thể lớn hơn 1 vỡ nếu a > 1 thỡ > 200. 
	Vậy a = 1.
Mặt khỏc tổng a + a và tổng c + c là cỏc tổng của cỏc chữ số thuộc hàng đơn vị của hai số bằng nhau nờn phải cú chữ số tận cựng bằng nhau. Mà ta đó cú : a + a = 2a = 2.1 = 2.
	Vậy c + c = 2c cũng cú tận cựng bằng 2. Tức là c = 6 (vỡ 1 c = 6).
	Ta cú vận tốc của ụ tụ là : 61 – 16 = 45 (km/h).
..
	5. Mai và Lan nhà ở cỏch nhau 1200 m đi về phớa nhà bạn. mai đi lỳc 9 giờ, Lan đi sau 5 phỳt. Dọc đường khụng thấy nhau, mỗi người cứ đến nhà bạn rồi quay lại ngay. Lần này thỡ hai bạn gặp nhau. Hỏi lỳc gặp nhau là mấy giờ ? Biết rằng mỗi phỳt Mai đi 60m, Lan đi 90m.
	Giải:
	Trong 5 phỳt Mai đi được 5. 60 = 300 (m).
	Mai và Lan gặp nhau sau khi Lan đi được một thời gian là: 
	(1200 m – 300 m) : (60 m + 90 m) = 6 (phỳt).
	Mai và Lan gặp nhau lần 1 lỳc (9 giờ 5 phỳt + 6 phỳt ) = 9 giờ 11 phỳt. Quóng đường mà Mai và Lan đi được cộng lại bằng 2 lần khoảng cỏch 1200 m trong một thời gian là : 1200.2 : (60 + 90) = 16 (phỳt).
	Thời gian gặp nhau lần 2 là : 9h11 ph + 16 ph = 9 h 27 ph..
..
	6. Một xe lửa đi qua cầu dài 181 m mất tất cả 47 s, cũng với vận tốc đú xe lửa lướt qua người đi bộ đi ngược chiều với xe lửa. Tớnh chiều dài và vận tốc của xe lửa ? Biết rằng vận tốc cử người đi bộ là 1 m/s và xe lửa lướt qua người đú trong 9 s.
	Giải:
	Trong 47 s, xe lửa đi được một quóng đường là một cầu dài 181m và quóng đường bằng chiều dài đoàn tàu 	
Giả sử khi đầu tàu bắt đầu đến mố cầu B, sau khi tàu qua khỏi A thỡ hết thời gian 47 s. Chẳng hạn người đú gặp đuụi tàu ở A. Tức là trong 38 s, xe lửa đi được 181+ 9.1 = 190 (km) 	=> vận tốc xe lửa là: 
v = = 5 (m/s) = 18 (km/h).
	Chiều dài xe lửa là : 5.9 + 9 = 54 (m).
.
	7. Hiện nay 3 giờ (giả thiết là cỏc kim đồng hồ chạy đỳng). Hóy tớnh xem bao nhiờu phỳt kim phỳt đuổi kịp kim giờ ?
	Giải:
	Cỏch 1: 
	Gọi S1 và S2 là số vũng mà kim phỳt và kim giờ đó quay được khi kim phỳt kịp kim giờ, như vậy thỡ : S1 – S2 = . Mặt khỏc khoảng cỏch tỷ lệ thuận với vận tốc, mà vận tốc kim phỳt quay gấp 12 lần vận tốc kim giờ nờn => .
	Kim phỳt quay 1 vũng hết 60 phỳt nờn muốn quay 3/11 vũng cần : 
	Vậy sau 16 phỳt thỡ kim phỳt đuổi kịp kim giờ.
	Cỏch 2:
	Kim phỳt quay 1 vũng thỡ kim giờ quay được 1/12 vũng. Như vậy trong 60 phỳt kim phỳt quay nhiều hơn kim giờ 1 - . Muốn đuổi kịp kim giờ kim phỳt cần quay hơn kim giờ ẳ vũng và như vậy mất một thời gian : 
..
6. Giải toỏn bằng phương phỏp lựa chọn:
	a. Nội dung: 
	Trong phương phỏp này ta xột mọi trường hợp cú thể xảy ra đối với một đối tượng. Sau đú chọ xem trường hợp nào đỳng với cỏc điều kiện của bài toỏn.
	b. Vớ dụ:
	1. Tỡm số cú ba chữ số biết rằng bỡnh phương chữ số hàng chục bằng tớch hai chữ số kia và nếu đổi chỗ hai chữ số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thỡ số ấy giảm đi 594 đơn vị.
	Giải:
	Gọi số phải tỡm là 
Do a > c nờn phộp trừ ở cột đơn vị cú nhớ, vỡ thế 10 + c – a, tức là a – c = 6.
Cỏc số thỏa món điều kiện này là : Cú hai trường hợp thỏa món bài toỏn :
	* b2 = 0, số phải tỡm là 600
	8 b2 = 16, số phải tỡm là 842.
	2. Tỡm số tự nhiờn cú hai chữ số biết rằng tổng cỏc chữ số của nú bằng 12 và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thỡ được số lớn hơn số ban đầu là 18.
	Giải:
	Gọi số phải tỡm là . Do a + b = 12, a < b nờn ta xột cỏc số : 57, 48, 39 cú tổng hai chữ số thỏa món đề bài. Tuy nhiờn phải đối chiếu với điều kiện thư hai là  ta cú :
	* 75 – 57 = 18
	* 84 – 48 = 36
	* 93 – 39 = 54
	Như vậy chỉ cú số 57 là thỏa món
	3. Tỡm số cú ba chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng trung bỡnh cộng của hai chữ số kia và số đú chia hết cho 45.
	Giải:
	Gọi số phải tỡm là Ta lại cú a + b + c mà a + c = 2b nờn 3b 9, do đú b 3, mà b 0 nờn b bằng 3 hoặc 6 hoặc 9.
	* Với b = 3 ta cú cỏc số : 630, 135
	* Với b = 6 ta cú số : 765
	* Với b = 9 thỡ khụng cú số nào thỏa món.
	Vậy cỏc số cần tỡm là : 630, 135, 765.
	7. Giải toỏn sử dụng nguyờn lý ĐIRICHLấ:
	a. Nội dung: 
Nguyờn lý này mang tờn nhà bỏc học Đirichlờ (1805-1859) : Khụng thể nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng mà mỗi lồng cú khụng quỏ 2 con thỏ. Núi cỏch khỏc, nếu nhốt 7 con thỏ vào 3 cỏi lồng thỡ tồn tại một lồng cú từ 3 con thỏ trở lờn.
	b. Vớ dụ:
	1. Một lớp học cú 40 học sinh. Chứng minh rằng cú ớt nhất 4 học sinh cú thỏng sinh giống nhau.
	Giải:
	Một năm cú 12 thỏng. Ta phõn chia 40 học sinh vào 12 thỏng ấy. Nếu mỗi thỏng cú khụng quỏ 3 học sinh được sinh ra thỡ số học sinh khụng quỏ 3.12 = 36 (em) mà 36 < 40 vụ lý.
	Vậy tồn tại một thỏng cú ớt nhất 4 học sinh trựng thỏng sinh (Trong bài này 40 thỏ vớ như là 40 HS, 12 lồng vớ như là 12 tờn thỏng).
	2. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiờn k sao cho 3k tận cựng bằng 001
	Giải:
	Trước hết ta chứng tỏ rằng tồn tại hai lũy thừa của 3 cú cựng số dư khi chia cho 1000. Trong phộp chia cho 1000, cú 1000 số dư là 0, 1, 2,.., 999.
	Ta xột 1001 số là 3, 32, 33,.., 31001 thỡ tồn tại hai số cú cựng số dư trong phộp chia cho 1000. Gọi hai số đú là 3m và 3n (1 n < m 1000). Như vậy 3m – 3n chia hết cho 1000, do đú 3n.(3m – 1) chia hết cho 1000, suy ra 3m-1 chia hết cho 1000, tức là số 3m – n tận cựng bằng 001.
..
	3. Người ta thả 130 viờn xỳc xắc vào một bàn cờ Quốc Tế cú 64 ụ vuụng. Chứng minh rằng tồn tại 1 ụ vuụng trong bàn cờ chứa 3 viờn xỳc xắc.
	Giải:
	Giả sử mỗi ụ chứa khụng quỏ 2 viờn xỳc xắc thỡ 64 ụ chứa khụng quỏ 2.64 = 128 (viờn).
	Mà 128 < 130. Nờn cú ớt nhất 1 ụ vuụng trong bàn cờ chứa 3 viờn xỳc xắc.
	4. Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiờn bất kỳ, tỡm được hai số cú hiệu chia hết cho 5.
	Giải:
	 Một số khi chia cho 5 chỉ cú 1 trong 5 số dư là 0, 1, 2, 3, 4. Ta lại cú 6 số tự nhiờn bất kỳ. Như vậy sẽ tồn tại hai số cú cựng số dư khi chia cho 5, hiệu của chỳng sẽ chia hết cho 5.
	5. Chững minh rằng tồn tại một bội số của 1989 được viết bởi toàn cỏc chữ số 1 và 0.
Giải:
	Xột 1990 số dạng 1, 11, 111,.., . Chia cỏc số trờn cho 1989, số dư chỉ cú thể là 0, 1, 2, 3, 4,,1988. Cú 1990 số mà chỉ cú 1989 số dư nờn tồn tại hai số cú cựng số dư, hiệu của chỳng chia hết cho 1989. Hiệu này gồm toàn chữ số 1 và 0.