Giáo trình Phương pháp tính - Trường Đại học Hàng Hải

ƣơng pháp tính 
55 
Gọi là một độ dài mở rộng của vectơ Z, ngƣời ta còn goị nó là chuẩn của Z. 
Chúng có tính chất giống nhƣ độ dài thông thƣờng của một vectơ , hay tri ̣ tuyêṭ đối của 
môṭ số thƣc̣: 
Với p = 0 hay 1 hay 2 ta đều có 
1) ||z||p  0, ||z||p = 0 z = vectơ không 
2) ||z||p = || ||z||p ,  là một số thực. 
3) ||u + v||p  ||u||p + ||v||p 
Hê ̣quả - Phƣơng pháp lăp̣ (3.31) hôị tu ̣khi và chỉ khi: 
||x
(m)
 - ||p  0 khi m  ∞ (3.34). 
Đối với ma trận vuông B = (bij) ta điṇh nghiã chuẩn của ma trâṇ B: 
, p = 0,1, thỏa mãn ba tính chất giống ba tính chất của chuẩn của vectơ . 
 1) ||B||p  0, ||B||p = 0  B là ma trâṇ không; 
2) ||kB||p = |k| ||B||p , k là môṭ số thƣc̣. 
3) ||B + C||p  ||B||p + ||C||p , C là ma trâṇ cùng cấp với B. 
Ngoài ra còn tính chất thứ tƣ: 
4) ||BZ||p  ||B||p ||Z||p , Z là vectơ có số chiều bằng cấp của B. 
Điṇh lý 3.2 - nếu 
||B||p < 1 (3.35) 
thì phƣơng pháp lặp (3.31) (3.32) hôị tu ̣với bất kỳ xấp xỉ đầu x
(0)
 nào, đồng thời sai số 
có đánh giá 
 (3.36) 
 (3.37) 
Trong đó: 
p = 0 nếu < 1 
p = 1 nếu < 1 
Chƣ́ng minh: Vì  là nghiệm của hệ (3.29) tƣ́c là hê ̣(3.30) nên 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
56 
  = B + g 
Lấy (3.31) trƣ̀ đẳng thƣ́c này vế với vế ta đƣơc̣: 
x
(m) 
-  = B(x(m-1) - ). 
Do đó: 
Vâỵ có: (3.38) 
Tƣơng tƣ:̣ 
..... 
..... 
Nhân các bất đẳng thƣ́c này vế với vế và giản ƣớc các thành phần giống nhau ở hai bên 
ta đƣơc̣ : 
Cho m   thì 0  < 1 theo giả thiết nên  0. 
Do đó: 
Đó chính là (3.34). Vâỵ phƣơng pháp lăp̣ (3.31) và (3.32) hôị tu.̣ 
Bây giờ xét các đánh giá sai số. Ta có: 
Ta suy ra: 
Do bất đẳng thƣ́c (3.38) cho: 
Vâỵ có 
Vì theo giả thiết của định lý nên 1 - > 0. 
Ta suy ra: 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
57 
Đó là đánh giá (3.36) 
Bây giờ tƣ̀ (3.31) ta có 
Trƣ̀ hai đẳng thƣ́c này vế với vế ta đƣơc̣ 
Do đó: 
Vâỵ : 
Ta suy dần ra: 
Thay vào vế trái của (3.36) ta đƣơc̣ (3.37). 
3. Thí dụ 
Xét hệ: 
Giải: Hê ̣này có daṇg (3.29). Ta phải đƣa nó về daṇg (3.30) sao cho điều kiêṇ hôị tu ̣
(3.35) đƣơc̣ thỏa mañ . Tƣ̀ ba phƣơng trình của hê ̣ , bằng cách giải phƣơng trình thƣ́ nhất đối 
với x1, phƣơng trình thƣ́ hai đối với x2, phƣơng trình thứ ba đối với x3: 
Vâỵ có x = Bx + g 
Với 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
58 
Để kiểm tra điều kiêṇ (3.35) ta tính 
Do đó ||B||o = max{0,08 ; 0,08 ; 0,0} = 0,08 < 1 
Vâỵ theo điṇh lý 3.2 phƣơng pháp lăp̣ đơn 
Hôị tu ̣với x(0) chọn trƣớc. Ta choṇ x(0)= (0,0,0)T. Kết quả tính ghi thành bằng 3.3 
Bảng 3.3 
m 0 1 2 3 4 
0 2 1,92 1,9094 1,90923 
0 3 3,19 3,1944 3,19495 
0 5 5,04 5,0446 5,04485 
Để đánh giá sai số ta tính: 
= max {0,00017 ; 0,00055; 0,00025} 
= 0,00055 
Áp duṇg công thƣ́c (3.36) với p = 0 ta thu đƣơc̣ 
Vâỵ có: 1 = 1,90923  0,00005 
 2 = 3,19495  0,00005 
 3 = 5,04485  0,00005. 
4. Sơ đồ tóm tắt phƣơng pháp lăp̣ đơn 
1) Cho hê ̣phƣơng trình tuyến tính Ax = b. 
2) ấn định sai số cho phép ,  > 0 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
59 
3) Đƣa hê ̣Ax = b về hê ̣tƣơng đƣơng. 
 x = Bx + g. 
Sao cho điều kiêṇ (3.35) thỏa mãn. 
4) Chọn x(0) (tuỳ ý. 
5. Tính 
, 
m = 0, 1, 2, ... Cho tới khi 
Thì dừng quá trình tính. 
Kết quả: x(m)  . Với sai số  
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
60 
PHỤ LỤC 2 
VỀ MÔṬ HÊ ̣ĐAỊ SỐ TUYẾN TÍNH KHÔNG ỔN ĐIṆH 
Bây giờ ta nêu môṭ hiêṇ tƣơṇg đăc̣ biêṭ đáng chú ý khi giải gần đúng môṭ hê ̣phƣơng 
trình đại số tuyến tính. 
Xét hai hệ cụ thể: 
x + 2y = 2 (3.39) 
2x + 3,9y = 2 
x + 2y = 2 (3.40) 
2x + 4,1y = 2 
Nghiêṃ của hê ̣(3.39) là x = -38, y = 20 
Nghiêṃ của hê ̣(3.40) là = 42, = - 20 
Ta thấy rằng hai hê ̣ (3.39) và (3.40) chỉ khác nhau ở một hệ s ố 3,9 và 4,1 với |4,1 - 3,9| 
= 0,2, nhƣng nghiêṃ của chúng khác nhau khá xa. 
| - x| = |42 - (-38)| = 80 
| - y| = |-20 - 20| = 40 
Hiêṇ tƣơṇg “sai môṭ li đi môṭ dăṃ” này là môṭ hiêṇ tƣơṇg không ổn điṇh trong tí nh 
toán. Ngƣời làm tính cần phải biết để đề phòng. 
BÀI TẬP 
1. Dùng phƣơng pháp Gaoxơ giải hệ 
tính tới ba chữ số lẻ thập phân. 
2. Dùng phƣơng pháp Gaoxơ giải các hệ 
a) 
b) 1,5x1 - 0,2x2 + 0,1x3 = 0,4 
 - 0,1x1 + 1,5x2 - 0,1x3 = 0,8 
 - 0,3x1 + 0,2x2 - 0,5x3 = 0,2 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
61 
Các phép tính lấy đến 5 chƣ̃ số lẻ thâp̣ phân. 
3. Giải hệ sau đây bằng phƣơng pháp lặp đơn, tính lặp ba lần và cho biết sai số: 
1,02x1 - 0,05x2 - 0,10x3 = 0,795 
 - 0,11x1 + 1,03x2 - 0,05x3 = 0,849 
 - 0,11x1 - 0,12x2 + 1,04x3 = 1,398 
4. Giải hệ: 
Bằng phƣơng pháp lăp̣ đơn cho tới khi 
Và đánh giá sai số. 
TRẢ LỜI 
1. x1 = 1,642 ; x2 = - 2,789 ; x3 = 12,672 
2. a) x1 = 0,5 ; x2 = 1,3 ; x3 = 2,5 
 b) x1 = 0,980 ; x2 = 0,53053 ; x3 = - 0,40649 
3. x1 = 0,980 ; x2 = 1,004 ; x3 = 1,563 
Với sai số tuyêṭ đối nhỏ hơn 1,1.10-3 nếu choṇ xấp xỉ đầu : 
x
(0)
 = (0,80 ; 0,85; 1,40) 
4. x1 = 0,9444 ; x2 = 1,1743 ; x3 = 1,1775. 
Với sai số theo chuẩn || . ||0 bé hơn 0,5 . 10
-4
 . 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
62 
MỘT SỐ ĐỀ THI MẪU 
ĐỀ SỐ 1 
Câu 1: 
Khái niệm số gần đúng và sai số. Cách viết số xấp xỉ. Sự quy tròn số và sai số quy tròn. Các 
quy tắc tính sai số. Sai số phƣơng pháp và sai số tính toán. Cho ví dụ. 
Câu 2: 
Tính tổng sau đây với 6 chữ số thập phân: 
A = 
1 1 1 1
...
2 4 6 20
    
Đánh giá sai số của kết quả tìm đƣợc. 
Câu 3: 
Giải gần đúng phƣơng trình x2 - sin2x = 0,15 bằng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối 
không quá 10
-6
. 
ĐỀ SỐ 2 
Câu 1: 
Trình bày bài toán giải gần đúng phƣơng trình. Định nghĩa nghiệm và khoảng phân ly 
nghiệm. Trình bày nội dung của phƣơng pháp lặp và phƣơng pháp dây cung. 
Câu 2: 
Hàm f(x) đƣợc cho bằng bảng: 
x -2 0 2 3 
y 2 -1 1 2 
1. Tìm đa thức nội suy Lagrange của f(x) 
2. Tìm đa thức nội suy Newton của f(x) 
Câu 3: 
Cho bài toán Côsi: y' = 2xy
2
, 0  x  2, y(0) = 1. Giải gần đúng bài toán bằng phƣơng pháp 
chuỗi Taylo đến đạo hàm cấp 3. 
ĐỀ SỐ 3 
Câu 1: 
Trình bày khái niệm đa thức nội suy. Nêu công thức tính đa thức nội suy Lagrange và đa 
thức nội suy Newton. 
Câu 2: 
1. Khi đo chiều dài của một cái cầu ta đƣợc kết quả là 1254,32m với sai số tuyệt đối 
của phép đo là 0,02m. Tính sai số tƣơng đối của phép đo ấy. 
2. Khi đo diện tích của một thửa ruộng ta đƣợc kết quả là 452,58m2 với sai số tƣơng 
đối của phép đo là 0,001m2. Tính sai số tuyệt đối của phép đo ấy. 
3. Xác định các chữ số đáng tin của số a = 254,321872 biết sai số tuyệt đối của nó là 
a = 0,4.10
-3
. 
Câu 3: 
Cho bài toán Côsi: y' = x
2
 + y
2
 + 4, 0  x  1, y(0) = 2. Giải gần đúng bài toán bằng phƣơng 
pháp Ơ-le với n = 10. 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
63 
ĐỀ SỐ 4 
Câu 1: 
Trình bày công thức tính gần đúng đạo hàm và công thức tính gần đúng tích phân xác định. 
Câu 2: 
Giải gần đúng phƣơng trình x2 - sin2x = 0,15 bằng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối 
không quá 10
-6
. 
Câu 3: 
Hàm f(x) đƣợc cho bằng bảng: 
x -2 0 2 3 
y 3 -1 1 2 
1. Tìm đa thức nội suy Lagrange của f(x) 
2. Tìm đa thức nội suy Newton của f(x) 
ĐỀ SỐ 5 
Câu 1: 
Trình bày phƣơng pháp Euler và phƣơng pháp Runger-Kutta để giải gần đúng bài toán Côsi. 
Câu 2: 
Dùng công thức hình thang và công thức Simpson với n = 10 tính gần đúng giá trị của tích 
phân xác định: I = 
1
0
1 3
dx
x
. Đánh giá sai số của từng phƣơng pháp. 
Câu 3: 
Giải gần đúng phƣơng trình x2 - sin2x = 0,15 bằng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối 
không quá 10
-6
. 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
64 
TÓM TẮT ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 
Đề 1 
Câu 1. (3 điểm) 
Nêu đƣợc khái niệm số gần đúng và sai số. 
Có 3 cách viết số xấp xỉ 
Nêu đƣợc quy tắc làm tròn số. Quy tắc tính sai số: quy tắc cộng và quy tắc nhân. 
Phân biệt đƣợc sai số tính toán và sai số phƣơng pháp. 
Câu 2. (3 điểm) 
Tính đƣợc giá trị gần đúng của A là: 1,464484 
Câu 3. (4 điểm) 
Tìm đƣợc nghiệm gần đúng của phƣơng trình. 
Đề 2 
Câu 1. (3 điểm) 
Nêu đƣợc bài toán giải gần đúng phƣơng trình đại số. 
Định nghĩa đƣợc nghiệm và khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình 
Nêu đƣợc nội dung của phƣơng pháp dây cung và phƣơng pháp lặp. 
Câu 2. (4 điểm) 
Tìm đƣợc đa thức nội suy Newton và đa thức nội suy Lagrange của f(x) 
Câu 3. (3 điểm) 
Dùng công thức chuỗi Taylo tmf đƣợc đa thức nội suy cấp 3 của f(x). 
Đề 3 
Câu 1. (3 điểm) 
Trình bày đƣợc khái niệm đa thức nội suy. Nêu đƣợc công thức tính đa thức nội suy 
Lagrange và đa thức nội suy Newton. 
Câu 2. (3 điểm) 
1. Sai số tƣơng đối là: 0,001573 
2. Sai số tuyệt đối của phép đo là: 18,3714 
3. Các chữ số đáng tin là: 741,321 
Câu 3. (4 điểm) 
Dùng phƣơng pháp Ơ le với n = 10 giải đƣợc nghiệm gần đúng của bài toán Cô si. 
Đề 4 
Câu 1. (3 điểm) 
Trình bày đƣợc công thức tính gần đúng đạo hàm và tích phân của hàm số cho trƣớc. 
Câu 2. (3 điểm) 
Dùng phƣơng pháp lặp giải gần đúng nghiệm của phƣơng trình đã cho. 
Câu 3. (4 điểm) 
Từ bảng đã cho tìm đƣợc đa thức nội suy Lagrange và Newton của hàm số cho bằng bảng. 
Đề 5 
Câu 1. (3 điểm) 
Trình bày đƣợc phƣơng pháp Ơ le và phƣơng pháp Runge Kutta giải gần đúng bài toán Cô si 
trong khoảng cho trƣớc. 
Câu 2. (4 điểm) 
Dùng công thức hình thang và công thức Simpson với n = 10 tính đƣợc giá trị gần đúng của 
tích phân là I = ln4. 
Câu 3. (3 điểm) 
Dùng phƣơng pháp lặp với sai số tuyệt đối không quá 10-4 tính đƣợc nghiệm gần đúng của 
phƣơng trình. 
Bài giảng môn học Phƣơng pháp tính 
65 
TÀI LIÊỤ THAM KHẢO 
[1] Lê Đình Thiṇh, Phương pháp tính, NXB KH&KT Hà Nôị, 1995. 
[2] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nôị, 1996. 
[3] Dƣơng Thủy Vy,̃ Giáo trình Phương pháp tính, NXB KH&KT Hà Nôị, 2006. 
[4] Cao Quyết Thắng, Phương pháp tính, Khoa Sau Đaị hoc̣, Đaị hoc̣ Hàng hải, 1994.