Khai thác các cách giải khác nhau về một số dạng toán cực trị trong hình học không gian

ách 2: Nhận xét đường thẳng có vectơ chỉ phương là 
Và 
Thay toạ độ A vào phương trình được: Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// Ta có phương trình tham số của là: 
Gọi H là hình chiếu của A trên Thì H=(1-t,2t,-1+t) (1)
Vậy Ta có 
Thay vào (1) được toạ độ điểm 
Gọi là điểm đối xứng với A qua 
 Ta có: 
Vậy phương trình đường thẳng A’B là: 
 Vậy phương trình tổng quát của là: 
Gọi M=(x,y,z) là giao điểm của A’B và thì toạ độ M là nghiệm của hệ:
 vậy 
 Nhận xét M là điểm cần tìm. thật vậy lấy điểm M tuỳ ý trên 
Ta có: M’A+M’B=M’A’+M’B A’B=MA’+MB=MA+MB.
Câu 2 : Cho đường thẳng và hai điểm A và B 
Sao cho AB// .Hãy tìm trên điểm M sao cho : nhỏ nhất 
1.Phương pháp chung 
Cách 1:
 A I B
 M M' 
 Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên Tìn toạ độ M và chứng minh M là điểm cần tìm như sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên ta có 
=2M'I =
Cách 2: Lấy tính độ dài của tù đó tim được giá trị nhỏ nhất
2.ví dụ ninh hoạ: cho: Với A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. sao cho : nhỏ nhất
Cách 1: Nhận xét đường thẳng có vectơ chỉ phương là 
Và 
Thay toạ độ A vào phương trình được: 
Vâỵ điểm A không thuộc nên AB// 
Ta có phương trình tham số của là: 
Gọi I là trung điểm của AB thì I=(0,0,0) Gọi M là hình chiếu của I trên thì M=(1-t , 2t , t-1) (1)
Vậy:
Ta có: 
Thay vào (1) ta được 
 Ta chứng minh điểm M cần tìm:
 Thật vậy. Gọi M’ là điểm tuỳ ý thuộc 
Ta có: 
Cách 2: Ta có phương trình tham số của là: Lấy điểm 
M (;;) Ta có 2-t;2t-2;t-2) và 
Nên (2-2t;4t;2t-2) vậy 
 nhỏ nhất khi t= tức 
Câu 3: Cho đường thẳng Và hai điểm A và B sao cho hãy tìm trên điểm M Sao cho ngắn nhất
1. Phương pháp giải
*Viết phương trình về tham số 
*Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(;;)
Thay vào P== với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P
2. Ví dụ minh hoạ: cho: Với A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) Tìm trên điểm M. sao cho : nhỏ nhất
Ta có phương trình tham số của là: Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc điểm M=(1-t , 2t , t-1)(*)
 Ta có 
Vậy 
P nhỏ nhất Khi vào (*) ta được 
II .Dạng 2 Cho đường thẳng và hai điểm A và B 
Sao cho AB cắt .Hãy tìm trên điểm M sao cho :
 1.MA+MB nhỏ nhất B
 2. nhỏ nhất A 
 3. ngắn nhất 
Câu1: Cho đường thẳng Và hai điểm A và B sao cho AB và cắt nhau ,và A;B nằm cùng phía so với . hãy tìm điểm M Sao cho MA+MB nhỏ nhất
1. Phương pháp giải
Cách 1: 
*chứng minh cho AB và cắt nhau và A;B nằm cùng phía so với .
 Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ,Gọi M là giao điểm của A’B và 
Ta chứng minh M là điểm cần tìm như sau Giả sử M’ là 1 điểm tuỳ ý trên ta có 
Cách 2: *Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(;;) ta tinh MA và MB 
 Dùng phương pháp đáng giá ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P
2.ví dụ minh hoạ: 
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : (d)
và 2 điểm M1(2 ; 1; 5) ; M2(4 ; 3 ; 9)
Tìm điểm I ẻ (d) sao cho IM1 + IM2 nhỏ nhất.
(d) có véc tơ chỉ phương là : và đi qua điểm A(2 ; -5 ; 0) 
Phương trình tham số của :
Ta có nên phương trình tham số đường thẳng M1M2 là :
Toạ độ giao điểm nếu có của (d) và đường thẳng M1 M2 là nghiệm hệ phương trình :
Giao điểm E (1, 0, 3)
 Vậy : 
nên M1 và M2 ở về cùng 1 phía đối với đường thẳng (d).
Gọi (a) là mặt phẳng qua M1 và (a) ^ (d) nên phương trình mặt phẳng (a) là :
	1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0 Û x - 5y - 3z + 18 = 0
Giao điểm H của (d) với mặt phẳng (a) :
Gọi M' là điểm đối xứng của M1 qua (d) nên H là trung điểm M1M', do đó :
Khi đó mọi điểm trên (d) cách đều 2 điểm M1 và M'.
Nên	: FM1 + FM2 = FM' + FM2, "F ẻ (d)
Tổng này nhỏ nhất khi và chỉ khi F là giao điểm của (d) với đường thẳng M2M' (vì M2 và M' ở hai bên đường thẳng (d)). Ta có : 
Phương trình đường thẳng qua M' M2 là:
Giao điểm của (d) với M'M2 là nghiệm hệ phương trình :
Toạ độ điểm I cần tìm là : 
Ví dụ 2: cho : với điểm A=(-1;-1;0) và
 điểm B=(5;2;-3) tìm M thuộc sao cho lớn nhất.
 Giải:
Cách 1: Phương trình tham số của là: 
Do 
Suy ra 
đặt 
Chọn M’=(t, 0) ; 
Dấu đẳng thức xảy ra khi 3 điểm M’,A’,B’ thẳng hàng.
Hay
 Vậy ; 
Mà 
Vậy là điểm cần tìm.
Cách 2: Đường thẳng đi qua điểm C=(1, 0, -1) và có vectơ chỉ phương là Suy ra: và 
Ta có: và
Vậy 2 đường thẳng AB và đồng phẳng
Ta có phương trình AB: 
Phương trình :
Gọi D là giao điểm của AB và . Toạ độ D là nghiệm của hệ: 
Ta có : vậy A và B nằm khác phía so với đường thẳng. gọi H là hình chiếu của của B trên đường thẳng . Toạ độ H=(1-t, 2t, t-1) là 1 điểm thuộc . Tacó: Vậy 
Gọi B là điểm đối xứng với B qua đường thẳng thì H là trung điểm của BB’. Nên toạ độ 
Vậy phương trình đường thẳng AB’ là: 
Gọi M’ là điểm bất kỳ trên đường thẳng thì:
Vậy toạ độ M là nghiệm của hệ: 
Câu2: Cho đường thẳng và hai điểm A và B 
Sao cho AB cắt .Hãy tìm trên điểm M sao cho : . nhỏ nhất 
1.Phương pháp chung 
 A
 I
 B
 M M' 
 Cách 1: Gọi I là trung điểm của AB .Gọi M là hình chiếu của I trên Tìn toạ độ M và chứng minh M là điểm cần tìm như sau .Gọi M' là điểm tuỳ ý trên ta có 
=2M'I =
Cách 2: Lấy tính độ dài của tù đó tim được giá trị nhỏ nhất
 cho : với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3)
tìm M thuộc sao cho : nhỏ nhất (Phương pháp giải tương tự câu 2 dạng 1)
Câu3: Cho đường thẳng Và hai điểm A và B sao cho AB cắt hãy tìm trên điểm M Sao cho ngắn nhất
1. Phương pháp giải
*Viết phương trình về tham số 
*Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(;;)
Thay vào P== với f(t) là tam thức bậc hai từ đó ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P
 cho : với điểm A=(-1;-1;0) và điểm B=(5;2;-3)
tìm M thuộc sao cho : nhỏ nhất (Phương pháp giải tương tự câu 3 dạng 1)
III.Dạng 3 : Cho đường thẳng Và hai điểm A và B sao cho AB và chéo nhau ; hãy tìm điểm M Sao cho 
P=MA+MB nhỏ nhất
P= Đạt giá trị lớn nhất
3.P=ngắn nhất (tương tự câu 3 dạng 2)
Câu 1: Cho đường thẳng Và hai điểm A và B sao cho AB và chéo nhau ; hãy tìm điểm M Sao cho P=MA+MB nhỏ nhất
1.Phương pháp: 
 Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(;;) ta tinh MA và MB 
 Dùng phương pháp đáng giá ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P
2.Ví dụ minh hoạ : cho đường thẳng : và 2 điểm A=(0,1,1), B=(1,0,0) .Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất
Tìm điểm M sao cho: MA+MB nhỏ nhất
Giải:
 Nhận xét đường thẳng đi qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ chỉ phương là . Ta có và 
Và 
nên đường thẳng chứa AB và chéo nhau Vậy phương trình tham số của là: Lấy điểm M=(t+1, t, -t-1) (*) là điểm tuỳ ý thuộc 
Ta có: 
Và 
Cách 1: ta có = +
(1)
Chọn 
Thay vào (1) có: 
Vậy P nhỏ nhất khi và chỉ khi 3 điểm A’, B’, M’ thẳng hàng
Ta có: 
để 3 điểm A’, M’, B’ thẳng hàng điều kiện là 
Thay vào (*) được: 
Cách 2: ta có phương trình tham số của đường thẳng là:
Ta lấy điểm , toạ độ M=(t+1, t, -t-1).
Gọi E là hình chiếu của B trên . điểm E=(t+1,t,-1-t).
Ta có 
Vì E là hình chiếu của B trên đường thẳng nên. 
 Vậy toạ độ điểm 
Gọi I là hình chiếu của A trên đường thẳng thì I=(t+1, t, -1-t)
Và nên 
Ta có 
Vậy sao cho Hay (1)
Ta có: 
Thay vào (1) ta có:
Thay t vào toạ độ M ta được: 
Ta chứng minh M là điểm cần tìm như sau. Gọi P là mặt phẳng chứa I và P vuông góc với. Trên mặt phẳng dựng đường tròn tâm I, bán kính IA, trên đường tròn này lấy điểm A’ sao cho A’, B nằm về hai phía so với và A, B đồng phẳng. ta lấy điểm M tuỳ ý trên .
Ta có : M’A+M’B=M’A’+M’B A’B=MA’+MB=MA+MB
Câu 2: Cho đường thẳng Và hai điểm A và B sao cho AB và chéo nhau ; hãy tìm điểm M Sao cho P= Đạt giá trị lớn nhất
1. Phương pháp :Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(;;) ta tinh MA và MB 
 Dùng phương pháp đáng giá ta tìm được giá trị lớn nhất của P
2.Ví dụ minh hoạ: cho đường thẳng : và 2 điểm A=(0,1,1), B=(1,0,0) Tìm điểm M sao cho: lớn nhất.
 Giải : Nhận xét đường thẳng đi qua điểm C=(1,0,-1) và có vectơ chỉ phương là . Ta có và 
Và 
nên đường thẳng chứa AB và chéo nhau
Vậy phương trình tham số của là: 
Lấy điểm M=(t+1, t, -t-1) (*) là điểm tuỳ ý thuộc 
Ta có: 
Và 
Cách 1: ta có = 
(1)
Chọn 
Thay vào (1) có: 
Vậy P lớn nhất khi và chỉ khi 3 điểm A’, B’, M’ thẳng hàng
Ta có: 
để 3 điểm A’, M’, B’ thẳng hàng điều kiện là 
Thay vào (*) được: 
Câu 3: Cho đường thẳng Và hai điểm A và B sao cho AB và chéo nhau ; hãy tìm điểm M Sao cho 
ngắn nhất
1.Phương pháp: Lấy M tuỳ ý thuộc : M=(;;) ta tinh 
 Dùng phương pháp đáng giá ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P
2.Ví dụ minh hoạ : cho đường thẳng : và 2 điểm A=(0,1,1), B=(1,0,0)
Tìm điểm M sao cho: ngắn nhất (Phương pháp giải tương tự câu 3 dạng 1)
IV.Dạng 4 :Trong không gian cho 3 điểm A,B,C và mặt phẳng P .Tìm trên P điểm M sao cho Q = Đạt giá trị nhỏ nhất
1.Phương pháp : Gọi M = (x,y,z) thuộc P ta tính a ; b và c
Ta có a + b + c=đặt Vậy Q= ==OM’ với M’=(X,Y,Z) với O là gốc toạ OM’ nhỏ nhất khi M’ là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P)
2.Ví dụ minh hoạ : Cho ΔABC Với A=(-1,1,0) B =(1,-1,1) C =(0,1,2) và mặt phẳng P:2x-y+z-1 =0 Hãy tìm điểm M thuộc P sao cho Q = Đạt giá trị nhỏ nhất
Giải Gọi M = (x,y,z) thuộc P ta có =(-1-x,1-y,-z) Ta có 
 = (-6x+1,-6y+2,-6z+8) đặt 
Ta có Q ==OM’ với M’=(X,Y,Z) với O là gốc toạ độ và mặt phẳng P trở thành 2X-Y+Z-2=0 Ta có Gọi (d) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với P thì phương trình phương đường thẳng d là Gọi M là giao điểm của d và P thì M = (
V.Dạng 5 : Cho hệ thức = R2 (1) Hãy tìm cặp (x;y;z) thoả mãn hệ thức (1) sao cho biểu thức P= ax+by+cz (2) là lớn nhất và nhỏ nhất 
1. Phương pháp:
Cách 1: Nhận xét (1) là phương trình mặt cầu Tâm I(x0;y0;z0) bán kính R ;còn (2) là phương trình mặt phẳng (Q) Để tồn tại cặp (x;y;z) thì mặt phẳng (Q) phải cắt mặt cầu Tâm I(x0;y0;z0) bán kính R.Khi và chỉ khi d(I;(P))
Vậy và M=MacP
Cách 2: P= ax+by+cz (2)
=
= 
Ví dụ minh hoạ: Cho đẳng thức (1) và biểu thức P=2x-y+z hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P với x;y;z thoả mãn (1)
Cách 1: Nhận xét (1)là mặt cầu có tâm I(-1.0.2) và bán kính R=2 còn 
P=2x-y+z là phương trình mặt (Q) Để tồn tại cặp (x;y;z) thì mặt phẳng (Q) phải cắt mặt cầu Tâm I(-1.0.2) bán kính R=2 .Khi và chỉ khi d(I;(Q)) .Vậy Min P= và
 MacP= Từ lý luận trên hiển nhiên xảy ra dấu đẳng thức
Cách 2:
Ta có A=2(x-1)+y+(z-2) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacoxki Ta có 
 .Vậy 
Vậy giá trị lớn nhất của P là 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là -