Khóa luận Cải tiến phương pháp Dạy Học Với Yêu Cầu Tích Cực Hóa Hoạt Động Học Tập Theo Hướng Giúp Học Sinh Phát Hiện Và Giải Quyết Vấn Đềqua Việc Tổ Chức Dạy Học Hàm Số Liên Tục

 gián đoạn (do 3, 2 D− ∉ ) 0,5 
Bài 4: (1,5 điểm) 
(0)h a= 0,25 
2
2 20 0 0
cos 3cos 2 (cos 2)(cos 1)lim ( ) lim lim
2 2x x x
x x x xh x
x x→ → →
− + − −= = 
2
20
2sin (cos 2) 12lim
2 4x
x x
x→
− −
= = 0,75 
Hàm số h(x) liên tục tại điểm x = 0 
0
lim ( ) (0)
x
h x h→⇔ = 0,25 
 1
4
a⇔ = 0,25 
Bài 5: ( 2 điểm) 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 78 
Đặt 4( ) sin 2 1f x a x x m= − − + 0,25 
( )f x liên tục trên  0,5 
( ) 1 0
2
f π π− = − > 
( ) 1 0
2
f π π= − − < 0,75 
Vậy phương trình ( ) 0f x = luôn có nghiệm trong ( ; ), .
2 2
mπ π− ∀ 0,5 
2. Đề kiểm tra và đáp án của lớp 11V trường THPT Thoại Ngọc Hầu 
Đề 1: 
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau: 
3 2
3 2
2 2
2( )
5
7
x x x
x x xf x
⎧ − + −⎪⎪ − − −= ⎨⎪⎪⎩
Bài 2: Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau 
2
2
11 2 4 3 2
4 3( )
3
4
x x x
x xg x
⎧ + − − +⎪⎪ + += ⎨⎪⎪⎩
Bài 3: 
Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0 
2
1 sin cos
( )
x x x
h x x
a
⎧ + −⎪= ⎨⎪⎩
Bài 4: Chứng minh phương trình 4tan 2 0x x+ − = luôn có nghiệm trong 5(0; )
6
π 
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a 
5 0x x a+ − = 
nếu x ≠ 2 
nếu x = 2 
nếu x >1 
nếu x≤ 1 
nếu x ≠ 0 
nếu x = 0 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 79 
Đề 2: 
Bài 1: 
Xét tính liên tục của hàm số sau: 
3 2
3 2
2 2 1
2 1( )
5
9
x x x
x x xf x
⎧ − + −⎪⎪ + + −= ⎨⎪⎪⎩
Bài 2: 
Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau: 
2
2
11 2 4 3 2
2( )
3
4
x x x
x xg x
⎧ + − − +⎪⎪ + −= ⎨⎪⎪⎩
Bài 3: 
Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0 
1 tan 1 tan
( ) sin 2
x x
h x x
a
⎧ − − +⎪= ⎨⎪⎩
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình 42 tan 2 3 0x x+ − = luôn có nghiệm trong 5(0; )
6
π 
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m 
5 2 0x x m+ − = 
Đáp án và thang điểm 
Đề 1: 
Bài 1 : (2 điểm) 
}{ 3 23 22 2\ 2 : ( ) 2x x xx f x x x x− + −∀ ∈ = − − − xác định ⇒ liên tục trên { }\ 2 0,5 
Tại x = 2: 
5(2)
7
f = 0,25 
nếu 1
2
x ≠ 
nếu 1
2
x = 
nếu x >-1 
nếu x ≤ -1 
 nếu 0x ≠ 
 nếu x = 0 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 80 
2
22 2
1 5lim ( ) lim (2)
1 7x x
xf x f
x x→ →
+= = =+ + 0,5 
Vậy f(x) liên tục tại 2 0,5 
Kết luân: f(x) liên tục trên R 0,25 
Bài 2: (2 điểm) 
2
2
2 31: ( )
2
x x xx g x
x x
+ + − +∀ > = + − xác định ⇒ g(x) liên tục 1x∀ > 
11: ( )
3
x g x∀ < = liên tục ⇒ g(x) liên tục 1x∀ < 0,5 
Tại x = 1; 
1
1 1(1) , lim ( )
3 3x
g g x−→= = 0,5 
2
21 1
21
2 3lim ( ) lim
2
1 1lim (1)
6( 2)( 2 3 )
x x
x
x x xg x
x x
x g
x x x x
+ +
+
→ →
→
+ + − += + −
+= = ≠+ + + + +
 1,0 
Vậy g(x) gián đoạn tại x = 1 
Bài 3( 2 điểm) 
h(0) = a 
2
20 0
2
20
1 sin coslim ( ) lim
( 1 sin cos )
sin sinlim 1
( 1 sin cos ) ( 1 sin cos )
x x
x
x x xh x
x x x x
x x
x x x x x x x x
→ →
→
+ −= + +
⎡ ⎤= + =⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦
 1,25 
h(x) liên tục tại x = 0
0
lim ( ) (0)
x
h x h→⇔ = 1a⇔ = 0,75 
Bài 4: (2 điểm) 
Đặt 4( ) tan 2f x x x= + − 0,5 
(0) 2 0f = − < 
( ) 7 0
3 3
f π π= + > 1,0 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 81 
f(x) liên tục trên ;
3
o π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 0,25 
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trong (0; )
3
π .Suy ra đpcm. 0,25 
Bài 5: (2 điểm) 
Đặt 5( )f x x x a= + − 
( )f x liên tục trên  0,5 
5
(0)
( )
f a
f a a
= −
= 1,0 
6(0). ( ) 0,f f a a a= − ≤ ∀ 
Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a. 0,5 
Đề 2: 
Bài 1: (2 điểm) 
3 2
3 2
1 2 2 1\ , ( )
2 2 1
x x xx f x
x x x
− + −⎧ ⎫∀ ∈ =⎨ ⎬ + + −⎩ ⎭ xác định ( )f x⇒ liên tục trên 
1\
2
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭ 0,5 
Tại 1 :
2
x = 
1 5( )
2 9
f = 0,25 
2
21 1
2 2
1 5 1lim ( ) lim ( )
2 1 7 2x x
xf x f
x x→ →
+= = ≠+ + 0,5 
Vậy ( )f x không liên tục tại 1
2
x = 0,5 
Kết luận: ( )f x liên tục trên 1\
2
⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭ , không liên tục tại 
1
2
x = 0,25 
Bài 2: (2 điểm) 
2
2
11 2 4 3 2( 1; ), ( )
4 3
x x xx g x
x x
+ − − +∀ ∈ − +∞ = + + xác định 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 82 
( )g x⇒ liên tục trên ( 1; )− +∞ 
3( ; 1), ( )
4
x g x∀ ∈ −∞ − = 0,5 
Tại 1x = − : 
3( 1)
4
g − = 0,25 
2
21 1
11 2 4 3 2lim ( ) lim
4 3x x
x x xg x
x x+ +→− →−
+ − − += + + 
2
21
2 5 7 3lim
4( 1)( 3)( 11 2 4 3 2 )x
x x
x x x x x+→−
− + += =+ + + + − + 0,5 
1 1
3lim ( ) lim ( ) ( 1)
4x x
g x g x g− +→− →= = = − 
Vậy g(x) liên tục tại x = -1 0,25 
Kết luận: hàm số g(x) không có điểm gián đoạn 0,5 
Bài 3: (2 điểm) 
(0)h a= 0,25 
0 0
2 tanlim ( ) lim
sin 2 ( 1 tan 1 tan )x x
xh x
x x x→ →
−= − + + 
20
1 1lim
2cos ( 1 tan 1 tan )x x x x→
−= = −− + + 1,0 
 h(x) liên tục tại x = 0 
0
lim ( ) (0)
1
2
x
h x h
a
→⇔ =
⇔ = − 0,75 
Bài 4: (2điểm) 
 Đặt 4( ) 2 tan 2 3f x x x= + − 0,25 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 83 
4
(0) 3 0
2( ) 2( 3) 3 0
3 3
f
f π π
= − <
= + − > 
(0). ( ) 0
3
f f π⇒ < 1,0 
( )f x liên tục trên 0;
3
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 0,25 
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trong 0;
3
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Suy ra đpcm. 0,5 
Bài 5: (2 điểm) 
 Đặt 5( ) 2f x x x m= + − 
( )f x liên tục trên  0,5 
(0)f m= − 0,5 
5
( )
2 32
m mf = 
6
(0). ( ) 0
2 32
⇒ = − <m mf f , với mọi m. 0,5 
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 0,5 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 84 
3. Đề kiểm tra và đáp án trường THPT Mỹ Hội Đông: 
Đề 1: 
Bài 1: 
a) Xét tính liên tục của hàm số
2
2
2
( ) 1
2 2
x x
f x x
x x
⎧ + −⎪= −⎨⎪ + +⎩
 tại x0 = 1 
b) Xét tính liên tục của hàm số 
2
1 cos .cos 2
( )
5
4
x x
xg x
−⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩
 tại x0 = 0 
Bài 2: 
CMR các phương trình sau luôn có nghiệm : 
 a) 4cos 2 1 0a x x a− − + = 
 b) 5 0x x a+ − = 
Đề 2: 
Bài 1 : 
a) Xét tính liên tục của hàm số 
 2
3 2cos 2 cos
( )
1
x x
f x x
⎧ − − −⎪= ⎨⎪⎩
 tại x0 = 0 
b) Có giá trị nào của a để hàm số 
3 2
3 2
2 1
( ) 4 5 2
x x
g x x x x
a
⎧ − −⎪= − + −⎨⎪⎩
 liên tục tại điểm 0 1x = 
Bài 2 : 
CMR các phương trình sau luôn có nghiệm : 
a) 4sin 2 1 0m x x m− − + = 
b) 3 2 0x x m+ − = 
nếu x > 1 
nếu x ≤ 1 
nếu x = 1 
nếu x ≠ 0 
nếu x = 0 
nếu x ≠ 0 
nếu x ≠ 1 
nếu x = 0 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 85 
Đáp án và thang điểm: 
Đề 1: 
Bài 1: 
a) (2,5 điểm) 
2
1 1 1 1
2 ( 1)( 2)lim ( ) lim lim lim( 2) 3
1 1x x x x
x x x xf x x
x x+ + + +→ → → →
+ − − += = = + =− − 0,5 
2
1 1
lim ( ) lim( 2 2) 5
x x
f x x x− −→ →= + + = 0,5 
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x+ −→ →⇒ ≠ 0,5 
f(x) không có giới hạn khi 1x→ 0,5 
Vậy hàm số f(x) không liên tục tại tại điểm x = 1. 0,5 
b) (2,5 điểm) 
2 20 0 0
2 2
2
22 2 20 0 0 0
1 cos .cos 2 1 cos cos cos .cos 2lim ( ) lim lim
2sin 2sincos (1 cos 2 ) cos .2sin2 2lim lim lim lim
4
4
1 52
2 2
x x x
x x x x
x x x x x xg x
x x
x x
x x x x
xx x x
→ → →
→ → → →
− − + −= =
−= + = +
= + =
 1,5 
0
5 5lim ( ) (0)
2 4x
g x g→= ≠ = 0,5 
Vậy hàm số g(x) gián đoạn tại 0 0,5 
Bài 2: 
a) (2 điểm) 
Đặt 4( ) cos 2 1f x a x x a= − − + 0,5 
f(x) liên tục trên  0,5 
(0) 1f = 0,25 
( ) 2 1f π π= − + 0,25 
(0). ( ) 2 1 0,f f aπ π= − + < ∀ 0,25 
Vậy phương trình đã cho có nghiêm trên (0; )π , với mọi a. Suy ra đpcm 0,25 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 86 
b) (2 điểm) 
Đặt 5( )f x x x a= + − 0,5 
f(x) liên tục trên R 0,25 
f(0).f(a) = -a6, a∀ 0,75 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi a 0,5 
Đề 2; 
Bài 1: 
a) (2,5 điểm) 
2 20 0 0
2
20
3 2cos 2 cos 1 coslim ( ) lim lim
( 3 2cos 2 cos )
2sin 2 12lim
4(1 1) 44 ( 3 2cos 2 cos )
4
x x x
x
x x xf x
x x x x
x
x x x
→ → →
→
− − − −= = − + −
= = =+− + −
 1,5 
0
1 lim ( ) (0) 1
4 x
f x f→= ≠ = 0,5 
Vậy hàm số f(x)gián đoạn tại 0 0,5 
b) ( 2,5 điểm) 
g(1) = a 0,5 
3 2 2
3 2 21 1 1
2 2
21 1
2 1 ( 1)(2 1)lim ( ) lim lim
4 5 2 ( 1)( 3 2)
2 1 2 1lim lim
3 2 ( 1)( 2)
x x x
x x
x x x x xg x
x x x x x x
x x x x
x x x x
→ → →
→ →
− − − + += =− + − − − +
+ + + += = = ∞− + − −
 1,0 
⇒g(x) không có giới hạn khi 1x→ 0,5 
Vậy không có giá trị thực nào của a để hàm số g(x) liên tục. 0,5 
Bài 2: 
a) (2,5 điểm) 
Đặt 4( ) sin 2 1f x m x x m= − − + 0,5 
f(x) liên tục trên R 0,5 
( ) 1 1
2
f m mπ π π= − − + = − 0,25 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 87 
( ) 1 1
2
f m mπ π π− = + − + = + 0,25 
2( ). ( ) 1 0
2 2
π π π− = − <f f với mọi m. 0,5 
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trong 
( ; )
2 2
π π− với mọi m. 0,5 
b) 
Đặt 3( ) 2f x x x m= + − 0,5 
f(x) liên tục trên R 0,5 
3
(0)
( )
2 8
= −
=
f m
m mf
 1,0 
4
(0). ( ) 0
2 8
= − ≤m mf f ,với mọi m. 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m 0,5 
 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh 
 Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 88 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
"	# 
™ Đỗ Văn Thông : 
• Giáo trình Tâm Lý Học đại cương 
• Giáo trình Tâm Lý Học Sư Phạm và Lứa Tuổi 
• Phương pháp nghiên cứu khoa học giáo dục 
™ Hoàng Chúng _ Sáng Tạo Toán Học – NXB Giáo dục 1998 
™ Lê Thành Đạt _ Luận Văn Tốt Nghiệp 2004 – GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh 
™ Nguyễn Hải Châu – Nguyễn Thế Thạch – Phạm Đức Quang Giới thiệu Giáo 
án Giảng dạy Toán 11 
™ Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy – Những Xu Hướng Dạy Học Không 
Truyền Thống 1993 
™ Tô Thị Hoàng Lan _ Luận Văn Tốt Nghiệp 2004 – GVHD: Ths Nguyễn Văn 
Vĩnh 
™ Trần Bá Hoành – Ths Lê Tràn Định – TS.Phó Đúc Hòa _ Áp Dụng Dạy và 
Học Tích Cực Trong Tâm Lý Học – Giáo Dục Học 
™ Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên) _ Đại số và Giải tích 
11.NXBGD 2007 
™ Văn Như cương – Ngô Thúc Lanh – Trần Văn Hạo _ Tài liệu hướng dẫn 
giảng dạy Toán 11 
™ Vương Vĩnh Phát _Giáo trình Lí Luận Dạy Học 2007