Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski

hức trên, ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của A là 12
Kỹ thuật cộng thêm
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; (2); (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp.
Ví dụ: 
Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Khi đó , ta chọn .
Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi . Khi đó , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm . Chọn mẫu là số 9 vì .
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1); (2) ; (3) ;
 (4) ; (5) ; (6) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được:
 (đpcm)
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; (2); (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; 
 (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ;
 (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) 
 (2)
 (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1)
 (2) ; (3) 
 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 
 (đpcm)
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa . Chứng minh rằng:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mặt khác ta có: 
Chọn ta được: 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
 (đpcm)
Bài 10: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mặt khác ta có: 
Chọn ta được: 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
 (đpcm)
Bài 11: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ;
 (2) ; (3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mặt khác ta có: 
Chọn ta được: 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
 (đpcm)
Bài 12: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1) ; 
 (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
Mà ta có:
 ;
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được:
 (đpcm)
Bài 13: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1); (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 14: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi 
Giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
 (1); (2) ; (3) 
Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
 (đpcm)
Kỹ thuật Cauchy ngược dấu
Xét bài toán sau: 
Bài toán: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Phân tích và giải: 
Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều:
 Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải. Ở đây ta sẽ sử dụng lại bất đẳng thức Cauchy theo cách khác:
 Tương tự ta có: ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với -1. Khi đó dấu của bất đẳng thức ban đầu sẽ không đổi chiều.
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
 Tương tự ta có: ; 
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm) 
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
Tương tự ta có: ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có:
 Từ (1’) và (2’) ta có: 
 (đpcm)
 Lưu ý: Ta sẽ sử dụng kết quả trong chứng minh các bài toán khác.
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
Tương tự ta có: ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Vậy
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có: ; 
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 5: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện :. 
 Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có:
; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (1’) 
Mặt khác ta có:
 (2’)
 (3’)
Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được:
 (đpcm)
Bài 6: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
Ta có:
 Tương tự ta có:; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có:
 Cộng theo vế (1’) và (2’) ta được: 
 (đpcm)
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 8: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện .
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
 Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có: 
 (1’)
Tương tự:
 (2’) ; (3’)
 Cộng theo vế (1’), (2’) và (3’) ta có
 Từ (*) và (**) ta có: 
 (đpcm)
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Giải: 
 Ta có:
Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 Mặt khác ta có:
 Tương tự ta có:
 ; 
 Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được:
 Từ (*) và (**) ta có: (đpcm) 
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI 
BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI 
Cho 2n số thực bất kì , ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (quy ước thì )
 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI
Kỹ thuật tách ghép bộ số
Bài 1: Cho các số thực dương a, b, c thỏa . CMR 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
Vậy 
Bài 2: Cho các số thực dương a, b,c. CMR :
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa . CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :
 (đpcm)
Bài 4: Cho các số thực dương a, b. CMR 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :
 (đpcm) 
Bài 5: Cho các số thực dương a, b. CMR 
Giải:
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
(đpcm)
Bài 6: Cho các số thực dương a, b thỏa . Tìm GTLN của 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTLN của A là 
Bài 7: Cho số thực a, b thỏa . Tìm GTLN và GTNN của 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 Ta có: 
 GTNN của A là khi
 GTLN của A là khi
Bài 8: Cho các số thực dương a, b, c. CMR: 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có :
Tương tự:
 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:
 (đpcm)
Bài 9: Cho . CMR 
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :
 Mà
 Vậy ta có:
 hay
 Lưu ý: Trong cách chứng minh trên ta đã sử dụng bất đẳng thức
 Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có:
Bài 10: Cho các số thực dương a, b, c. CMR 
Giải:
 Ta có:
 Mà ta có: 
 (bất đẳng thức Nesbit, đã chứng minh trong phần trước)
Kỹ thật chọn điểm rơi
Bài 1: Cho các số thực dương a, b,c thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của
. Phân tích:
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ta có:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
 , chọn 
Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải:
Giải:
 Dấu “=” xảy ra 
 Vậy GTNN của A là 
Bài 2: Cho các số thực dương a, b,c thỏa .. Tìm GTNN của
. Phân tích:
Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ta có:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
 , chọn 
Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải:
Giải
 Với thì GTNN của A là 
Bài 3: Cho các số thực dương a, b,c thỏa . Tìm GTNN của
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
Sơ đồ điểm rơi:
 , chọn 
Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải:
Giải 
Với thì GTNN của A là 
Tài Liệu Tham Khảo
EE. Vrosovo, NS Denisova, Thực hành giải toán sơ cấp, người dịch Hoàng Thị Thanh Liêm, Nguyễn Thị Ninh, Nguyễn Văn Quyết, NXBGD, 1986.
Lê Duy Thiện , Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski để giải một bài toán cực trị đại số, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Lang Chánh, Thanh Hóa.
Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ, Bất đẳng thức Cauchy, Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh, Thành phố Hồ Chí Minh.
Nguyễn Việt Hải, Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM (CAUCHY), Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước.
Nguyễn Văn Mậu, Bài giảng Chuyên đề đẳng thức và bất đẳng thức, Chương trình bồi dưỡng chuyên đề toán, Hà Nội, 11/12/2009.
Nguyễn Ngọc Sang, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Nguyễn Huệ, Thanh Hóa.
Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri thức.
Tạp chí Toán học Tuổi trẻ.
Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp và sáng tạo khi giải toán, Nhà xuất bản Hà Nội, 2004.