Một số lưu ý khi giải phương trình lượng giác - Nguyễn Tất Thu

hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc 
để thuận tiện cho việc biến đổi . Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn 
là nguyên tắc hạ bậc 
Ví dụ 8 : Giải phương trình 2 2cos 3 cos 2 cos 0x x x  ( ĐH Khối A – 2005 ). 
Phương trình (1 cos 6 )cos 2 1 cos 2 0 cos 6 .cos 2 1 0x x x x x        
2cos8 cos 4 2 0 2cos 4 cos 4 3 0x x x x        
cos 4 1
2
x x k     . 
Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay 3cos6 4cos 2 3cos 2x x x  
và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos2x . 
* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về 
phương trình chỉ chứa cosx và đặt 2t cos x . Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp 
hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng ( 
Vì công thức nhân ba chúng ta không được học). 
 Ví dụ 9 : Giải phương trình 25sin 2 3(1 )x sinx tan x   (ĐH Khối B – 2004 ). 
Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình Đk: cos 0
2
x x k     . 
Phương trình 
2
2
sin5sin 2 3(1 sin )
cos
xx x
x
    
2
2
sin5sin 2 3(1 sin )
1 sin
xx x
x
   

2
2sin5sin 2 3 (5sin 2)(1 sin ) 3sin
1 sin
xx x x x
x
      

22sin 3sin 2 0x x    
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
2
1 6sin sin
52 6 2
6
x k
x
x k





  
    
  

Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin 
và cos và lúc đó chúng ta dễ dàng tìm được lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa 
tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình 
 Ví dụ 10 : Giải phương trình 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
x xx    
 
 (ĐH Khối D – 2003 ). 
Điều kiện : cos 0
2
x x k     . 
Phương trình 
2
2
sin1 cos( ) (1 cos ) 0
2 cos
xx x
x
        
2
2
sin(1 sin ) (1 cos ) 0
1 sin
xx x
x
    

2
2sin (1 cos ) 0 (1 cos ) (1 cos )(1 sin ) 0
1 sin
x x x x x
x
         

2cos 1
(1 cos )(cos sin ) 0
tan 1
4
x kx
x x x
x x k



         

 . 
Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương 
trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm : 
1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa 
về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác). 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 1 3 tan 2sin 2x x  (ĐH Công Đoàn – 2000). 
Giải: Điều kiện : cos 0
2
x x k     
Phương trình 2sin1 3 4sin cos cos 3sin 4sin cos
cos
x x x x x x x
x
      . 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho 3cos x (do 
cos 0x  ), ta được phương trình : 
2 2
2 2
1 tan3 4 tan 1 tan 3tan (1 tan ) 4 tan
cos cos
x x x x x x
x x
       
3 23tan tan tan 1 0 tan 1
4
x x x x x k             thỏa điều kiện . 
Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình 
cho 2cos x hoặc sử dụng công thức 2 2 2
2sin cos 2 tansin 2
sin os 1 tan
x x xx
x c x x
 
 
 và chuyển phương 
trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên. 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 2cot 4sin 2
sin 2
x tgx x
x
   ( ĐH Khối B – 2003 ). 
Giải: Điều kiện: sin 2 0
2
x x k    
Phương trình cos sin 14sin 2
sin cos sin cos
x x x
x x x x
    
2 2cos sin 4sin 2 .sin cos 1x x x x x    
2 2 1cos 2 2sin 2 1 0 2cos 2 cos 2 1 0 os2
2
x x x x c x           (do 
sin 2 0 os2 1x c x    ) 
3
x k     . 
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: 2
sin 2
tanx cotx
x
  và 2cot 2cotx tanx x  . 
Ví dụ 3: Giải phương trình : 6 6 2sin x cos x sin x  (HVBCVT TPHCM – 2001 ). 
Giải: Ta có : 
6 6 2 2 3 2 2 2 2 23( ) 3sin cos (sin cos ) 1 sin 2
4
sin x cos x sin x cos x x x x x x       
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Nên phương trình 231 sin 2 sin 2
4
x x   
2 23sin 2 4sin 2 4 0 sin 2
3
x x x      
1 2arcsin
2 3
1 2arcsin
2 2 3
x k
x k



  
 
   

 . 
Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức 4 4 21 3 1sin cos 1 sin 2 cos 4
2 4 4
x x x x     . 
6 6 23 5 3sin cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
x x x x     . 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos( )sin(3 ) 0
4 4 2
x x x x       (ĐH Khối D – 
2005 ). 
Giải: Ta có: 4 4 21sin os 1 sin 2
2
x c x x   . 
 1 1sin(3 ) cos( ) sin(4 ) sin 2 cos 4 sin 2
4 4 2 2 2
x x x x x x            
 21 2sin 2 sin 2 12 x x   
Nên phương trình  2 21 1 31 sin 2 2sin 2 sin 2 1 02 2 2x x x       
2sin 2 sin 2 2 0x x    . 
sin 2 1
4
x x k      . 
2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích : 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Tức là ta biến đổi phương trình ( ) 0f x  về dạng ( ) ( ) 0h x g x  . Khi đó việc giải 
phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : 
( ) 0
( ) 0
g x
h x

 
 . 
Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử 
chung : 
* Các biểu thức 21 sin 2 ( ) ;cos 2 (cos sin )(cos sin )x sinx cosx x x x x x      ; 
sin cos sin cos1 tan ;1 cot
cos sin
x x x xx x
x x
 
    
nên chúng có thừa số chung là sinx cosx . 
* Các biểu thức 1 2 ; 2 ;1 ;1sin x cos x tanx cotx   có thừa số chung là cosx sinx . 
* 2 2;sin x tan x có thừa số chung (1 )(1 )cosx cosx  . Tương tự 2 2;cos x cot x có thừa số 
chung (1 )(1 )sinx sinx  . 
Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 cos sin 2 cos 2 0sinx x x x     (ĐH Khối B – 2005 ). 
Giải: Phương trình 2 2(1 sin 2 ) (sin cos ) cos sin 0x x x x x       
2(sin cos ) (sin cos ) (cos sin )(cos sin ) 0x x x x x x x x        . 
sin cos 0
4(sin cos )(2cos 1) 0 1 2cos 22 3
x x x k
x x x
x x k




     
      
       
 . 
Nhận xét: Ngoài cách biến đổi trên, ta có thể biến đổi cách khác như sau Phương trình 
22cos cos sin 2sin cos 0x x x x     
cos (2cos 1) sin (2cos 1) 0x x x     
(2cos 1)(sin cos ) 0x x x    . Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng 
đều dựa trên nguyên tắc ”đưa về một cung”. 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
2cos (cos 1) 2(1 sin )
sin cos
x x x
x x

 

 (Dự bị Khối D – 2003 ). 
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
Giải: Đk: sin cos 0
4
x x x k       . 
Phương trình (1 sin )(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )(1 sin )x x x x x x       
2(1 sin )(sin cos sin cos 1) 0 (1 sin ) (1 cos ) 0x x x x x x x          
sin 1 2
2
cos 1 2
x x k
x x k


 
          
 . 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 23cot 2 2 sin (2 3 2) cosx x x   . 
Giải: Đk: x k Phương trình 
2
2
2
3cos 2 2 sin (2 3 2) cos
sin
x x x
x
    
2 2 4 23cos 3 2 sin .cos 2 2 sin 2sin cos 0x x x x x x     
2 2(cos 2 sin )(3cos 2sin ) 0x x x x    
2
2
2 cos cos 2 0
2cos 3cos 2 0
x x
x x
   
 
  
1 3cos
2
1cos
2
x
x
  




6 2arccos 2
2
2
3
x k
x k



 
  


  
 . 
Ví dụ 4: Giải phương trình: 2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4x x x x    . 
Giải: Phương trình 24sin cos 1 2sin 7sin 2cos 4 0x x x x x       
2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0 (2sin 1)(2cos sin 3) 0x x x x x x x           
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
1sin
2
2cos sin 3 0
x
x x
 

  
2
6
5 2
6
x k
x k




  
 
  

( Lưu ý : 2 2| sin cos | 2cos sin 5 3a x b x a b x x       ). 
Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là cos2x có ba công thức để 
thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp. 
Bài Tập: 
Bài tập: 
Bài 1: Phương trình chứa một hàm số lượng giác 
2 251)2 sin x 5 sin x 2 0 2) cos 2x 4 cos x 0 3)1 5 sin x 2 cos x 0
2
        
  4 4 14)2 cos 2x 2 2 1 cos x 2 2 0 5)sin x cos x sin 2x 2        
4 4 2
2
x x 3 3
6) sin cos 1 2 sin x 7)2tg x 3 8) 3 cot gx 3
4 4 cos x sin x
       
Bài 2: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 
 2 11) 3 sin 2x cos 2x 2 2)sin 2x sin x 3)2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x
2
      
24) sin x 2 sin x 1 5)2 sin x cos x 1 2 6) cos x 2 sin 2x 1 0 
4 4
    
            
   
7)cos 7x.cos 5x 3 sin 2x 1 sin 7x sin 5x   
Bài 3: Phương tình đẳng cấp 
2 2 2 21)3 sin x 3 sin x cos x 4 cos x 2 2) sin x sin2x 3 cos x 3      
Chuyên dề lượng giác Nguyễn Tất Thu 
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong 
3 3 35) sin x cos x sin x cos x 6) 2 2 cos (x ) 3 cos x sin x 0
4

       
Bài 4: Phương trình lượng giác không mẫu mực 
1) 
4 4sin x cos x 1 1
cot2x
5 sin 2x 2 8 sin 2x

  (Dự bị Khối A – 2002 ) 
2)    2 cos x 1 2 sin x cos x sin 2x sin x    ( ĐH Khối D – 2004 ) 
3) 
6 62(sin x cos x) sin x cos x
0
2 2 sin x
 


 ( ĐH Khối A – 2006 ). 
4) xcot x sin x(1 tan x tan ) 4
2
   (ĐH Khối B – 2006 ) 
5) 2 2 2x xsin tan x cos 0
2 4 2
 
   
 
 ( ĐH Khối D – 2003 ) 
2 2 2x x6) sin ( ) tan x cos 0 7)
2 4 2
cotx tan x sin x cos x      
2
4
4
(2 sin x) sin 3x
8) sin x. sin 4x 2 cos( x) 3 cos x. sin 4x tan x 1
6 cos x
 9)      
2
2 2
x
(2 3)cos x 2 sin ( )
x 32 410) 1 11)4 sin 3 cos 2x 1 2 cos (x )
2 cos x 1 2 4

  

    

2
2
2
12)3 sin x 2 cos x 2 3 tan x 13) 2 tan x 5 tan x 5 cot x 4 0
sin x
        
2 2 2 3 x 1 3x14) x sin 3x 3 cos 2x 0 15) sin sin
10 2 2 10 2
sin
    
        
   
 2 23) 3 cos x sin 2x 3 sin x 1 0 4) tan x cot x 2 sin 2x cos 2x      