Một trăm bài toán hình học ôn tập tốt nghiệp trung học cơ sở

= 10 
cm ,BD= 12 cm và góc giữa AC và BD bằng 
300 .Tính diện tích tứ giác đó . 
Bài 82.2 : Cho tam giác ABC có AB < AC 
và BM , CN là hai trung tuyến .So sánh BM 
và CN . 
A và B Xác định tâm và bán kính của chúng . 
2)Các tiếp tuyến tại C và D của hai đường tròn 
cắt nhau tại E .Chứng tỏ tứ giác ACED nội tiếp . 
3)OC và OD cắt nhau tại K .Chứng tỏ năm điểm 
A ,C ,E D , K cùng thuộc một đường tròn . 
Bài 79: Cho đường tròn (O) và một dây AB 
.Gọi M là một điểm chính giữa của cung nhỏ AB 
.Vẽ đường kính MN cắt AB tại I .Gọi D là một 
điểm thuộc dây AB .Tia MD cắt đường tròn (O) 
tại C . 
a)Chứng minh tứ giác CDIM nội tiếp được . 
b)Chứng minh tích MC.MD có giá trị không đổi 
khi D di động trên dây AB. 
c)Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ACD .Chứng minh MÂB = 
2
1
AƠ D 
d)Chứng minh ba điểm A , O’ , N thẳng hàng và 
M A là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ACD. 
Bài 80 : Cho đường tròn tâm O có đường kính 
BC .Gọi A là một điểm trên cung BC sao cho 
AB< AC , D là một điểm trên bán kính OC 
.Đường vuông góc với BC tại D cắt ACở E và cắt 
tia AB ở F. 
a) Chứng minh tứ giác ADCF nội tiếp . 
b) Gọi M là trung điểm EF .Chứng minh 
Góc AME = góc 2ACB 
Bài 85: Cho tam giác ABC nội tiếp đường 
tròn (O; R ) , M là một điểm trên cung nhỏ 
BC , MA cắt BC tại D .Chứng minh rằng : 
a) AD.AM = AB2 . 
b) MA = MB +MC 
c) MA +MB +MC ≤ 4R 
d) MA2 +MB2 + MC2 = 6R2 
e) MA4 +MB4 + MC4 = 18R4 
f) 
MCMBMD
111
+= 
Bài 86.1: 
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là 
đường cao. Vẽ đường tròn tâm O đường kính 
HC .Kẻ tiếp tuyến BK với (O) ( K là tiếp 
điểm ) .Tính tỉsố 
BK
AB
Bài 86.2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp 
đường tròn (O ; R) .Điểm D di động trên cung 
AC .Gọi E là giao điểm của AC và BD , F là 
giao điểm của AD và BC .Chứng minh rằng : 
a)Góc AFB = góc ABD . 
b) Tích AE . BF không đổi . 
c) Chứng minh AM là tiếp tuỵến của đường 
tròn (O) . 
d) Gọi K là giao điểm CF và đường tròn (O) 
.Chứng minh B ,E ,F thẳng hàng và OM ⊥AK 
Bài 83 : Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD 
,đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn tâm O .AB và 
kéo dài cắt nhau tại I .Các tiếp tuyến của đường 
tròn tâm (O) tại B và D cắt nhau tại K . 
a)Chứng tỏ tứ giác BIKD nội tiếp và IK// BC .. 
c)Hình thang ABCD cần điều kiện gì để tứ giác 
AIKD làhình bình hành.Khi đó chứng minh hệ 
thức IC.IE=ID.CE 
d) Vẽ hình bình hành BDKM đường tròn ngoại 
tiếp tam giác BKM cắt đường tròn (O) tại điểm 
thứ hai N .Chứng minh rằng D , N , M thẳng 
hàng . 
Bài 84 : 
Cho tam giác ABC vuông tại C ( CA > CB ) . I là 
điểm thuộc cạnh AB .Trên nủa mặt phẳng có bờ 
AB có chứa điểm C kẻ tia Ax và By vuông góc 
AB .Đường thẳng vuông góc IC kẻ qua C cắt Ax 
và By tại M và N . 
Bài 89: 
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O) . I là 
một di động trên cung AB .AI cắt CB tại M , 
AB cắt IC tại N. 
a) Chứng minh rằng : AMC + ANC = 2 ACB 
. 
b) Chứng minh tích AI .AM không đổi . 
c) Vẽ dây cung IK song song với BC ,IK cắt 
AC ở E .Chứng minh : ∆ACK ~ ∆AMB, 
∆ACM ~ ∆AKB và ∆AEK ~ ∆AIB. 
d) Xác định vị trí của I để AB = MB . 
Bài 90 : 
Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài 
đường tròn .Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ 
và cát tuyến SBC tới đường tròn ( B nằm giữa 
C và S ) .Phân giác BÂC cắt dây BC ở D và 
cắt cung BC ở E .Gọi F là giao điểm của AA’ 
với BC; G là giao điểm của OE với BC . 
a) Chứng minh EC2 = ED .EA . 
b) Chứng minh SA2 = SG .SF. 
c) Khi cát tuyến SBC quay quanh S thì D di 
a) Chưng minh hai tam giác CAI và CBN đồng 
dạng . 
b) So sánh hai tam giác ABC và INC . 
c) Chứng minh IM vuông góc IN . 
d) Tìm vị trí của I sao cho diện tích tam giác 
IMN lớn gấp đôi diện tích tam giác ABC. 
Bài 87: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < 
AC) .Lấy điểm D thuộc cạnh AC .Vẽ đường tròn 
đường kính CD cắt BD ở E và cắt AE ở F . 
a) Chứng minh A , B , C , E cùng thuộc mộpt 
đường tròn . 
b) Chứng minh BĈA = AĈ F . 
c) Gọi M , N lần lượt là điểm đối xứng của D 
qua AB và BC .Chứng minh tứ giác BNCM 
nội tiếp . 
d) Xác định vị trí điểm D sao cho bán kính 
đường tròn (BNCM) đạt giá trị nhỏ nhất . 
Bài 88: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 
động trên đường cố định nào ? 
d) Biết SB = a ; BC = 
3
2a
 tính SF. 
Bài 93 : Cho tam giác cân tại A nội tiếp 
đường tròn (O) đường kính AM .Gọi D , H ,I 
lần lượt là trung điểm của AB , BC , AC . 
1) Chứng minh : 
a) A , O , H thẳng hàng và AC2 = 2 AO .AH . 
b) Bốn điểm O ,I , C ,H cùng thuộc một 
đường tròn có tâm là (O’) 
c) Đường tròn (O’) tiếp xúc với (O). 
3) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua AC 
.Chứng minh CH’ là tiếp tuyến của (O) . 
4) Gọi E ,G lần lượt là trọng tâm của tam 
giác ACD và ABC .Chứng minh hai tam 
giác AGC và IEO đồng dạng . 
Bài 94.1 : 
Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là 
đường cao , I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC .Phân giác BÂH và CÂH cắt BC tại 
D và E 
. 
Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác ABC 
Bài 94.2 : Cho tam giác ABC nội tiếp 
đường tròn (O), phân giác trong AD . 
 a) Xác định tâm O’của 
 đường tròn đi qua A và 
 tiếp xúc với BC tại D. 
AB và C là điểm chính giữa cung AB .Lấy M là 
điểm trên cung BC và vẽ đường cao CH của tam 
giác ACM. 
a) Chứng tỏ OH là tia phân giác của góc COM . 
b) Gọi I là giao điểm của OH và BC ,D là giao 
điểm thứ hai của MI với nửa đưởng tròn (O) . 
Chứng minh MC//BD 
c) Tìm vị trí của M sao cho D , H , B thẳng hàng 
. 
d) Gọi N là giao điểm của OH và BM .Chứng 
minh N di động trên một đồng tròn cố định . 
Bài 91: Cho đường tròn (O) và dây cung AB 
.Trên tia đối của tia AB lấy điểm M ,,kẻ các tiếp 
tuyến MC và MD tới đường tròn .phân giác của 
góc ACB cắt AB ở E .Gọi I là trung điểm của 
dây AB .Chứng minh : 
a) MC = ME . 
b) DE là phân giác của góc ADB . 
c) Đường tròn qua ba điểm M , C , D thì đi qua 
hai điểm cố định O và I . 
d) IM là tia phân giác của góc CID . 
e) Xác định vị trí của điểm M trên đường thẳng 
AB để tam giác MCD là tam giác đều . 
 b) Chứng minh đường 
 tròn O’) tiếp xúc với 
 -đường tròn (O) . 
Bài 97 : 
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn ,AH 
là đường cao .Kẻ HM ACHNAB ⊥⊥ ; .Gọi I 
là điểm đối xứng của H qua M , K là điểm 
đối xứng của H qua N .Đường thẳng IK cắt 
AB và AC tại E và F .Chứng minh: 
a) Góc AIK = góc AKI 
b) Tứ giác MNBC nội tiếp . 
c) CE vuông góc AB 
d) ∆ABC thỏa điều kiện gì thì IN = MK. 
Bài 98.1 : Cho tam giác ABC nội tiếp 
đường tròn ( O) có trực tâm là H , M là điểm 
bất kì trên cung BC không chứa A . 
a)Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là 
hình bình hành. 
b) Gọi N và E lần lượt là điểm đối xứng của 
M qua AB và AC .Chứng minh tứ giác ANBH 
nội tiếp . 
c) Chứng minh N , H , E thẳng hàng . 
Bài 98.2 :Cho tamgiác ABC vuông tại B 
có đường cao AH .Trên tia đối của BA lấy E 
sao cho BE = BA .Gọi D là trung điểm HB 
Bài 92 :Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 
(O) .Gọi I là giao điểm của hai phân giác trong 
kẻ từ B và C, K là giao điểm của hai phân giác 
ngoài kẻ từ B và C .Gọi M là điểm chính giữa 
của cung BC ,D là giao điểm của AM và BC. 
 a)Chứng minh A ,I , M thẳng hàng . 
b) BI cắt A C ở N , MN cắt AC , BC lần lượt ở E 
và F .Chứng minh tam giác EFC cân . 
c) Chứng minh 4 điểm I , B , K , C cùng thuộc 
một đường tròn và tâm của đường tròn này thuộc 
(O) . 
Bài 95 : Cho hai đường tròn tâm O và O’ ở 
ngoài nhau .Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và 
tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E 
))'(,);( ODBO ∈∈ .Gọi M là giao điểm của AB 
và EF, N là giao điểm của AE và BF.Chứng minh 
: 
a) Hai tam giác AOM và BMO’ đồng dạng . 
b) AE vuông góc BF . 
c) O , N , O’ thẳng hàng . 
Chứng minh HE vuông góc CD. 
 Bài 96.1 :Cho tam giác ABC ,các đường tròn 
đường kính AB và AC cắt nhau tại tại A và D và 
lần lượt cắt các cạnh AB , AC tại E và F . 
a) Chứng tỏ các đường thẳng AD ,BF ,CE đồng 
quy. 
b) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam 
giác DEF 
c) Đường tròn đường kính AB cắt CE tại N 
,đường tròn đường kính AC cắt BF ở M 
.Chứng tỏ tam giác ANM cân. 
Bài 96.2 : Cho tam giác ABC cân tại A .Trên 
BC lấy hai điểm M , N sao cho BM= MN = NC 
.Chứng minh 
Góc BAM = góc NAC < góc MAN 
Bài 99.1 : Cho tam giác ABC vuông tại A có 
AD là đường cao ,kẻ DE ACDFAB ⊥⊥ , 
.Chứng minh : 
a) DB.DC = EA.EB + FA.FC . Hệ thức có còn 
đúng không khi D là điểm tùy ý trên BC ? 
b) 
BE
CF
AB
AC
=
3
3
Bài 99.2 : 
 Trong tam giác cân 
ABC từ 
 trung điểm H của cạnh 
đáy BC 
 ta kẻ HE vuông góc 
AC .Gọi O 
 là trung điểm HE 
 Chứng minh AO vuông 
góc BE 
Bài 100 :Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 
AB = 2R .Gọi I là trung điểm OA .Đường thẳng vuông 
góc với OA tại I cắt (O) tại K .Điểm M di động trên 
đoạn IK .Đường thẳng AM cắt (O) tại điểm C .Tiếp 
tuyến tại C với (O) cắt IK tại N , BC cắt IK tại D. 
a) Chứng minh ∆AOK đều và tam giác CMN cân. 
b) GỌi J là điểm đối xứng của B qua J .Chứng minh 
tứ giác AMDJ nội tiếp . 
c) Cho M là trung điểm IK .Tính MD.