Ngoại khoá bài toán quĩ tích

Trường THCS Trần Quốc ToảnNGOẠI KHOÁ BÀI TOÁN QUĨ TÍCHĐặc điểm, yêu cầu: 	Quỹ tích tập hợp điểm là một vấn đề rất thường gặp trong các đề thi chọn HSG cấp TP, cấp Tỉnh, thi tuyển sinh vào lớp 10 LVC, Nguyễn Huệ. 	Quỹ tích cũng là một vấn đề khó, làm say mê nhiều người, giúp chúng ta yêu thích môn Hình học hơn. Nhằm giúp các em HS có thêm kiến thức, bổ sung vốn liếng về quỹ tích trong hình học. Hôm nay Tổ Toán tổ chức buổi ngoại khoá, với chuyên đề quỹ tích cho HS các lớp 9ABC Nhằm giúp các em học tốt bộ môn Toán và đạt kết quả cao trong các kỳ thi sắp đến.II. Nội dung:Định nghĩa quỹ tích:	Một hình H được gọi là quỹ tích (tập hợp điểm) của những điểm M thoả mãn tính chất A khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất A.2.Phương pháp giải toán quỹ tích: 	Để tìm quỹ tích điểm M thoả mãn tính chất A ta làm như sau:Bước 1: Tìm cách giảiXác định các yếu tố cố định và không đổiXác định các điều kiện của điểm MDự đoán quỹ tích.Bước 2: Trình bày các giảia)Phần thuận: Chứng minh M hình Hb)Giới hạn:Căn cứ vào cácvị trí đặc biệt của M. Chứng tỏ M chỉ thuộc một phần Bcủa hình H (nếu có). Vẽ B và Hc)Phần đảo: Lấy M’ bất kỳ thuộc B, giả sử tính chất ACó n điều kiện. Vẽ một hình sao cho M thoả mãnn-1 điều kiện trong n điều kiện. Chứng minh M thoả điều kiện còn lại.d)Kết luận:Tập hợp các điểm M là hình B (hoặc H)Chú ý quan trọng:	-Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếugiúp chúng ta giải được bài toán quỹ tích.	-Nếu bài toán chỉ yêu cầu “Điểm M chuyển động trên đường nào?” thì chỉ trình bày phần a,b,d (không làm phần đảo).	-Giải bài toán tìm quỹ tích thường là tìm cách đưavề một trong các quỹ tích cơ bản đã học.	-Để khỏi vẽ hình lại, khi giải phần đảo, tên các điểmtrong phần đảo nên giữ nguyên như ở phần thuận.3. Các quỹ tích cơ bản:Quỹ tích là đường trung trực:	Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A,B cố định là đường trung trực của đoạn thẳng AB.MBAGiải:Phần thuận:Tam giác AOB có gócOM là trung tuyến nênMO = MA; O,A cố định Do đó M thuộc đường trung trực của ABGiới hạn:Khi thì (với M1 là trung điểm OA)Khi B chạy xa vô cùng trên tia Oy thì M chạy xa vô tận trên tia M1z thuộc đường trung trực của OAVậy M chuyển động trên tia M1zzAM1MOBVí dụ minh hoạ:Bài toán: Cho góc xOy = 900 cố định, A là điểm cố địnhTrên tia Ox. B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm Quỹ tích các trung điểm M của AB.c) Phần đảo:Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia M1z, AM cắt tia Oy tại BM thuộc trung trực OA (1)Tam giác AOB vuông (2) (3)Từ (1)(2)(3)Mà MO = MA suy ra MA = MBVậy M là trung điểm của ABKết luận: Tập hợp (Quỹ tích) các điểm M là tia M1z(thuộcđường trung trực của OA và thuộc miền trong của góc)2) Quỹ tích là tia phân giác:	Quỹ tích các điểm M nằm trong góc xOy (khác 1800) và cách đều hai cạnh của góc xOy là tia phân giác của góc xOy.Ví dụ minh hoạ:	Cho góc xOy = 900 trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm quỹ tích điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân ở C. a)Phần thuận: Vẽ CHOx ; CKOyCHA vuông vàCKB vuôngCA = CB (góc có cạnh )z C1 H K C B A O CAH = CBK (ch-gn)CH = CK ; góc xOy cố dịnhC thuộc tia phân giác Oz của góc xOy vuôngb) Giới hạn:	Khi B trùng O thì C trùng C1 (C1thuộc Oz và OAC1 vuông cân tại C1)	Khi B chạy xa vô tận trên tia Oy thì C chạy xa vô tận trên tia Oz.	Vậy C chuyển động trên tia C1z chứa trong tia phân giác Oz của góc xOyc) Phần đảo: 	Lấy C bất kỳ thuộc tia C1z. Vẽ đường thẳng vuông góc với CA tại C cắt tia Oy tại B.	Vẽ CHOx ; CKOy . Ta có: CH = CK ( vì C thuộc tia phân giác Oz của góc xOy) và góc KCH = 900 CAH vuông và CBK vuông có CH = CK ; Do đó CAH = CBK(gcg) CA = CB ABC vuông có CA = CB nên là  vuông când) Kết luận:Quỹ tích C là tia C1z chứa trong tia phân giác Oz của góc xOy.3. Quỹ tích là “Hai đường thẳng song song”	Quỹ tích các điểm M cách một đường thẳng d một khoảng bằng h (h > 0) cho trước là hai đường thẳng song song với d và cách d một khoảng là h.Ví dụ minh hoạ:	Cho ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. Tìm quỹ tích M sao cho SMBC=SABC a) Phần thuận:BC2 = 7,52 = 56,25AB2 + AC2 = 62 + 4,52 =56,25AB2 +AC2 = BC2  ABC vuông tại A hdMMhGọi MH là đường cao ABC BC cố địnhM thuộc 2 đường thẳng xx’ , yy’ song song BCvà cách BC một khoảng 3,6cmb) Giới hạn: M là điểm tuỳ ý trên đường thẳng xx’ , yy’ c) Phần đảo: Lấy M bất kỳ thuộc xx’ , yy’ . Vẽ MHBCTa có MH = 3,6cm SMBC=SABC d) Kết luận:Quỹ tích M là 2 đường thẳng xx’ ,yy’ song song BC và cách BCmột khoảng 3,6 cm. 4. Quỹ tích là “Một đường thẳng song song” Quỹ tích các điểm M cách đều hai đường thẳng song song cho trước là 1 đường thẳng song song với 2 đường thẳng đó.Ví dụ minh hoạ:	Cho 2 đường thẳng song song d và d’ cách nhau một khoảng bằng 4 cm. A là điểm chuyển động trên đường thẳng d, B là điểm chuyển động trên đường thẳng d’. Tìm quỹ tích các trung điểm M của AB a)Phần thuận: Vẽ MHd , MKd’, d // d’M, H, K thẳng hàng và KH = 4cmMKB = MHA (ch-gn)MK = MH=1/2 KH= 2(cm)Vậy quỹ tích M là đường thẳng a // d // d’ và nằm giữa hai đường thẳngd, d’ cách 2 đường thẳng d, d’ một khoảnglà 2 cm.MdBAKHd’aGiới hạn:Vì A chuyển động trên d,B chuyển động trên d’nên M chuyển động trên đường thẳng a. c) Phần đảo:Lấy M bất kỳ thuộc đường thẳng a. Qua M kẽ đường thẳng cắt d, d’ lần lượt tại A, B và vẽ MHd , MKd’Ta có H, M, K thẳng hàng và MH = MK = 2cmMKB = MHA (g.c.g) MA = MBVậy M là trung điểm ABd) Kết luận: Quỹ tích trung điểm M của AB là đường thẳng a song song vànằm giữa 2 đường thẳng d, d’ một khoảng 2 cm. 	Quỹ tích các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng cách không đổi R > 0 là đường tròn tâm O bán kính R. Ví dụ minh hoạ:	Cho (O; R) A là điểm cố định nằm trong đường tròn, B là điểm chuyển động trên đường tròn. Tìm quỹ tích các trung điểm M của AB. 5. Quỹ tích là đường tròn: MROPhần thuận:Gọi I là trung điểm OA  I cố địnhIM là đường trung bình của AOB Không đổi và I cố định  M (I ; ½R)BMAIOb) Giới hạn:B chuyển động trên (O ; R) nên M chuyển động (I ; ½R) c) Phần đảo:Lấy M bất kỳ  (I; ½R). Trên tia đối của tia MA lấy điểm B saoCho MB = MA.AOB có IA = IO ; MA = MB  IM là đường trung bình AOB IM =½OB hay OB = 2 IM = 2 . ½R = R  B  (O ;R)d) Kết luận:Quỹ tích trung điểm M của AB là (I ; ½R) ( I là trung điểm AB) 6. Quỹ tích là cung chứa góc: 	Quỹ tích các điểm M tạo với hai đầu của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB =  không đổi (00 SđA, B cố định. Do đó N thuộc cung chưa góc 1350 vẽ trên đoạn AB.NDCMBA Giới hạn:Khi C  A và D  I thì N  A ( I chính giữa cung AB)Khi D  B và C  I thì N  B Vậy N chuyển động trên cung AB chứa góc 1350 vẽ trên đoạn ABPhần đảo:	Lấy N bất kỳ thuộc cung chứa góc 1350 . Vẽ AN cắt (O) tại D, BN cắt (O) tại C.Ta có Mà CD là dây (O ;R)  CD là cạnh hình vuông nội tiếp (O ; R)  CD = R Kết luận: Tập hợp điểm N là cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn thẳng ABb) Tìm quỹ tích điểm M:Phần thuận: CD là dây (O; R) ; CD = R  sđ = 900AB cố địnhDo đó M thuộc cung chứa góc 450 dựng trên đoạn ABGiới hạn:Khi C  A thì D  I và M M1 (I là điểm chính giữa cung AB) (M1 là giao điểm BIvới cung chứa góc)Khi D B thì C  I và M  M2 (M2 là giao điểm của AI với cung chứa góc )Vậy M chuyển động trên cung M1M2 của cung chứa góc 450vẽ trên đoạn AB.Phần đảo:Lấy M bất kỳ thuộc cung M1M2 ; MA, MB lần lượt cắt nửa (O ; R) tại C, D. Ta có CD là dây (O ;R)CD là cạnh hình vuông nội tiếp (O ; R)  CD =R Kết luận: Quỹ tích M là cung M1M2 của cung chứa góc 450 vẽtrên đoạn AB. Ví dụ minh hoạ: ( Cung chứa góc 900)	Cho (O; R) B là điểm cố định trên (O). M là điểm di động trên (O; R). Tìm quỹ tích trung điểm N của BMPhần thuận: N là trung điểm dây BM nên ONBM B, O cố định  Quỹ tích N là đường tròn đường kính OBb) Giới hạn:Vì M di động trên cả (O; R) nên N di độngtrên (I) đường kính OB.M I O B N c) Phần đảo:Lấy N bất kỳ trên (I) đường kính OB, BN cắt (O) tại M.Ta có: ON BM  NB = NM (đlý đường kính và dây)d) Kết luận:Quỹ tích N là đường tròn đường kính AB. Một số bài tập1/ Cho (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài (O), BC là đường kính quay quanh O. Tìm quỹ tích tâm I của đường trònngoại tiếp ABC.2/ Cho ABC. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho SMAB=2 SMAC.3/ Cho (O; R) và điểm A cố định trong đường tròn, B là điểm chuyển động trên đường tròn (O). Qua O dựng đường vuông gócvới AB, cắt AB tại M, cắt tiếp tuyến Bx tại D. Tìm quỹ tích điểm D.4/ Cho (O; R) và điểm A cố định ngoài đường đường tròn. B là điểm chuyển động trên (O). Qua O dựng đường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại M, cắt tiếp tuyến Bx tại D. Tìm quỹ tích điểm D.