Ôn thi Đại học môn Toán - Trần Sĩ Tùng

.b: PT 
2
2
2 1 sin(2 1) 0(1)
2 1 sin(2 1) cos (2 1) 0
cos(2 1) 0 (2)
x x
x x x
x
y
y y
y
Ôn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 88 
 Từ (2) sin(2 1) 1x y . 
 Khi sin(2 1) 1x y , thay vào (1), ta được: 2x = 0 (VN) 
 Khi sin(2 1) 1x y , thay vào (1), ta được: 2x = 2 x = 1. 
 Thay x = 1 vào (1) sin(y +1) = –1 1 ,
2
y k k Z . 
 Kết luận: Phương trình có nghiệm: 1; 1 ,
2
k k Z . 
Đề số 34 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm): Cho hàm số: 4 22 1y x x . 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 4 2 22 1 log 0x x m (m>0) 
Câu II:(2 điểm) 
 1) Giải bất phương trình: 2 23 2 2 3 1 1x x x x x 
 2) Giải phương trình : 3 3 2cos cos3 sin sin3
4
x x x x 
Câu III: (1 điểm): Tính tích phân: I=
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )
x x
dx
x x
Câu IV: (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt 
bên tạo với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác 
SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a. 
Câu V: (1 điểm) Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn: 2 2 1a b ; c – d = 3. 
 Chứng minh: 
9 6 2
4
F ac bd cd 
II.PHẦN RIÊNG (3.0 điểm ) 
 A. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a: (2 điểm) 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5; 
9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường tròn 
ngoại tiếp ABC. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 
 1 :
x y z
d 
1 1 2
 và 2
1 2
:
1
x t
d y t
z t
 Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng qua O, cắt d2 và vuông 
góc với d1 
Câu VII.a: (1 điểm) Một hộp đựng 5 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 7 viên bi vàng. Nguời ta 
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có 
đủ cả ba màu? 
 B. Theo chương trình Nâng cao : 
Câu VI.b: (2 điểm) 
Trần Sĩ Tùng Trang 89 
Thuviendientu.org 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 3) và hai đường 
trung tuyến của nó có phương trình là: x – 2y + 1 = 0 và y – 1 = 0. Hãy viết phương 
trình các cạnh của ABC. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3), B(2; 0;–1) và mặt 
phẳng (P) có phương trình: 3 8 7 1 0x y z . Viết phương trình chính tắc đường thẳng 
d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với 
(P). 
Câu VII.b: (1 điểm) Tìm hệ số x3 trong khai triển 2
2
n
x
x
 biết n thoả mãn: 
 1 3 2 1 232 2 2... 2
n
n n nC C C 
Hướng dẫn 
Câu I: 2) PT 4 2 22 1 logx x m . Dựa vào đồ thị ta suy ra được: 
2log m < –1
1
0
2
m : PT có 2 nghiệm phân biệt 
 2log m = –1
1
2
m : PT có 3 nghiệm 
 –1< 2log m <0 
1
1
2
m : PT có 4 nghiệm phân biệt 
 2log m = 0 1m : PT có 2 nghiệm 
 2log m > 0 1m : PT v ô nghiệm 
Câu II: 1) Tập xác định: D = 
1
; 1 2;
2
 x = 1 là nghiệm 
 x 2: BPT 2 1 2 1x x x vô nghiệm 
 x
1
2
: BPT 2 1 1 2x x x có nghiệm x
1
2
 BPT có tập nghiệm S= 
1
; 1
2
 2) PT cos 2x=
1
2
 x= ( )
8
k k 
Câu III: Xét: 
2 2
1 23 3
0 0
sin cos
;
sin cos sin cos
xdx xdx
I I
x x x x
. 
 Đặt 
2
x t . Ta chứng minh được I1 = I2 
 Tính I1 + I2 = 
2 2
2
20 0
1
tan( ) 12
2 4sin cos 2cos ( ) 0
4
dx dx
x
x x x
 I1 = I2 = 
1
2
I = 7I1 – 5I2 = 1 
Câu IV: Gọi I, J lần lượt là trung điểm cúa AB và CD; G là trọng tâm ∆SAC 
 ∆SIJ đều cạnh a nên G cũng là trọng tâm ∆SIJ 
 IG cắt SJ tại K là trung điểm cúa SJ; M, N là trung điểm cúa SC, SD 
3
2
a
IK ; SABMN = 
21 3 3
( )
2 8
a
AB MN IK 
 SK (ABMN); SK =
2
a
. V=
31 3
.
3 16
ABMN
a
S SK . 
Ôn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 90 
Câu V: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và giả thiết ta có: 
 2 2 2 2 2 2( )( ) 2 6 9 3 ( )F a b c d cd d d d d f d 
 Ta có 
2
2
3 9
1 2( )
2 2
( ) (2 3)
2 6 9
d
f d d
d d
 Dựa vào BBT (chú ý: 
2
2
3 9
1 2( )
2 2
0
2 6 9
d
d d
), ta suy ra được: 
3 9 6 2
( ) ( )
2 4
f d f 
 Dấu "=" xảy ra khi 
1 1 3 3
; ; ;
2 22 2
a b c d . 
Câu VI.a: 1) y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0. 
 2) Đường thẳng cần tìm cắt d2 tại A(–1–2t; t; 1+t) 
uuur
OA = (–1–2t; t; 1+t) 
1 1. 0 1 (1; 1;0)
uuur ur
d OAu t A PTTS của :
0
x t
y t
z
Câu VII.a: Số cách chọn 4 bi từ số bi trong hộp là: 418C 
 Số cách chọn 4 bi đủ 3 màu từ số bi trong hộp là: 2 1 1 1 2 1 1 1 25 6 7 5 6 7 5 6 7C C C C C C C C C 
 Số cách chọn thoả mãn YCBT là: 4 2 1 1 1 2 1 1 1 218 5 6 7 5 6 7 5 6 7( ) 1485C C C C C C C C C C 
Câu VI.b: 1) (AC): x + 2y – 7 = 0; (AB): x – y + 2 = 0; (BC): x – 4y – 1 = 0. 
 2) Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1) 
 Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là 
P
AB n,
uuur r
 d: 
2 1
2 1 2
x y z
Câu VII.b: Xét khai triển: 21 nx( ) , thay x = 1; x = –1 và kết hợp giả thiết ta được n = 12 
 Khai triển: 
12 12
2 24 3
12
0
2
2k k k
k
x C x
x
 có hệ số x3 là: 7 712 2C =101376 
Đề số 35 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y =
x 2
2x 3
 (1). 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, 
trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB cân tại gốc tọa độ O. 
Câu II (2 điểm) 
 1) Giải phương trình: cot 3 tan 2cot 2 3x x x . 
 2) Giải phương trình: 2 22( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5x x x x x x . 
Câu III (1 điểm) Tính tích phân : 
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
I dx
x
. 
Câu IV (1 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm các cạnh CD, A D . Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD = 2PD. Chứng tỏ (MNP) 
vuông góc với (A AM) và tính thể tích của khối tứ diện A AMP. 
Trần Sĩ Tùng Trang 91 
Thuviendientu.org 
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 
3 3 3( ) ( ) ( )
3 3 3
a b c b c a c a b
P
c a b
. 
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
 A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a. (2 điểm) 
 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và 
điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao 
cho MA = 3MB. 
 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai 
đường thẳng 1 : 
x 1 y z 9
1 1 6
 ; 2 : 
x 1 y 3 z 1
2 1 2
 . Xác định tọa độ điểm 
M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách 
từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. 
Câu VII.a (1 điểm) Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 
2 2 10 0z z . 
 Tính giá trị của biểu thức: 
2 2
1 2A z z . 
 B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm) 
 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 
2). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ABC thành hai phần có tỉ số diện 
tích bằng 2. 
 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng 
1 2
:
1 2 1
x y z
d và mặt 
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2; 
4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. 
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: 3
2 7log 1 logx x . 
Hướng dẫn 
Câu I: 2) OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc 
y = –x. 
 Nghĩa là: f (x0) = 1 2
0
1
1
(2x 3)
0 0
0 0
x 1 y 1
x 2 y 0
 1 : y – 1 = –1(x + 1) y = –x (loại); 2 : y – 0 = –1(x + 2) y = –x – 2 (nhận) 
Câu II: 1) Điều kiện: sin cos 0
2
x x x k . 
 Ta có: 
2 2cos2 cos sin
2cot 2 2 2 cot tan
sin 2 2sin cos
x x x
x x x
x x x
. 
 PT 
2
cot 3
3 cot 3 cot cot 1 ,
4cot 7cot 6 0
¢
x
x x x x k k
x x
 2) Điều kiện: 
1
3
x . 
 PT 
2 2 2
2 2( 1) 2( 1) 3 1 3 1 2 2 2 5 2 2 1 0x x x x x x x x 
22 3 1 1
( 1) 3 1 2 2 1 0 1
2 1 2
x x
x x x x x
x x
. 
Câu III: Đặt sin cosu x x 
2
2
1 4
du
I
u
. 
Ôn thi Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 92 
 Đặt 2sinu t 
4 4
2
6 6
2cos
124 4sin
tdt
I dt
t
. 
Câu IV: Gọi Q là giao điểm của NP và AD. Do PD = 2PD nên D N = 2DQ 
2
2.
4
a
AD DQ MD QM AM (đpcm). 
 Ta có: '
1
.
3
A APV MD S (1). 
2
' ' ' ' '
2
A AP ADD A APD A D P
a
S S S S 
 Thay vào (1), ta được: 
3
12
a
V . 
Câu V: Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương 
3( )
,
3 3
a b c c
c
 và 
1
3
 ta được: 
3 3( ) 1 ( ) 4 1
3 3 3 3 3 3
a b c c a b c c
a b c a b
c c
 (1). 
 Tương tự: 
3( ) 4 1
3 3 3
b c a a
b c
a
 (2), 
3( ) 4 1
3 3 3
c a b b
c a
b
 (3). 
 Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra 1 min 1P P khi 1a b c . 
Câu VI.a: 1) /( ) 27 0M CP M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5. 
 Mặt khác: 2
/( ) . 3 3 3
uuur uuur
M CP MA MB MB MB BH
2 2 4 [ ,( )]IH R BH d M d 
 Ta có: phương trình đường thẳng (d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0). 
2 2
0
6 4
[ ,( )] 4 4 12
5
a
a b
d M d
a ba b
. 
 Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0. 
 2) M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a
r
= (2; 1; –2) 
 AM
uuuur
 = (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM;a
uuuur r
 = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t) 
 Ta có : d (M, 2) = d (M, (P)) 
2261t 792t 612 11t 20 
 35t
2
 – 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 
53
35
 Vậy M (0; 1; –3) hay M 
18 53 3
; ;
35 35 35
Câu VII.a: ’ = –9 = 9i2 do đó phương trình có 2 nghiệm z1 = –1 – 3i, z2 = –1 + 3i 
2 2
1 2A z z = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 
Câu VI.b: 1) 3x + 2y – 15 = 0; 2x + 5y – 12 = 0. 
 2) Chọn ( ;1 2 ;2 ) ( 2;2 1; 2)
uuuur
N d N t t t MN t t t . 
1 3 3
( ) . 0 ( ) 1 (1;3;3) ' :
1 1 1
uuuur r
P P
x y z
MN P MN n do M P t N d . 
Câu VII.b: Điều kiện: x > 0. Đặt 7log 7
tt x x . 
 PT 
3 3
3 3 3 3
2
1 7
log 1 7 1 7 2 1 7 8 1 0
8 8
t t
t t t t
tt (*). 
 Hàm số 
3 31 7
( ) 1
8 8
t t
f t nghịch biến và (3) 0f nên (*) có nghiệm t = 3. 
 Vậy phương trình có nghiệm x = 343. 
Trần Sĩ Tùng Trang 93 
Thuviendientu.org 
Chaân thaønh caûm ôn caùc baïn ñoàng nghieäp vaø caùc em hoïc sinh ñaõ ñoïc taäp taøi lieäu naøy. 
transitung_tv@yahoo.com