Phương pháp chứng minh Hình 9

 9 
7
 ĐL: Một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với 
cạnh còn lại sẽ tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho. 
 ĐL: Nếu hai góc của tam giác nầy lần lượt bằng hai góc của tam giác kia 
thì hai tam giác đó đồng dạng. (G-G) 
 § Trường hợp 2 và 3 : 
 A’B’’C’  ABC nếu : 
  
BC
C'B'
AB
B'A'
 và Bˆ 'Bˆ  (C-G-C) 
  
CA
A'C'
BC
C'B'
AB
B'A'
 (C-C-C) 
 ĐL: Hai tam giác vuông đồng dạng nếu: tam giác vuông nầy có một góc 
nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia. 
 § Trường hợp 2 và 3 : 
 A’B’’C’ vuông tại A’  ABC vuông tại A , nếu : 
  
AC
C'A'
AB
B'A'
 (Cạnh góc vuông-cạnh góc vuông) 
  
BC
C'B'
AB
B'A'
 (Cạnh góc vuông-huyền) 
 ♣ Tính chất của hai tam giác đồng dạng : 
 ĐN: Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu : 
 Aˆ 'Aˆ  ; Bˆ 'Bˆ  ; Cˆ 'Cˆ  
CA
A'C'
BC
C'B'
AB
B'A'
 
 ĐL: Tỉ số hai đường cao (đường phân giác, trung tuyến) tương ứng của 
hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng. 
 ĐL: Tỉ số hai diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ 
số đồng dạng. 
○B HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 
 ĐL: Trong tam giác vuông, bình phương độ dài đường cao bằng tích độ 
dài hai đoạn mà nó định trên cạnh huyền. 
 ĐL: Trong tam giác vuông, bình phương độ dài mỗi cạnh góc vuông 
bằng tích độ dài cạnh huyền với độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên 
cạnh huyền. 
 ĐL: Trong tam giác vuông, tích độ dài hai cạnh góc vuông bằng tích độ 
dài cạnh huyền và độ dài đường cao tương ứng. 
○C PHỤ CHÚ KHÁC 
 Phương Pháp Chứng Minh Hình 8 & 9 
8 
 ĐL: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng 
nửa cạnh ấy. 
 ĐL: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau thì giao điểm nầy 
cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia 
phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. 
 ○9 QUỸ TÍCH : 
 ○A Phương hướng chung để giải bài toán quỹ tích : là tìm cách quy về các 
“quỹ tích cơ bản” hoặc chứng minh rằng các điểm quỹ tích thuộc về một 
đường cố định nào đó. 
 ○B Lời giải một bài toán quỹ tích : gồm các phần sau : 
 ◇a Phần Thuận : 
  Chứng minh một điểm M có tính chất a thì nằm trên một đường (L) 
  Giới hạn quỹ tích : xét xem điểm M nằm trên toàn bộ đường (L) 
hay chỉ một phần nào đó của (L). 
 ◇b Phần Đảo : 
 Chứng minh một điểm nằm trên đường (L) {hay một phần của (L)} 
thì có tính chất a. 
 ◇c Kết luận quỹ tích : 
 ○C Đoán quỹ tích : 
 Để tìm lời giải cho một bài toán quỹ tích, người ta thường bắt đầu bằng 
việc “đoán” quỹ tích. Người ta thường tìm các điểm quỹ tích ít ra là trong 3 
trường hợp đặc biệt. Trên cơ sở đó đoán ra được quỹ tích là loại đường gì 
(đường thằng, đường tròn), vị trí của nó. 
 ○D Các quỹ tích cơ bản : 
 ◇1 Quỹ tích những điểm M có khoảng cách đến một điểm cố định O 
bằng một độ dài cho trước R (không đổi) là một đường tròn có tâm là điểm 
cố định O và bán kính là độ dài cho trước R. 
 OM = R (không đổi)  quỹ tích là (O;R) 
 ◇2 Quỹ tích những điểm M nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc 
cho trước (không đổi) là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB. 
 BMA ˆ (không đổi)  quỹ tích là … 
 ◇3 Quỹ tích những điểm có khoảng cách đến một đường thẳng cố định 
bằng một độ dài cho trước (không đổi) là hai đường thẳng song song với 
đường thẳng ấy. 
 ◇4 Quỹ tích những điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực 
của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. 
 Hình Học Khối 8 & 9 
9
 ◇5 Quỹ tích những điểm cách đều hai cạnh của một góc là đường phân 
giác của góc ấy. 
 Phụ chú : 
  Đoán quỹ tích : tìm 3 điểm của quỹ tích : 
  Nếu 3 điểm thẳng hàng : quỹ tích là đường thẳng. 
  Nếu 3 điểm không thẳng hàng : quỹ tích thường là một hoặc hai 
cung tròn ; hoặc đường tròn. 
  Hầu hết các quỹ tích trong hình học 9 đều là đường tròn hoặc cung 
tròn. Cụ thể có 3 trường hợp sau đây : 
 Giả sử M là điểm di động 
 ○1 O là điểm cố định cho trước. 
 R là khoảng cách cố định cho trước. 
 nếu OM = R thì M(O;R) 
 ○2 A, B là hai điểm cố định cho trước 
 nếu BMA ˆ 90O thì Mđường tròn đường kính AB 
 ○3 = 90O là góc cố định cho trước 
 nếu BMA ˆ thì Mcung chứa góc  
  Ở dạng toán quỹ tích, hầu hết các bài toán chỉ yêu cầu giải quyết phần 
thuận. 
 ○10 DỰNG HÌNH : 
 ○A Dụng cụ qui định : Thước và compa 
 ♣ Thước : chỉ dùng để kẻ đoạn thẳng, tia, đường thẳng. 
 ♣ Compa : dùng để xác định khoảng cách và vẽ cung tròn, đường tròn. 
 ○B Viết lời giải : 
 Bài giải một bài toán dựng hình gòm phần lời giải và phần vẽ hình. 
 ◇1 Phần lời giải : gồm có 3 mục 
 ♣ Cách dựng : Nêu rõ các phép dựng cơ bản theo một thứ tự nhất 
định để có được hình cần dựng. 
 ♣ Chứng minh : Dựa vào các tính chất hình học nào để nói hình dựng 
được theo cách dựng nêu trên lại “thỏa mãn các điều kiện cho trước” 
 ♣ Biện luận : chỉ rõ với điều kiện đề bài thì có dựng được hình không 
? Được mấy nghiệm hình ? 
 ◇2 Phần vẽ hình : phải thể hiện : 
 ♣ Chính xác các điều kiện đề bài. 
 ♣ Đầy đủ phép dựng. 
 ○C Tìm tòi cách dựng : 
 Phương Pháp Chứng Minh Hình 8 & 9 
10 
  Dựng tạm một hình thể hiện tương đối đúng các điều kiện đề bài. 
  Xét quan hệ giữa các yếu tố đã biết với các yếu tố chưa biết để rút ra 
cách dựng. 
 ○D Bài toán dựng hình, cuối cùng thường quy về bài toán dựng điểm: 
 Đó là : 
  Giao điểm của hai đường thẳng, hoặc 
  Giao điểm của hai đường tròn, hoặc 
  Giao điểm của một đường thẳng với một đường tròn. 
 ○E Các phép dựng hình, bài toán dựng hình cơ bản : 
 ○1 Dựng điểm : 
 ♣ Giao điểm của hai đường thẳng là dựng được. 
 ♣ Giao điểm của hai đường tròn là dựng được. 
 ♣ Giao điểm của một đường thẳng với một đường tròn là dựng được. 
 ♣ Những điểm tùy ý trên mặt phẳng là dựng được. 
 ♣ Dựng được trung điểm của đoạn thẳng cho trước. 
 ♣ Dựng được một điểm nằm trên đoạn thẳng, tia, đường thẳng khi 
biết khoảng cách giữa điểm nầy tới một điểm cho trước cùng thuộc đoạn 
thẳng, tia, đường thẳng. 
 ♣ Dựng được một điểm nằm trên cung tròn, đường tròn khi biết số đo 
của cung cần dựng. 
 ♣ Điểm đối xứng với một điểm cho trước qua một trục là dựng được. 
 ○2 Dựng đoạn thẳng, đường thẳng, tia : 
 ♣ Những đoạn thẳng, đường thẳng, tia tùy ý trên mặt phẳng là dựng 
được. 
 ♣ Dựng được đoạn thẳng bằng đoạn cho trước. 
 ♣ Dựng được đoạn thẳng, đường thẳng qua hai điểm phân biệt (dựng 
được trung tuyến của tam giác) 
 ♣ Dựng được đường trung trực của đoạn thẳng cho trước. 
 ♣ Qua một điểm, dựng được đường vuông góc với đường thẳng cho 
trước (dựng được đường cao của tam giác). 
 ♣ Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, dựng được đường thẳng 
song song với đường thẳng cho trước. 
 ♣ Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước và cách 
đường nầy một khoảng cho trước là dựng được. 
 ♣ Dựng được tia phân giác của một góc cho trước. 
 ♣ Qua một điểm cho trước ở ngoài đường tròn, dựng được hai tiếp 
tuyến của đường tròn. 
 ○3 Dựng góc : 
 Hình Học Khối 8 & 9 
11 
 ♣ Những góc tùy ý trên mặt phẳng là dựng được. 
 ♣ Dựng được góc bằng góc cho trước. 
 ○4 Dựng tam giác : 
 ♣ Dựng được tam giác khi biết : 
  Một góc xen giữa hai cạnh, hoặc 
  Một cạnh xen giữa hai góc, hoặc 
  Ba cạnh 
 ♣ Dựng được tam giác vuông khi biết : 
  Cạnh huyền và một góc nhọn, hoặc 
  Cạnh huyền và một cạnh góc vuông. 
 ○5 Dựng đường tròn : 
 ♣ Dựng được đường tròn khi biết : 
  Tâm O và bán kính R của nó. 
  Đường kính AB của nó. 
  Ba điểm của đường tròn. 
 ♣ Dựng được đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp một tam giác. 
 ♣ Dựng được các đường tròn bàng tiếp của một tam giác. 
 ○6 Những hình đã cho : là dựng được. 
 ○11 TÍNH TOÁN TRONG HÌNH HỌC : 
 Trong hình học thường tính toán ba yếu tố : Số đo của một góc, độ dài 
của một đoạn thẳng và diện tích của một hình. 
 ○A Tính góc : Khi tính số đo của một góc, các kiến thức sau đây thường 
được dùng đến : 
 ♣ Dạng 2, phần B (chứng minh sự bằng nhau của hai góc) trang 2 
 ♣ ĐL: Tổng số đo độ của hai góc kề bù bằng 180O 
 ♣ ĐL: Tổng số đo ba góc của tam giác bằng 180O 
 ♣ Hệ Quả: Trong một tam giác vuông, tổng số đo hai góc nhọn bằng 
90O 
 ♣ ĐL: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện nhau 
bằng hai góc vuông. 
 ♣ ĐL: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì : các 
cặp góc trong cùng phía (các cặp góc ngoài cùng phía) được tạo ra bù nhau. 
 ○B Tính độ dài : Để tính độ dài của một đoạn thẳng, một cạnh thì các 
kiến thức sau đây hay được sử dụng : 
 ♣ Dạng 2, phần A (chứng minh sự = nhau của hai đoạn thẳng) trang 1 
 ♣ ĐL: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và 
bằng nửa cạnh ấy. 
 Phương Pháp Chứng Minh Hình 8 & 9 
12 
 ♣ ĐL Pitago: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh 
huyền bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông. 
 ♣ Từ định lý Pitago hoặc từ “tỉ số lượng giác của góc nhọn” ta đều dẫn 
tới những kết quả sau đây : 
  Trong nửa tam giác đều : 
 Nếu a là độ dài của cạnh góc vuông nhỏ thì : 
  Độ dài của cạnh huyền là 2a. 
  Độ dài của cạnh góc vuông lớn là a 3 . 
  Trong tam giác vuông cân : 
 Nếu a là độ dài của cạnh góc vuông thì : 
  Độ dài của cạnh huyền là a 2 . 
 ♣ Tính chất của hai tam giác đồng dạng : 
 ĐN: Tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu : 
 Aˆ 'Aˆ  ; Bˆ 'Bˆ  ; Cˆ 'Cˆ  
CA
A'C'
BC
C'B'
AB
B'A'
 
 ♣ Xem thêm phụ chú “TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG” trang 6 và 7. 
 ♣ Cạnh lục giác đều = bán kính đường tròn ngoại tiếp. 
 ○C Tính diện tích : 
 S ( thường) = 1/2 đáy . cao 
 S ( vuông) = nửa tích hai cạnh góc vuông 
 S (hình vuông) = cạnh . cạnh 
 S (hình chữ nhật) = dài . rộng 
 S (hình thoi) = nửa tích hai đường chéo 
 S (hình thang) = nửa tổng hai đáy nhân cao 
 S (hình tròn) = bình phương bán kính nhân  
 ♣ ĐL: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ 
số đồng dạng. 
Tài liệu nầy được biên soạn theo : 
  Sách giáo khoa 
  Sách bài tập 
  Các tài liệu tham khảo 
 xuất bản năm 1999 
GV biên soạn : Vương Nhứt Trung ( Lý cấp 3 )