Phương pháp giải hệ phương trình Đại số luyện thi đại học



−
4
33
;
4
1
Ta có uuf 28)(/ −= 
 40)(/ =⇔= uuf 
Bảng biến thiên 
 x 
4
1
− 4 
4
33
)(/ xf + 0 - 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 40 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 )(xf 16 
16
33
− 
16
33
− 
Dựa vào bảng biến ta thấy hệ đã cho có ít nhất một nghiệm 16
16
33 ≤≤−⇔ m 
Ví dụ 5. Cho hệ phương trình 




=+++
=+
)2(35
)1(3
myx
yx
Xác định m để hệ có nghiệm yx ≥ 
Giải: 
Điều kiện: 0;0 ≥≥ yx 
Đặt 0≥= yt 
Từ 96)1( 2 +−=⇒ ttx 
Khi đó (2) trở thành : )3(3146 22 mttt =+++− 
Do 0≥≥ yx nên 
2
33 ≤⇔≥−⇒≥ tttyx 
Do đó, 
2
30 ≤≤ t 
Hệ đã cho có nghiệm ⇔≥ yx phương trình (3) có nghiệm 



∈
2
3
;0t 
Xét hàm số 3146)( 22 +++−= ttttf trên đoạn 



2
3
;0 
Ta có 
3146
3)(
22
/
+
+
+−
−
=
t
t
tt
t
tf 
( )






−
=
−−
=
⇔=
)(
2
9135
2
1359
0)(/
nt
lt
tf 
Bảng biến thiên: 
 x 0 
2
9135 −
2
3
)(/ tf + 0 - 
 )(tf 314 + 





2
3f 
 







−
2
9135f 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 




≤≤






−
2
3
2
9135 fmf thỏa điều kiện bài toán 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 41 WWW.GiaitoanOnline.Com 
VIII. Phương pháp hàm số: 
Kiến thức: Nếu hàm số )(xfy = đơn điệu và liên tục trên D thì phương trình 
kxf =)( nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất trên D và yxyfxf =⇔= )()( với 
mọi x, y thuộc D. 
Cách giải: 
Bước 1: Tìm điều kiện của hệ. 
Bước 2. 
+ Biến đổi hệ đưa một phương trình của hệ về dạng )()( vfuf = (*) 
+ Chứng minh )(xfy = là hàm số đơn điệu và liên tục trên D. 
Suy ra, (*) vu =⇔ 
+ Ta tìm được điều kiện ràng buộc ẩn này qua ẩn kia. 
+ Thay vào phương trình còn lại để tìm nghiệm. 
Bước 3. Kết luận 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 




=+
−=−
)2(1
)1(44
66
44
yx
yyxx
Giải: 
Từ (2) 1,1 ≤≤−⇒ yx . 
Đặt [ ]1;1,4)( 4 −∈−= ttttf . 
Ta có [ ]1;1044)( 3/ −∈∀≤−= tttf và 10)(/ =⇔= ttf . 
Suy ra, )(tf đơn điệu trên đoạn [ ]1;1− . 
Do đó, yxyfxf =⇔=⇔ )()()1( . 
Thay vào (2) ta được 
6 2
1±=x . 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 











−−
6666 2
1
;
2
1
,
2
1
;
2
1
. 
Ví dụ 2: Giải hệ sau 




=++−
−=+−+
)2(04912
)1(1212
22 yxyx
yxyx
Giải: 
Điều kiện: 






−≥
−≥
2
1
2
1
y
x
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 42 WWW.GiaitoanOnline.Com 
Từ (2) 0. >⇒ yx (*) 
Đặt tttf −+= 12)( với 



∞+−∈ ;
2
1
t . 
Ta có )3()()()1( yfxf =⇔ 
Laị có 1
12
1)(/ −
+
=
t
tf 
00)(/ =⇔= ttf ( nhận) 
Suy ra, )(tf đồng biến trên 





− 0;
2
1
 và nghịch biến trên ( )∞+;0 . 
Do (*) nên ta có các trường hợp sau 
TH1: 




−∈ 0;
2
1
, yx yx =⇔⇒ )3( 
TH2: [ )+∞∈ ;0, yx yx =⇔⇒ )3( 
Như vậy cả hai trường hợp đều dẫn đến x = y, tức là yx =⇔)1( thay vào (2) ta 
được 
242 2 =⇔= xx .)
2
1( −≥xDo 
Vậy nghiệm của hệ đã cho là 




=
=
2
2
y
x
. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau 
( ) ( )




=−++
=−−++
)2(74324
)1(025314
22
2
xyx
yyxx
( ĐỀ TSĐH KHỐI A NĂM 2010) 
Giải: 
Điều kiện: 
2
5≤y và 
4
3≤x . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )yfxfyyxx 25225125214)1( 2 −=⇔−+−++⇔ (*) 
Với ( ) ( )tttf 12 += 
Ta có tttf ∀>+= 013)( 2/ , suy ra )(tf đồng biến trên R. 
Do đó (*)





−
=
≥
⇔−=⇔
)3(
2
45
0
252 2xy
x
yx 
Thế (3) vào (2) ta được )4(074322
2
54
2
22
=−−+





−+ xxx 
+ Ta thấy 0=x và 
4
3
=x không phải là nghiệm của (4). 
+ Xét hàm số 074322
2
54)(
2
22
=−−+





−+= xxxxg 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 43 WWW.GiaitoanOnline.Com 
Ta có ( ) 0
43
4344
43
42
2
588)( 22/ <
−
−−=
−
−





−−=
x
xx
x
xxxxg 
Suy ra hàm số )(xg nghịch biến. 
Ta lại có 0
2
1
=




g , do đó (4) có nghiệm 
2
1
=x ; suy ra 2=y 
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất 




 2;
2
1
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau 
( ) ( )




=+
+=+
)2(13
)1(11
22
22
yx
yxxy
Giải: 
Từ 0)1( >⇒ xy (*) 
Từ (2) 11 ≤≤−⇒ x và 11 ≤≤− y 
Ta có 
y
y
x
x 22 11)1( +=+⇔ ( ) ( )yfxf =⇔ 
Với 
t
t
tf 1)(
2 +
= với [ ]1;1−∈t 
Ta có 
t
t
tf 1)(
2
/ −
= 
Nên hàm số )(tf nghịch biến trên mỗi nữa khoảng [ )0;1− và ( ]1;0 . 
Do (*) nên ta có các trường hợp sau 
TH 1: [ )0;1, −∈yx ( ) yxyfxf =⇔=⇒ )(
2
1
==⇒ yx 
TH 2: ( ]1;0, ∈yx ( ) yxyfxf =⇔=⇒ )(
2
1
−==⇒ yx 
 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 





2
1
;
2
1
 và 





−−
2
1
;
2
1
. 
Ví dụ 5: 
Cho hệ phương trình: 




=−++
=−++
)2(13
)1(13
mxy
myx
Xác định m để hệ có nghiệm. 
Giải: 
Điều kiện: 



≤≤−
≤≤−
13
13
y
x
Trừ (1) cho (2) ta được: 
3 1 3 1x x y y+ − + = + − −
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 44 WWW.GiaitoanOnline.Com 
)()( yfxf =⇔ (*) Với tttf −−+= 13)( với 13 ≤≤− t 
Xét hàm số tttf −−+= 13)( với 13 ≤≤− t 
 [ ]1;30
12
1
32
1)(/ −∈∀>
−
+
+
= t
tt
tf 
Suy ra hàm số f(t) tăng trên trên [ ]1;3− . 
Do đó, (*) yx =⇔ . 
Thay x = y vào (1) ta được: )3(13 mxx =−++ 
Hệ đã cho có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm [ ]1;3−∈x 
Xét hàm số xxxg −++= 13)( 
xx
xg
−
−
+
=
12
1
32
1)(/ 
 10)(/ −=⇔= xxg 
Bảng biến thiên 
 x -3 - 1 1 
)(/ xg + 0 - 
 )(xg 22 
 2 2 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy 222 ≤≤ m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 6. Tìm m để hệ phương trình: 
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0 (1)
1 3 2 0 (2)
x y y x
x x y y m

− + − − =

+ − − − + =
có 
nghiệm thực. 
Giải: 
Điều kiện: 
2
2
1 0 1 1
0 22 0
x x
yy y

− ≥ − ≤ ≤
⇔  ≤ ≤
− ≥ 
Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t3 − 3t2 = y3 − 3y2. 
Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: 
(1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 
 Do đó, (2) ⇔ 2 22 1 0x x m− − + = 
Đặt 21v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v2 + 2v − 1 = m. 
Hàm số g(v) = v2 + 2v − 1 
Ta có g/(v) = 2v + 2 
/ ( ) 0 1g v v= ⇔ = − (loại) 
Bảng biến thiên 
 v 0 1 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 45 WWW.GiaitoanOnline.Com 
/ ( )g v + 
 ( )g v 2 
 -1 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
 −1 ≤ m≤ 2 
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình: 
3 2 1 0 (1)
(3 ) 2 2 2 1 0 (2)
x y
x x y y
 − + =

− − − − =
Giải: 
Điều kiện 12 à
2
x v y≤ ≥ 
 (2) ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 1x x y y⇔ + − − = + − −       
 Xét hàm số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t 
 f’(t)= 3t2 + 1 > 0 ∀t ∈ R. 
Vậy hàm số tăng trên R 
Do đó (2) ( ) ( )2 2 1 2 2 1f x f y x y⇔ − = − ⇔ − = − 
 ⇔ 2 – x = 2y – 1 ⇔ 2y = 3 – x 
 Thay vào (1) ta được: x3 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1. 
Vậy nghiệm của hệ là (1;1) 
Ví dụ 8. ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2007) 
Giải hệ phương trình 
−
−
 + − + = +

 + − + = +
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
(I)
y y 2y 2 3 1
Giải: 
Đặt u = x − 1, v = y − 1 
 (I) thành 
 + + =

 + + =
2 v
2 u
u u 1 3
(II)
v v 1 3
 Xét hàm f(x) 2x x 1= + + 
 f ´(x) ++ += + = > ≥
+ + +
2
2 2 2
x xx x 1 x1 0
x 1 x 1 x 1
 Vậy f đồng biến nghiêm cách trên R. 
 Nếu u > v ⇒ f(u) > f(v) ⇒ >v u3 3 ⇒ v > u ( vô lý ) 
 Tương tự nếu v > u cũng dẫn đến vô lý 
 Do đó hệ (II)   + + = = + −⇔ ⇔ 
= =  
2 u u 2u u 1 3 1 3 ( u 1 u) (1)
u v u v
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 46 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 Đặt: g(u) u 23 ( u 1 u)= + − 
 
⇒ = + − + − 
 + 
u 2 u
2
ug '(u) 3 ln3( u 1 u) 3 1
u 1
 ( ) ( ) Ru,0
1u
13lnu1u3u'g
2
2u ∈∀>






+
−−+= 
 Vậy g(u) đồng biến nghiêm cách trên R. 
 Ta có g(0) = 1. Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1) 
 Nên (II) ⇔ u = 0 = v 
 Vậy (I) ⇔ x = y = 1. 
IX. Các bài tập tự làm: 
1. Giải hệ phương trình. 
 1/ (Dự bị 1 khối D 2006) :
( )
2 2x xy y 3(x y)
32 2x xy y 7 x y

− + = −

 + + = −
, ( )x,y R∈ . 
 2/ (Dự bị 2 khối B 2006) : ( )( )
( )( )
2 2x y x y 13
2 2x y x y 25

− + =


 + − =

, ( )x,y R∈ . 
 3/ (Dự bị 2 khối A 2006) : ( )
3 3x 8x y 2y
2 2x 3 3 y 1

− = +

− = +
, ( )x,y R∈ . 
 4/ (Dự bị 1 khối A 2006) : ( ) ( )( )( )
2x 1 y y x 4y
2x 1 y x 2 y
 + + + =


 + + − =

, ( )x,y R∈ . 
 5/ (Dự bị 1 khối A 2005) : ( )
2 2x y x y 4
x x y 1 y(y 1) 2
 + + + =

+ + + + =
, 
 6/ (Dự bị 2 khối A 2005) : 2x y 1 x y 1
3x 2y 4
 + + − + =

+ =
. 
 7/ (Dự bị 2 khối A 2007) : 
4 3 2 2x x y x y 1
3 2x y x xy 1

− + =

− + =
. 
 8/ ( ĐH KA-2008): 
( )
52 3 2x y x y xy xy
4
54 2x y xy 1 2x
4

+ + + + = −

 + + + = −

, ( )x,y R∈ . 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 47 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 9/ ( ĐH KB-2008): 
4 3 2 2x 2x y x y 2x 9
2x 2xy 6x 6
 + + = +

+ = +
, ( )x,y R∈ . 
 10/ ( ĐH KD-2008): 
2 2xy x y x 2y
x 2y y x 1 2x 2y
 + + = −

− − = −
, ( )x,y R∈ . 
 11/ ( ĐH KB-2002) 
3 x y x y
x y x y 2

− = −

+ = + +
 12/ (ĐH KD-2002) 
3x 22 5y 4y
x x 14 2 yx2 2

= −

+ +
 =
 +
 . 
 13/ ( ĐH Khối A -2003) 
1 1
x y
x y
32y x 1
− = −
= +





 . 
 14/ (ĐH KB- 03) 
2y 2
3y 2
x
2
x 2
3x 2y
+
=
+
=







; 
 15/ ( ĐH KA-2006) x y xy 3
x 1 y 1 4
 + − =

+ + + =
2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình, hệ bất phương 
trình có nghiệm. 
 1/ (Dự bị 1 khối B 2007) :Chứng minh rằng hệ phương trình 
yxe 2007
2y 1
xye 2007
2x 1

= −
−


= −

−
có đúng 
 hai nghiệm thỏa điều kiện x>0, y>0. 
 2/ ( ĐH K-D:2007) Tìm m để hệ 
1 1
x y 5
x y
1 13 3x y 15m 103 3x y

+ + + =


 + + + = −

có nghiệm thực . 
 3/ (CĐ Khối A+B+D: 2008) Tìm m để hệ phương trình x my 1
mx y 3
− =

+ =
có nghiệm (x;y) thỏa 
WWW.GiaitoanOnline.Com 
Chuyên Đề Hệ Phương Trình Đại Số - LTĐH 48 WWW.GiaitoanOnline.Com 
 Điều kiện x.y<0. 
 4/ ( ĐH KD-2004) x y 1
x x y y 1 3m
 + =

+ = −
 CHÚC BẠN THÀNH CÔNG