Phương pháp tìm khối tâm các vật thể

có thể tìm lại vị trí khối tâm của hình chữ L ở mục 2 
bằng phương pháp khối lượng âm. Ta coi vật chữ L ñược cấu 
tạo bởi 2 phần, phần hình vuông OABC có khối lượng M 
(dương), khối tâm G (xG ; yG) và phần khối lượng âm m2 là 
hình vuông MNBQ, khối tâm G2 (x2 ; y2). Phần chữ L có khối 
tâm G1 (x1 ; y1). Do tính ñối xứng nên 
22 2
1 1
2
OABC G MNBQG
OABC MNBQ
S x S xMx m xy x
M m S S
ρ ρ
ρ ρ
−
−
= = =
− −
Thay các toạ ñộ của xG, x2 và diện tích các hình vuông vào ta 
ñược: 
2 2
2 2
1 2 2
( ) ( ) 32 2
( ) 4 2
a b b
a b b a
a ab b
x
a b b b a
+
+ − + + +
= =
+ − +
4. Phương pháp tích phân 
 Nếu vật thể không có dạng ñối xứng, hoặc có ñối xứng nhưng khối tâm không xác ñịnh 
ñược một cách ñơn giản, ta phải sử dụng biểu thức ñịnh nghĩa ñể xác ñịnh khối tâm. Phương pháp 
này còn gọi là phương pháp tích phân, phép tích phân có thể quy về các bước sau: 
b1. Xác ñịnh biểu thức mật ñộ khối lượng theo toạ ñộ ρ( r

). Nếu vật ñồng chất thì ρ là hằng số 
b2. Phân chia vật thể thành các yếu tố thể tích dV, lập yếu tố vi phân khối lượng dm = ρ( r

)dV 
a+b 
a+
b
a 
a 
b 
b 
a+b 
G1 
G2 
2
a b+ 
2
a 
2
b
a + 
2
a 
O x 
y 
Trục ñối xứng 
G 
GG G 
O 
G1 
O x 
y 
G2 
G 
A B 
C 
M 
N 
Q 
 4 
b3. Lập biểu thức tích phân 
1 ( )G
V
r r r dV
m
ρ= ∫


  
 với ( )
V
m r dVρ= ∫

Thông thường ta chiếu lên các trục tọa ñộ ðề-Các vuông góc ñể tính 
1 ( )G
V
x x r dV
m
ρ= ∫

 ; 
1 ( )G
V
y y r dV
m
ρ= ∫

 ; 
1 ( )G
V
z z r dV
m
ρ= ∫

Nếu vật ñồng chất thì 
1
G
V
x xdV
V
= ∫ ; 
1
G
V
y ydV
V
= ∫ ; 
1
G
V
z zdV
V
= ∫ 
Ví dụ 1 : Quạt cầu, góc mở ở ñỉnh là 2α 
xét dV = dr.rdθ.rsinθdϕ = r2dr.sinθdθ.dϕ 
Thể tích quạt cầu : V = ( )
2 3
2
0 0 0
2
sin 1 os
3
R
V
RdV r dr d d c
α pi piθ θ ϕ α= = −∫∫∫ ∫ ∫ ∫ 
Do tính ñối xứng nên chỉ xét toạ ñộ theo trục z 
1 1( )G
V V
z z r dV zdV
m V
ρ= =∫ ∫

Chú ý là dV = r2dr.sinθdθ.dϕ ; z = r.cosθ 
2
3 3 2
0 0 0
1 1 3
.sin cos . sin cos cos
4 2
R
G
V
z r dr d d r dr d d R
V V
α pi αθ θ θ ϕ θ θ θ ϕ= = =∫ ∫ ∫ ∫ 
23 cos
4 2G
z R α =  
 
Ví dụ 2 : Quạt tròn phẳng, ñồng chất với góc ở ñỉnh là 2α. 
Giải : Do quạt là hình phẳng, ñồng chất, có 1 trục ñối xứng nên khối tâm thuộc trục ñối xứng. Chọn 
hệ trục toạ ñộ gắn với quạt như hình vẽ. Do quạt là hình 
phẳng nên thay vì xét yếu tố thể tích dV ta xét yếu tố diện 
tích ds : 
ds = rdϕ.dr 
⇒ dm = ρds = ρr.dr.dϕ 
(ρ là mật ñộ khối lượng theo diện tích S) 
Toạ ñộ của yếu tố dm: x = r cosϕ 
2 2
0
1 1 1
os drd dr os d
R
G
S S
x x ds r c r c
m S S
α
α
ρ ϕ ϕ ϕ ϕ
−
= = =∫ ∫ ∫ ∫ 
Tính các tích phân này, chú ý diện tích quạt tròn là 
2
2
RS α= 
⇒ 
2 sin
3G
R
x
α
α
=
Nếu α = 900 (nửa hình tròn) thì xG = 43 Rpi 
Ví dụ 3 : Cung tròn ñồng chất, góc mở ở ñỉnh là 2α 
Xét yếu tố ñộ dài dL = rdϕ ; chiều dài cả cung tròn là L = 2αR 
Do tính ñối xứng nên chỉ xét toạ ñộ theo phương y (y = Rsinα) 
2
2
2
1 1 sin
sin
2G
y ydL R d R
L L
pi ϕ
pi ϕ
αϕ ϕ
α α
+
−
= = =∫ ∫ 
ds 
x 
y 
α 
-α O 
θ 
x 
z 
R 
dV 
O 
dL 
x 
y 
O 
α 
R 
 5 
Ví dụ 4 : Hình nón với góc mở ở ñỉnh là 2α, chiều cao h 
Chia hình nón thành từng lớp mặt phẳng //, yếu tố vi phân này có 
dm = ρpir2dx = ρpix2tg2αdx 
⇒ 2 3
0
1 3
.
4
h
Gx tg x dx h
m
ρpi α= =∫ 
Ví dụ 5 : Hình vòng xuyến ñồng chất. 
Giải : ta coi vòng xuyến như một hình vành khăn có mật ñộ khối 
lượng thay ñổi theo khoảng cách tới tâm 
Mật ñộ khối lượng phụ thuộc vào khoảng cách tới tâm O, mật ñộ này tỉ lệ với bề dày của vòng 
xuyến tại khoảng cách r. Hàm mật ñộ khối lượng có dạng 
2 2
2 12 ( )R r Rρ = − − 
Xét yếu tố vi phân diện tích ds = dr.rdϕ = rdrdϕ. Do tính ñối xứng nên chỉ xét tọa ñộ x 
1 2
1 2
2 2 2
2 1
-
1 1( ) 2 os d ( )
R R
G
s R R
x x r ds c r R r R dr
m m
α
α
ρ ϕ ϕ
+
−
= = − −∫ ∫ ∫ 
Ta có : 
* 
-
2 os d 2sinc
α
α
ϕ ϕ α=∫ 
* 
1 2 1 2 2
1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )
R R R R R
R R R R R
r R r R dr r R r R d r R t R R t dt
+ +
− − −
− − = − − − = + − =∫ ∫ ∫ 
 = 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 22
R R R
R R R
t R t dt R t R t dt R R t dt
− − −
− + − + −∫ ∫ ∫ = I1 + I2 + I3 
 Tính I1 : ñặt t = R2.sinθ ⇒ 41 216
I Rpi= 
 Tính I2 : I2 = 0 
 Tính I3 : phương pháp ñổi biến số, I3 = 2 21 22
R Rpi 
Tóm lại 4 2 22 1 2
sin 2
4G
x R R R
m
α pi
pi
 
= + 
 
Bây giờ ta tính m 
1 2 2
1 2 2
2 2 2
2 1 1 2( ) 2 ( ) 4 ( )
R R R
V R R R
m r dV d r R r R dr t R R t dt
α
α
ρ ϕ α
+
− − −
= = − − = + −∫ ∫ ∫ ∫ = 
 = 
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 1 2
14 ( )
2
R R
R R
R t d R t R R t dtα
− −
 
− − − + − 
 
 
∫ ∫ 
Chú ý các tích phân ñã tính I3 ta ñược m = 2piαR1R22 
R1 
R2 2α -α α 
O y 
x 
dS r 
lớp S(r) 
O 
r 
x 
z 
α h 
 6 
Vậy tọa ñộ khối tâm : 
2
2
1
1
sin
8G
R
x R
R
α
α
 
= + 
 
Chú ý : nếu ta cho R2 tiến ñến không thì ta thu ñược công thức tính cho trường hợp cung tròn ñã 
làm ở ví dụ 3. 
III. Bài toán tìm khối tâm của một khối không khí 
Công thức mật ñộ phân tử khí theo ñộ cao 
0
g
x
RTn n e
µ
−
= (1) 
Trong ñó 
 n0 : mật ñộ phân tử khí tại mặt ñất, n0 = p0/kT với p0 là áp suất khí quyển tại mặt ñất (~ 1at) 
 k : hằng số Boltzmann, k = 1,38.10-23 J/K 
 T : nhiệt ñộ tuyệt ñối (K) 
 R : hằng số khí lý tưởng, R = 8,31 J/molK 
 µ : khối lượng mol phân tử (Kg/mol), ñối với không khí có thể lấy là 29.10-3 Kg/mol 
 g : Gia tốc trọng trường, với những nơi gần mặt ñất có thể lấy g ~ 9,8 m/s2 
 x : ñộ cao so với mặt ñất, x = 0 tại mặt ñất 
Do mật ñộ khối lượng của khối khí tỉ lệ với mật ñộ phân tử khí nên hàm phân bố khối lượng : 
0( ) . .
g
x
RTr m n m n e
µ
ρ −= = 
trong ñó m là khối lượng của một phân tử khí 
Xét một cột khí có chiều cao h, vị trí khối tâm của cột khí ñược xác ñịnh : 
0
0 0
1 1( ) .
h h g
x
RT
Gx x x dx x mn e dxM M
µ
ρ −= =∫ ∫ 
M là khối lượng của cả cột khí. M = 0
0
( )
h g
x
RTM x dx mn e dx
µ
ρ −= =∫ ∫ 
Tính các tích phân này (bằng phương pháp ñổi biến số rồi tích phân từng phần) ta ñược : 
1
G gh
RT
RT h
x
g
e
µµ
= +
−
Với các giá trị : h = 1000 m ; g = 9,8 m/s2 ; µ = 29.10-3 Kg/mol ; T = 293K = 200C ⇒ xG = 490,27m 
Chú ý : 
 + Công thức (1) chỉ dùng cho khối khí trong một vùng không gian hẹp, cỡ vài km, vì trong 
công thức ñó ñã giả thiết gia tốc trọng trường g và nhiệt ñộ T là không ñổi trong toàn khối khí. 
 + Theo công thức (2) nếu h → ∞ thì xG → RT
gµ
IV. Sự sai khác giữa khối tâm và trọng tâm trên Trái ðất 
1. ðịnh nghĩa trọng tâm 
 Một hệ chất ñiểm khi ñặt trong trọng trường của Trái ðất thì sẽ chịu trọng lực tác dụng, 
trọng lực chính là lực hấp dẫn của Trái ðất tác dụng lên vật. mỗi chất ñiểm của hệ có khối lượng mi 
sẽ chịu một lực tác dụng pi . Hợp lực của tất cả các lực thành phần pi ñặt tại một ñiểm ñặc biệt gọi 
là trọng tâm của hệ. Với vật thể vật chất ñược phân bố liên tục thì gọi dm là khối lượng của yếu tố 
vi phân thể tích dV, lực tác dụng lên yếu tố này là df

 
( ) ( ) ( )df r dm r r dVγ γ ρ= =

      
 7 
Trong ñó ( )rγ
 
 là một hàm thế ñặc trưng cho trường trọng lực của Trái ðất. 
3( )
M
r G r
r
γ = −
  
(riêng trong công thức này r là véc tơ bán kính vẽ từ tâm Trái ðất) 
còn ( )rρ

 là hàm mật ñộ khối lượng theo vị trí. 
 Về mặt tổng quát, trường hấp dẫn của Trái ðất là trường xuyên tâm, do ñó các véc tơ df

 
không song song với nhau mà phụ thuộc vào r

 , tuy nhiên nếu xét trong một khoảng không gian ñủ 
hẹp thì có thể coi trường trọng lực là một trường lực song song. Trong tài liệu này ta xét trường hợp 
trọng lực là một trường lực song song, gọi z là trục thẳng ñứng hướng từ mặt ñất lên với véc tơ ñơn 
vị k

 thì 
3 2( ) ( )
M GM
r G r k
r R z
γ = − = −
+
   
Về ñộ lớn : 
2( ) ( )
GM
r
R z
γ =
+

Do ñó 
( ) ( )df k r r dVγ ρ= −

    ; ( ) ( )df r r dVγ ρ=   
Trọng tâm chính là tâm của hệ lực song song trên nên ñược tính theo biểu thức : 
( ) ( )
( ) ( )
toanvat toanvat
G
toanvat toanvat
rdf r r r dV
r
df r r dV
γ ρ
γ ρ
= =
∫ ∫∫∫
∫ ∫∫∫
   



 
Chú ý rằng biểu thức dưới mẫu là ñộ lớn của trọng lực tác dụng lên vật, gọi là trọng lượng. Do ñó 
có thể viết lại biểu thức là : 
1 ( ) ( )G
toanvat
r r r r dV
P
γ ρ= ∫∫∫


   
 ; với ( ) ( )
toanvat
P r r dVγ ρ= ∫∫∫
 
Nếu vật thể là ñủ nhỏ ñể có thể coi là ( )rγ
 
 không ñổi thì biểu thức trên trở thành 
( ) ( )
1 ( )
( ) ( )
toanvat V
G
V
toanvat V
r r dV r r dV
r r r dV
mr dV r dV
ρ ρ
ρ
ρ ρ
= = =
∫∫∫ ∫
∫
∫∫∫ ∫
   


  
 
ðó chính là công thức tính vị trí khối tâm. Vậy nếu vật thể nhỏ thì trọng tâm trùng với khối tâm. 
Khí ñó thì trọng lượng 
( )
toanvat
P r dV mγ ρ γ= =∫∫∫

(thông thường kí hiệu γ là g thì ta ñưa về công thức P = mg) 
Còn lại nếu vật thể có kích thước lớn thì nói chung trọng tâm không trùng với khối 
tâm của vật. 
2. Bài toán ví dụ 
Xét một cái cột hình trụ dựng thẳng ñứng có ñộ cao h, ñồng chất, ñặt trên mặt ñất. 
dm = s.ρ.dz 
2( ) ( )
GM
r
R z
γ =
+

Do tính ñối xứng nên chỉ xét toạ ñộ theo trục z 
h 
z 
O 
x 
dm 
 8 
2 2 2
0 0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
h h h h h
h h h h
zdz R z R d R z
z r r dV d R z d R z
R z R z R z R z
z R
dz d R z
r r dV d R z
R z R z R z
γ ρ
γ ρ
+ +
+ − +
+ + + +
= = = = −
+
+
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
 
 
 = 
 = 
0
1
0
lnln( )
1 ln(1 ) 11 1( )
h
h
R h
R z R hRR R R
h RR z
R R h
−
+ 
 +    
− = − = + + −  
  
− +
−
+
Tóm lại ñộ cao trọng tâm của cột so với mặt ñất : 
1 ln(1 ) 1R hz R
h R
  
= + + −  
  
Nhận xét : Nếu lấy R = 6370 km, h = 1000 m thì z = 499,974 m. Trong khi ñó khối tâm là trung 
ñiểm của cột, do ñó trọng tâm thấp hơn khối tâm 2,6 cm 
______________________________ 
 Nguyễn Việt Dũng 
 THPT Chuyên Lương Văn Tuỵ - Ninh Bình