Rèn luyện kỹ năng giải toán chia hết trong chương trình toán THCS

cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1
=(6n+ cn1.6n-1 + cn2 . 6n-2 +..+ cnn-2. 62) + cnn-1 . 6+ cnn+3n-1
=(3.2)n +cn1. . (2.3)n-1 + cn2 .(3.2)n-2+.+cnn-2+(3.2) n+2+d cnn-1 . 6 + cnn + 3n-1
=2n . 3n + cn1 .2n-1.3n-1+.+ cnn-2.3n-2.2n-2 + 6n + 1 + 3n -1
=32 (2n . 3n-2+ cn1.2n-1.3n-2 + . +cnn-2 .22 )+9n.
=9(2n . 3n-2 + cn1 . 2n-1. 3n-2++ cnn-2 .22) + 9n 9
Vậy 7n + 3n -1 9 mọi n nguyên dương
Bài tập tương tự
Bài1: Chứng minh rằng : 
	a)-10n + 72n -1 chia hết cho 91.
	b)- 22n +15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì
	(n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hết cho 2.
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133.
+Đối với bài số 3 thì đây là dạng toán chia hết mà số mũ chứa chữ nên khi làm cần định hướng cho học sinh cách làm như sau:
Cách 1: 
	Ta có: 122n+1+11n+2 = (122)n .12 + 11n . 112.
	=144n .12 + 11n . 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121. nn
	= 12 . 133 . M + 133 . 11n.
	Mỗi số hạng đều hết cho 133 nên 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133.
Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học).
	Với n =1 thì tổng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 .11 + 112)
	=22.133 chia hết cho 133.
	vậy mệnh đề đúng với n=1.
	Giả sử mệnh đề đúng với n=k 	Tức là 122k+1+11k+2 chia hết 133.
	Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
	Thật vậy: 122k+3 +11k+3=144 .122k+1+11k+3.
	= 133. 122k+1 +11. 122k+1 + 11k+3.
	=133. 122k+1 +11 (122k+1 + 11k+2 ).
	Vỉ 133 . 122k+1 133; 11(122k+1 +11k+2) 133
	133. 122k+1+11(132k+1 +11k+2) chia hết cho 133
Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133.
	Cách 3: 
	Ta có : 122n+1+11n+2 =122n+1 +11n+2+112(2n+1) -112(2n+1)
	=(122n+1+112(2n+1)) - (112(2n+1) -11n+2)
	=122n+4 +(112)2n+1 –(114n+2 -11n+2).
	=(122n+1 +(112)2n+1) -11n+2 (113n-1)
	Vì 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112) . P 133.
	và 113n -1 = (113 -1) . Q =(n-1) (n2 +11 +1) .Q
	= 10 . 133 . Q 133
	Vậy 122n+1 +11n+2 chia hết cho 133
Dạng 4:Tìm điều kiện để một bài toán chia hết cho một số hoặc cho một biểu thức
Bài toán 1:tìm số tự nhiên n sao cho n2 +4 n +1
	Ta có : n = = = n-1 + 
để (n2 + 4) (n+1) thì 5 n+1 hay n+1 Î Ư(5).
	Mà Ư(5) ={1; 5}
	 *n+1 = 5 -> n = 0 (thoả mãn)
	 *hoặc n+1 = 5 -> n = 4 (thoả mãn).
	Vậy với n = 0 ; n = 4 thì n2 + 4 n+1
Bài toán 2: tìm số tự nhiên n để : 32n+3 + 24n +1) 25
đặt A = 32n+3 + 24n +1) =27.32n + 2. 24n =25 .32n + 2(32n+24n) =BS25 + 2(9n + 16n)
+Nếu n lẻ thì 9n +16n 25 do đó A25
+Nếu n chẵn thì 9n có tận cùng là 1, còn16n có tận cùng là 6
2( 9n +16n) có tận cùng là 4. Vậy A không chia hết cho 25
Vậy với n lẻ thì 32n+3 + 24n +1) 25
Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a2x 3 +3ax2 -6x -2a (a ÎQ).
 Xác định a sao cho f(x) (x +1)
+Cách 1: đặt phép chia đa thức.
a2 x3 +3ax2 -6x -2a = (x +1) a2x2 +(3a –a2 ) x +(a2-3a -6) +(-a2 +a +6)
để f(x) (x+1), ta phải có: -a2+a +6 = 0 ó (a+2) (3-a) = 0
=> a+2 = 0 hoặc (3-a) = 0 nên a = -2; a = 3
Kết luận: Vậy với a=-2; a=3 thì f(x) (x+1)
+Cách 2: dùng hệ số bất định
Đa thức bị chia có bậc ba, đa thức chia có bậc nhất nên thương là một đa thức bậc hai. Gọi thương của phép chia là:a2x2+bx-2, ta có f(x) = (x+1) (a2x2 +bx -2a)
ó a2 x3 +3ax2 -6x -2a =a2x3 +(a2 +b) x2 +(b-2a) x -2a
Giải hệ phương trình ta được a= -2 thì b=-10 và a=3 thì b=0.
+Cách 3: Gọi thương của phép chia f(x) cho (x+1) là q(x).
ó a2x3 +3ax2 -6x -2a =(x+1) q(x).
Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x =-1 ta được 
 -a2 +3a +6 -2a =0
 -a2 +a + 6 =0
từ đó a = -2; a = 3
Với a = -2 thì	f(x) = 4x3 - 6x2 - 6x + 4
	q(x) = 4x2 -10x +4
Với x =3 thì	f(x) = 9x3 + 9x2 - 6x - 6
	q(x) = 9x2 - 6
*Bài tập tương tự:
Bài 1: Tìm k để k(k2 -1) (k2 -4) 480
HD: để ý rằng tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.
Đáp số : k = 8t, k = 4t +2, k =16t +1, k =16t - 1
	Bài 2: Tìm n để 5n -2n 9
HD: Lần lượt xét n=3k ,n =3k +1, n=3k +2
Chỉ có n =3k thì 5n -2n 9
Bài 3: Xác định các hằng số a,b để.
x4 + ax2 +b x2 –x +1.
ax3 + bx2 + 5x – 50 x2 + 3x - 10 
HD: thực hiện phép chia.
x4 + ax2 + b = (x2 –x +1) (x2 +x +a) + (a-1) x + b –a.
Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0, do đó a=1, b=a.
b) Đặt phép chia : Tính được a=1, b=8 .
III./QUÁ TRÌNH THỬ NGHIỆM SÁCH GIÁO KHOA
Sau khi nhận thấy cần nâng cao kỹ năng giải toán “chia hết” cho học sinh tôi đã rèn luyện cho học sinh ngay từ đầu học kỳ I của lớp 6, đặc biệt bồi dưỡng HS giỏi 9. Như vậy việc giải các bài toán “chia hết” của học sinh ngày càng tốt hơn, ngày càng nắm chắc hơn cách giải của các dạng toán.
IV./HIỆU QUẢ ĐỔI MỚI.
Sau khi thử nghiệm tôi thấy học sinh có kỹ năng giải các dạng toán chia hết khá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học như phương pháp quy nạp toán học, tính chất chia hết của một tổng, hiệu, tíchđể giải quyết triệt để các dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”
Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải một bài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhà của học sinh tăng lên rõ rệt. Kết quả đáng tin cậy là điểm kiểm tra một tiết và điểm thi HKI vừa qua và kỹ năng giải toán chia hết đạt 85% so với trước khi thử nghiệm, đã tạo cho học sinh sự hứng thú và say mê với bộ môn Toán.
Qua kết quả trên tôi thấy viêc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết là rất cần thiết và phương pháp cho từng dạng toán đã đem lại hiệu quả cao trong việc nâng cao kỹ năng giải toan chia hết nói chung và giải toán nói riêng.
C/BÀI HỌC KINH NGHIỆM
I./Kinh nghiệm cụ thể
Thực tế sáng kiến đúc rút từ thực tiễn trong quá trình dạy và học môn toán. Đây là một sáng kiến thuộc dạng dạy và học nên hy vọng không chỉ người dạy quan tâm tới việc nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho học sinh mà cả học sinh cũng cần tham khảo để tự mình nâng cao kỹ năng giải toán chia hết cho riêng mình và áp dụng nó để giải các dạng bài tập có liên quan.
II./ Sử dụng sáng kiến.
Người dạy và học muốn có hiệu quả cao trong việc áp dụng sáng kiến để nâng cao kỹ năng giải toán chia hết thì người dạy và học cần nhiệt tình nắm rõ các bước sau:
* Đối với người dạy cần vận dụng trình tự sơ đồ như sau:
Người dạy cần:
Nắm rõ các kiến thức đã học liên quan về toán chia hết
Áp dụng kiến thức đã học một cách linh hoạt để giải toán hoạt
Kiểm tra, đánh giá kết quả thực nghiệm
* Đối với học sinh cần vận dụng theo trình tự sơ đồ hoá sau:
Học sinh cần:
Nắm vững các kiến thức đã học cũng như phương pháp giải cho từng dạng toán 
Có tính sáng tạo , tự giác, tích cực
Biết vận dụng vào thực tế
III./ KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Để làm tốt được dạng toán chia hết này học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức cơ bản như: tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.Bên cạnh đó còn hiểu vả nắm được các phương pháp chưng minh quy nạp toán học, phương pháp phản chứng, định nghĩa và các tính chất về đồng dư thức và một số các phương pháp khác nữa. Tuy nhiên trong quá trình làm học sinh cần vận dụng linh hoạt nội dung kiến thức trên vào từng bài cho phù hợp có như vậy mới đạt được kết quả tốt. Trong quá trình làm dạng toán này tôi đặc biệt chú ý đến nội dung các bài toán có sự sắp xếp theo trình tự từ dễ đến khó, các dạng rất đa dạng và phong phú. Nhằm cung cấp cho học sinh lượng kiến thức phù hợp với khả năng nhận thức và có sự phát triển khả năng tư duy lôgíc.
Trên đây là một số dạng toán thườbng gặp trong chương trình toán THCS. Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và còn có thể chia nhỏ từng dạng trong mỗi dạng trên.Việc phân dạng như trên giúp học sinh dễ tiếp thu hơn và thấy được trong từng bài toán nên áp dụng kiến thức nào cho phù hợp. Mỗi dạng toán tôi chọ một số bài toán cơ bản điển hình để học sinh hiểu cách làm để từ đó làm những bài tập mang tính tương tự và dần nâng cao hơn
Sau một số năm làm như vậy ở các lớp 6,7,8,9 trong tiết học, trong tiết luyện tập, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh tiến bộ hơn rất nhiều. Các em dần thích thú say mê với dạng toán này. Số đông các em không còn lúng túng thiếu tự tin như trước nữa, trong các em đã có sự chuyển biến rõ rệt. Mặc dù đề tài đạt được một số kết quả nhất định song không tránh khỏi những thiếu xót và hạn chế. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú và có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Nhân Cơ, ngày 22 tháng 2 năm 2009
 Người thực hiện
 Lê Thị Phương Mai
 Gv trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
Tài liệu tham khảo
1/ Phương pháp dạy và học Toán THCS_NXB GD
2/ Thực hành giải toán_Nhà xuầt bản GD
3/ Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1 của tác giả Vũ Hữu Bình _Nhà xuất bản GD
4/ Toán số học nâng cao của tác giả Vũ Dương Thụy_Nàh xuâr1 bản GD
XÁC NHẬN CỦA CHUYÊN MÔN NHÀ TRƯỜNG
XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GIÁO DỤC	
MỤC LỤC
A/Đặt vấn đề............................................................................................Trang 1
I/Mục đích yêu cầu..................................................................................Trang 1
II/Thực trạng ban đầu............................................................................Trang 1
III/Giải pháp đã sử dụng........................................................................Trang 1
B/Giải quyết vần đề.................................................................................Trang 2
I/Cơ sở lý luận.........................................................................................Trang 2
II/Giả thuyết.............................................................................................Trang 2
III/ Quá trìnhthử nghiệm SGK.............................................................Trang 12
IV/Hiệu quả mới.....................................................................................Trang 12
C/Bài học kinh nghiệm......................................................................... Trang 12
I/Kinh nghiệm cụ thể........................................................................... Trang 12
II/Sử sụng SKKN................................................................................. Trang 12
III/Kết luận và kiến nghị..................................................................... Trang 13