Sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài Khai thác các ứng dụng từ một bài toán

Kinh nghiệm dạy học
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán
Người thực hiện : Nguyễn Nam Trung
Trường THCS Minh nghĩa – nông cống
Năm học 2011-2012
I. Lý do chọn đề tài.
 Học sinh thường có cách học giải toán chứ không lưu ý đến phương pháp giải, do đó chóng quên, thường giải bài nào biết bài đó nên nếu như đề bị biến tấu thì không nhận ra. Do đó đáp ứng đổi mới phương pháp dạy học cũng nên đổi mới phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi xin mở rộng bài toán cụ thể bài 71 trang 14 (sách bài tập toán 9 tập 1). Tôi thấy bài tập này có nhiều ứng dụng, tôi xin đưa ra một số cách khai thác để giúp học sinh nhớ bài lâu hơn, vận dụng tốt hơn vào giải bài toán khác.
II. Nội dung :
Nội dung gồm 3 phần chính:
A. Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán.
B. Khai thác các ứng dụng bài 71 trong chứng minh bất đẳng thức.
C. Khai thác các ứng dụng bài 71 trong giải phương trình.
 Bài 71. trang 14 (Sách bài tập toán 9 tập I ) chứng minh rằng 
 với n là số tự nhiên.
Chứng minh : () 
 Phát biểu cách khác :
1. Chứng tỏ với mọi số tự nhiên n thì (và ) là hai số nghịch đảo.
2 . (với n là số tự nhiên)
A. Khai thác ứng dụng bài 71 trong tính toán .
Bài 1 : Tính 
 a. 
 b. với n 1
 Giải :
 a. 
 = 
 b. với n 1
 = 
Bài 2 : Tính
 a. A = 
 b. B = 
Định hướng : hay 
Giải :
a. A = 
 = 
 = 
 = 
 b. B = 
 B = 
 = 
 = 
 ở bài 71, thay 1 = x N ta có bài toán 3
 Bài 3 Chứng minh: Với x > 0,n 
 Ta có: 
Bài 4: Tính
 a. C = 
 b. D = 
Với k là số tự nhiên 1
Giải
a. áp dụng bài 3 vào bài bài 4 a. ( )-= 3 , ở đây x = 3
Ta có:
 C = +
 = 
 =
b. áp dụng bài 3 vào bài bài 4b ()- () = 2, ở đây x = 2 
Do đó ta đưa về dạng bài toán 4a như thế nào ? ( Nhân 2 vào 2 vế )
 2D = 
 2D = 
 2D = D = 
 Bài 5 : Tính
 a. E = 
 Định hướng : = ? 
 = . = 
 = 
 E = 
 = 1- 
Ta có 
===
B. Khai thác phạm vi ứng dụng bài tập 71 trong việc so sánh và chứng minh bất đẳng thức
Bài 6 : Không dùng máy tính hãy so sánh 
 A = và B = 
Giải : Áp dụng bài 71
 	A = 
 	 B = 
 	 A < B do 
Bài 7 : Tổng quát từ bài 6 ta có : 
 	 với n 1
áp dụng bài 71 (bài tập toán 9 tập I) ta có điều phải chứng minh.
Bài 8 : Thay 1 = x ở bài 7 ta có : Với >1
 A = 
 B = 
 ta có : A < B . Từ bài toán 6 ta có bài toán sau:
Bài 9 : So sánh C và D 
 C = 
 D = 
Với m > n > 0, p > 0
Ta có 
 	 C = D = 
 Vì m > n C < D
*ứng dụng bài 71 chứng minh bất đẳng thức
 Bài 10 : Chứng minh
 a. (Với n 1)
 b. (với n > x 0) 
 Chứng minh
 a. 
Bất đẳng thức này đã chứng minh ở bài 7
b. 
 Đã chứng minh ở bài 8
Bài 11 : Chứng minh : với m -1
 Chứng minh: Với n = 2 m +1, thay vào bài 10a thì ta được :
Bài 12: Không dùng máy tính và bảng số hãy chứng tỏ 
 Giải 
Vì 0 < ( Suy ra từ bài 10a )
Bài13 : a. Chứng minh rằng với mọi n N*
 b. Chứng minh: 
 Giải
a. 
( Áp dụng bài 71 trang 14 )
2> + (hiển nhiên đúng ) 
 b. 
 * Chứng minh : 2 (- ) <
 	0 < < 
 	 + > 2 
 	 > 
 Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng
 * Chứng minh
 	0 < < 
 2> +
 > 
 Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng
 Bất đẳng thức đã cho được chứng minh
Bài 14 : Cho S = 1+ + 
 Chứng minh 18 < S < 19
 Chứng minh
Áp dụng bài 13b ta có : 
 Thay n = 2,3,4,......100 ta có:
 2 ( ) < < 2 ()
 2 ( ) < < 2 ()
2 ( 
 .
 2( )
 Cộng vế với vế ta có 
 1 + 2 ( ) < S < 1 + 2( ++ + )
1+2 () < S < 1+2 ( )
 	1+2 ( 10 -1,5 ) < S < 1+2 (10-1)
 Vậy ta có : 18 < S < 19
 Chú ý : Cũng có thể thay đổi nội dung bài này như sau :
 Cách 1: Chứng minh S không phải là số tự nhiên 
 Cách 2: Tìm phần nguyên của S
Bài15: So sánh A và B 
A = 2 ( ; B = 2 ( 
Áp dụng bài 11 . với m -1
 Cho m = 0, 1, 2 , ,1003 ta có:
 ..
 ..
 ..
Cộng vế với vế ta có: 
) A < B
Bài 16 : Chứng minh rằng : 
	 1+ 	
Chứng minh : Từ bài 13 b ta cũng có : 
Lần lượt cho n = 0 , 1 , 2 , 3, 2499 ta có
1 < 2
..
Cộng vế với vế ta có:
1+
 ( Điều phải chứng minh )
C. Khai thác ứng dụng của bài 71 trong giải phương trình
Bài 17 : Giải phương trình 
 với x 
 Giải:
Bài 18: Giải phương trình :
 = 9 ( 18 )
 ( Có 2007 số 2 )
Giải :
 Với x -1 ta có :
 ( Tương tự bài 7 ) 
Ta có : 2 + 
Phương trình (18) 
Bài 19 : Giải phương trình :
 ( ( 19 )
Giải : 
 Đặt y = ( 
 Phương trình (19) 
Thay lại ẩn x ta có :
Vậy phương trìmh đã cho có nghiệm x = ± 2
Bài 20 :Giải phương trình 
 (20)
Giải: 
Đặt y = 
=> 
Phương trình (20)
 	y2 - 18y + 1 = 0
Có 
y1 = 9 + = 9 +
y1 = 9 - = 9 -
Thay lại ẩn x nếu: y = 9 +
=> =
Nếu y = 9 -	=> x=-2
Vậy phương trình có hai nghiệm: 	x = ± 2
*.Bài tập :
Bài 1: Tính
Bài2: Chứng minh S = 1+ + không phải là số tự nhiên
Bài 3: Giải phương trình:
 với -1
III Kết luận :
 Kinh nghiệm trên tôi đã từng áp dụng trong khi bồi dưỡng học sinh giỏi và có hiệu quả cao. Qua đây học sinh được rèn luyên khả năng tư duy, khả năng khái quát hoá, rèn luyện tính sáng tạo trong học toán. Đặc biệt là biết vận dụng linh hoạt trục căn thức ở mẫu vào giải toán cũng như vận dụng một bài toán đã biết về giải bài toán mới, tuy nhiên nội dung đề tài còn có nhiều chỗ có thể tôi chưa khai thác sâu, mong bạn đọc góp ý để tôi bổ sung hoàn thiện hơn .
 Xin chân thành cảm ơn ! 
 Minh Nghĩa, ngày 03 tháng 05 năm 2012
 	Người viết
Nguyễn Nam Trung