Sáng kiến kinh nghiệm - Giúp Học Sinh Lớp 7 Đến Lớp 9 Giải Bài Toán Xác Định Một Đa Thức

yên nhân chính là học sinh được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết nhưng rời rạc ở 
các khối lớp và thường thiếu bài tập áp dụng.
Qua đây nhằm củng cố kiến thức về đa thức tong chương trình toán từ lớp 7 đếnlớp9
rèn kỹ năng giải một số dạng toán trên từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS.
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY
 1 . Định lý Bơdu:
 Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a bằng giá trị của đa thức
 tại x=a
 Tức là: f(x)=(x-a).g(x)+f(a
 Chứng minh : Gọi g(x) là đa thức thương và R là số dư thì:
 f(x)=(x-a).g(x)+R
 f(a)=(a-a).g(a)+R=R (đpcm)
2. phương pháp hệ số bất định:
Giả sử: f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0
 g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Nếu f(x) = g(x) với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x thì: a3 = b3 ; a2 = b2
 a1 = b1 ; a0 = b0
Chứng minh:
 Giả sử 4 giá trị phân biệt x1; x2; x3; x4 có: f(x1) = g(x1) (1)
f(x2) = g(x2) (2)
f(x3) = g(x3) (3)
f(x4) = g(x4) (4)
Đặt c3 =a3 – b3; c2 =a2 – b2 ; c1 =a1 – b1 ; c0 =a0 – b0
Trừ từng vế của (1) và (2) được:
 c3(x13 – x23) + c2(x12 – x22) + c1(x1 – x2) = 0
 Vì x1- x2 ¹ 0 nên
 c3(x12 + x1x2 + x22) + c1(x1 – x2) + c1= 0 (5)
Tương tự từ (1) và (3) có :
 c3(x12 + x1x2 + x32) + c2(x1 – x3) + c1= 0 (6) 
Trừ theo từng vế của (5) và (6) rồi chia cho x2 – x3 ¹ 0 được:
 c2 + c3(x1 + x2 + x3) = 0 (7)
Tương tự từ (1), (2), (4) có:
 c2 + c3(x1 + x2 + x4) = 0 (8)
Trừ theo từng vế của (7) và (8) được:
 c3 (x3 – x4) = 0c3 =0 vì x3 – x4 ¹ 0
Thay c3 = 0 vào (8) được c2 = 0. Từ đó và (6) được c1 = 0.
Thay vào (1) được a0 = b0 suy ra đpcm.
 II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
 Dạng 1:
 Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,...) khi biết ( n + 1) có giá trị của đa thức:
Bài toán 1: Xác định đa thức bậc 3 biết 
 f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22
 Giải
Gọi đa thức cần tìm là:
 f(x) = ax3 + bx3 + cx +d
Theo bài ra ta có:
 f(0) = 1 d = 1
 f(1) = 0 a + b + c = -1 (1)
 f(2) = 5 4a + 2b + c = 2 (2)
 f(3) = 22 9a + 3b + c = 7 (3)
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:
Giải ra ta được: a = 1; b = 0; c = -2
 Vậy đa thức cần tìm là: f(x)=x2-2x+1
* Chú ý: 
 Để xác định được đa thức bậc n thì cần biết n + 1 giá trị của đa thức, còn nếu chỉ biết n giá trị thì đa thức tìm được có hệ số phụ thuộc một tham số.
* Bài tập áp dụng:
tìm đa thức bậc 4 biết:
 f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47
tìm đa thức bậc 2 biết:
 f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = 6
Dạng 2:
 Xác định đa thức dư khi biết một số phép tính khác
Bài toán 2:
 Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư bằng 4, nếu chia cho x-3 được số dư bằng 14.
 Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3)
Giải:
Cách 1:
 Gọi thương của phép chia f(x) cho x – 1 và cho x – 3 theo theo thứ tự là A(x) và B(x)
Ta có:
 f(x) = (x – 1).A(x) + 4 với mọi x (1)
 f(x) = (x – 3).B(x) + 14 vỡi mọi x (2)
 Gọi thương của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là C(x) và dư là R(x).Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên bậc của nó nhỏ hơn bậc 2 nên R(x) có dạng ax + b
Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với mọi x (3)
Thay x =1 vào (1) và (3) ta được : f(1) =a + b
Thay x =3 vào (2) và (3) ta được : f(3) =14; f(3)= 3a + b
Vậy đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) là 5x – 1
Cách 2:
 f(x) = (x – 1).A(x) + 4
 nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1)
 f(x) = (x – 3).B(x) + 14
 nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2)
Lấy (2) – (1) ta được:
[(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3)
nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – 2
 f(x) = (x – 1)(x – 3).
Ta thấy 5x – 1 có bậc bé hơn bậc số chia vậy số dư cần tìm là 5x – 1.
Bài toán 3:
 Đa thức f(x) khi chia cho x + 1 dư 4 khi chia x2 + 1 dư 2x + 3. Tìm đa thức dư khi chia f(x) cho (x –1).(x2 + 1)
Giải:
Theo định lý Bơ du ta có f(-1)= 4 (1)
Do bậc của đa thức chia(x + 1)(x2 +1) là 3
Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c
 f(x) = (x + 1)(x2 + 1). q(x) +ax2 + bx +c
 = [(x +1). q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a (2)
mà f(x) chia cho x2 + 1 dư 2x + 3 (3)
Từ (1), (2), (3). Ta có b=2 (4); c – a = 3 (5)
 a – b + c =4 (6)
Giải hệ phương trình (4);(5);(6). Ta được đa thức cần tìm:
 x2 + 2x + 
*Bài tập:
 Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư 8. Chia cho (x + 3)(x – 3) thì được thương 3x và còn dư.
Bài toán 4:
 Tìm đa thức dư của phép chia: x7 + x5 +x3 x cho x2 –1
 Giải:
Cách1:
 Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia.
Ta thấy xn – 1 chia hết cho x – 1 với mọi số tự nhiên n nên x2n – 1 chia hết cho x2 – 1; x6 – 1, ... chia hết cho x2 – 1.
Ta có: x7 + x5 + x3 + 1 = x7 – x + x5 – x + x3 – x + 3x + 1
 = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + 1
	 Dư của phép chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 – 1 là 3x + 1
 Cách 2: Xét giá trị riêng
 Gọi thương của phép chia là Q(x) dư là ax + b
Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b với mọi x
Đẳng thức đúng với nên với x = 1 ta được:
 4 = a + b (1) với x = - 1 ta được –2 = - a + b (2)
 Từ (1), (2) a = 3; b = 1
 Vậy dư của phép chia là: 3x + 1
Bài tập:
 Tìm đa thức dư của phép chia: x99 + x55x11 + x +7 cho x2 + 1
Dạng 3: Xác định đa thức khi biết điều kiện của các hệ số 
Bài toán 5:
 Tìm các đa thức f(x) có tất cả các hệ số là số nguyênkhông âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn: f(8) = 2003
Giải:
 Xét đa thức
 f(x) = anxn + an –1xn-1 + ...+ a1x + a0 với a0, a1 ... an-1, an đều là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8.
 Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1.8n-1 + ...+a1.8 + a0 = 2003
 Ở đây a0, a1, ..., an-1, an là các chữ số của 2003 được viết trong hệ ghi số cơ số 8. Thực hiện việc chia 2003 cho 8 được dư a0 = 3 lại lấy thương chia cho 8, liên tiếp như vậy ta được đa thức cần tìm là:
 f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + 3
Bài toán tổng quát:
 Tìm đa thức f(x) sao cho tất cả các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn a và biết f(a) = b. Trong đó: a,b là các số đã cho.
Bài tập:
 Tìm đa thức f(x) các hệ số đều là số nguyên không âm nhỏ hơn 5 và f(5) = 352
Dạng 4:
 Xác định đa thức f(x) thoả mãn 1 hệ thức đối với f(x)
Bài toán 6: Tìm các đa thức f(x) bậc nhỏ nhất hơn 4 thoả mãn hệ thức sau với ít nhất 4 giá trị phân biệt của x.
 3. f(x) – f(1 – x) = x2 + 1 (1)
Giải:
 Giả sử f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + x0
Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có:
 4a3x3 = 0 a0 = 0 2a2x2 = x2 a2 = 
Từ đó có: (4a1 + 1) x = 0 a1= và 2a0 = = 1 a0 =
Vậy f(x) =
Bài tập:
 Tìm tất cả các đa thức P(x) bậc nhỏ hơn 4 và thoả mãn hệ thức sau ít nhất 4 giá trị phân biệt của x: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)
III. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC.
Bài toán 7:
 Cho đa thức bậc 4: f(x) với hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30
Tính: 
Giải:
 Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x g(1) = g(2) = g(3) = 0 do bậc f(x) là bậc 4 nên củag(x) là từ g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – 3 suy ra:
 g(x) =(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) +10x
Ta tính được: 
* Trong bài toán trên có vẻ thiếu tự nhiên ở chỗ đặt đa thức phụ g(x) = f(x) – 10x. Tại sao lại tìm được đa thức phụ g(x) = f(x) – 10x như thế? Để trả lời cho câu hỏi này ta đưa ra thuật toán tìm đa thức phụ.
 Bước 1:
 Đặt g(x) = f(x) + h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x) đồng thời bậc của h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x)
Trong đề bài bậc của h(x) nhỏ hơn 3 nghĩa là:
 g(x) = f(x) + ax2 + bx + c
Bước 2:
 Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0.
Tức là:
Giải hệ phương trình được : a = 0; b = -10; c = 0
 Theo phương pháp hệ số bất định:
 Suy ra: h(x) = - 10x
 Hay: g(x) = f(x) – 10x
Bài toán 10: Cho đa thức f(x) là bậc 3 với hệ số của x3 là một số nguyên, thoả mãn f(1990) = 2000 và f(2000) = 2001.
 Chứng minh rằng f(2001) – f(1998) là hợp số.
Giải:
+ Tìm đa thức phụ.
 Đặt g(x) = f(x) +ax + b. Tìm a,b để g(1999) + g(2000) = 0 tương đương với a, b là nghiệm của hệ:
 Giải hệ ta được : a = b = - 1
 Nên đặt g(x) = f(x) – x – 1
+ Tính giá trị của f(x):
 Giả sử kZ là hệ số của x3 của đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc g(x) bằng 3 và g(x) chưa hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên:
 g(x) +k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0)
 f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0)
Tính được f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số.
Bài toán 11: Cho đa thức f(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27
Tính giá trị của f(-2) + 7.f(6)
Giải:
Tìm đa thức phụ:
 Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx +c. Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) = 0
a, b, c là nghiệm của hệ phương trình
Giải hệ ta được: a= - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – 2
* Tính giá trị f(x):
 Bậc f(x) là bậc 4 nên bậc g(x)là bậc 4 và g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)
 Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112
Bài toán 12: Tìm đa thức bậc 3 biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1
Giải:
Cách 1: Đã giải ở dạng 1
Cách 2: +Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) =f(x) +ax2 +bx + c
 Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = 0 
a, b, c là nghiệm của hệ 
Giải:
 Hệ ta được: a = 5, b = -7, c = -10
 Nên đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10
 Với g(x) = g(1) = g(2) = 0
+ Xác định f(x)
 Do bậc f(x) = 3 nên bậ g(x) = 3 và g(x) chia hết cho x; x – 1; x – 2
 Gọi m là hệ số của x2 của đa thức f(x) thì g(x) = mx(x – 1)(x – 2)
Mặt khác; f(3) = 1m = 
 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = - 
Bài toán 13:
 Tìm đa thức bậc 3 biết rằng khi cho f(x) chia cho x – 1, x – 2,x –3 đều đủ dư 6 và f(-1) =-18.
Giải:
+ Tìm đa thức phụ:
Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) =6
Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = 0
 là nghiệm của hệ 
Giải ra ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – 6
 Với g(1) = g(2) = g(3) + 0
+ Xác định f(x):
 Do bậc f(x) = 3 nên bậc g(x) = 3 và g(x) chia hết cho(x–1);(x–2);(x–3)
 ở đó n là hệ số của x3 trong đa thức f(x)
Mặt khác f(-1)= -18 => n = 1 => f(x) = x3 – 6x2 + 11x
Bài tập: 1. Tìm đa thừc(x) bậc 2 biết f(0) = 19, f(1) = 5; f(2) =1995
 2. Tìm đa thừc(x) bậc 3 bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95