Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12

, ]]
P P
n n j
  
= -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến nên pt (α): 
 1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = 0 hay x + 4y + z – 4 = 0. 
Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song song 
hoặc nằm trên (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A và tạo với d góc lớn 
nhất, nhỏ nhất. 
PP chung: 
Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d. 
Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là 
hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆. 
Ta có góc (d, ∆) = BAH 
và sin(d, ∆) = sinBAH = BH
AB
≥ BK
AB
. Do vậy góc (d, ∆) nhỏ 
nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK. 
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 
2 1 1
 

x-2 y+1 z-1 và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4). 
Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AB và tạo với d một góc lớn nhất. 
Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Trong các mặt 
phẳng đi qua A và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với trục Oy 
góc lớn nhất. 
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 
Gia ́o viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 20/24 
 Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 khi ∆ d và ∆ có vtcp [ , ] 
  
du u n 
Giải: 
 (α) có vectơ pháp tuyến (2;2; ) 

n -1 , d có vectơ (1;1;1)d 

u qua điểm M(-2; 1; 3). 
Ta thấy A(α) mặt khác 

n 0d 

u nên d không song song hoặc nằm trên (α). 
1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất khi ∆1 d 
Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương 1 [ , ]
  
du u n = (-3; 3; 0 ) = -3(1; -1; 0) 
Phương trình tham số của ∆1: 
1
2
2
t
 

 
  
x t
y
z
2) Xét đường thẳng d1 qua A và song song với d 
Phương trình d1: 
1 1 1
 
x-1 y-2 z +2 , lấy điểm B(2; 3; -1)d1. 
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) .Phương trình tham số của BK 
2 2
3 2
1
t
t
 

 
   
x t
y
z
. 
Tọa độ của K ứng với t là nghiệm của phương trình: 2(2 + 2t) + 2(3 + 2t)- (- 1- t) - 7 = 0 
  9t + 4 = 0 hay t =
4
9
 
10 19 5
K( ; ; )
9 9 9

 
∆2 tạo với d một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và K, 
1 1 13
( ; ; )
9 9 9


AK 
∆2 qua A(1; 2; -2), có vectơ chỉ phương 2 9. (1;1;13) 
 
u AK 
Phương trình ∆2 :
1 1 13
 
x-1 y-2 z +2
Giải: 
Đường thẳng d có vectơ (2;1;1)d 

u . 
Xét mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với d∆ nằm trên (α) 
(α) nhận (2;1;1)d 

u làm vectơ pháp tuyến. Phương trình (α): 2x + y + z – 2 = 0. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α), BH có vectơ (2;1;1)d 

u 
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng 
d:
1 1 1
 
x+2 y-1 z -3 . 
1) Viết phương trình đường thẳng ∆1 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc 
lớn nhất. 
2) Viết phương trình đường thẳng ∆2 nằm trên (α), đi qua A và tạo với d một góc 
nhỏ nhất. 
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d:
2 1 1
 
x-1 y-2 z -3 . 
Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một góc nhỏ 
nhất. 
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 
Gia ́o viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 21/24 
Phương trình tham số của BH 
2
2 t
t


  
 
x t
y
z
, 
tọa độ của H ứng với t là nghiệm của phương trình: 4t -2 + t + t – 2 = 0 
 6t – 4 = 0 
2
t
3
  hay H(
4 4 2
; ;
3 3 3

) 
∆ tạo với AB một góc nhỏ nhất khi nó đi qua hai điểm A và H, 
1 4 2
( ; ; )
3 3 3



AH 
∆ qua A(1; 0; 0), có vectơ chỉ phương 3. (1; 4;2)   
 
u AH 
Phương trình ∆ :
1 4 2
 

x-1 y z 
 Bài tập áp dụng. 
Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình 
x + 2y – 2z + 1 = 0. 
1) Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất. 
2) Tìm điểm N trên (α) sao cho NA + NC có giá trị nhỏ nhất. 
3) Tìm điểm S trên (α) sao cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất. 
4) Tìm điểm P trên (α) sao cho 4
  
PA +2PB PC có giá trị nhỏ nhất. 
Bài 2: Cho đường thẳng   :
1 2
x-2 y + 1 z+2
d = = 
-1
 và hai điểm A(3; 1; 1), 
B(-1; 2; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 3: Cho đường thẳng   :
2 2
x-2 y - 1 z-2
d = = 
1
 và hai điểm A(0; 1; 1), 
B(1; 2; 3). Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất. 
Bài 4: Cho đường hai thẳng d1:
2 3
2
4 2
t
t
t
 


  
x
y
z
 d2: 
3 1 2
 
x-1 y-2 z +1
. Trong các mặt cầu tiếp 
xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ 
nhất. 
Bài 5: Cho hai điểm C(1; -2; 2) và đường thẳng d có phương trình 
2 1 2
 
 
x-1 y- 4 z +1
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ C đến (P) là 
lớn nhất. 
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 
Gia ́o viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 22/24 
Bài 6: Cho họ đường thẳng dm: 
1
1 (1
1
 

  
  
x t
y m)t
z mt
, với t  và m là tham số. 
1) Chứng minh họ dm luôn đi qua một điểm cố định và nằm trong một mặt phẳng cố 
định. 
2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ nhất 
3) Tìm m để khoảng cách từ dm và trục Oy lớn nhất. 
4) Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình 
1 2 1
 

x-3 y+2 z -1 . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), vuông góc với 
trục Oy và tạo với d một góc 
 1. Nhỏ nhất 2. Lớn nhất 
Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0 và đường thẳng 
d:
1 2 1
 

x-1 y-2 z -3
. Trong các mặt phẳng đi qua B và vuông góc với (P), viết phương 
trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất 
Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) và ba đường thẳng ∆:
2 1 3
x+1 y z-4
 = = , 
d1:
1
1 1 1
y zx
 = = , d2:
2 3 3
x+3 y+1 z-4
 = = . 
1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A đồng thời song song với hai đường thẳng 
d1, d2. 
2) Trong các đường thẳng đi qua A và nằm trên (P), hãy viết phương trình đường 
thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất. 
Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) và D(-2;-1;-2). 
1) Tìm điểm M sao cho  
   
MA + MB MC MD có giá trị nhỏ nhất. 
2) Tìm điểm N trên mặt phẳng (ABC) sao cho NA2 – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn nhất 
3) Cho (P) là mặt phẳng qua D và song song với (ABC), trong các đường thẳng đi 
qua D trên mp(P). Hãy viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa 
d và trục Oz lớn nhất. 
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d: 
2 1
x-1 y-2 z-3
= =
1
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt d sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn 
nhất. 
Bài 12: Cho hai điểm C(1; 1; -1), D(2; 2; 1) và đường thẳng d: 
2 2 1
x-2 y-2 z-3
= = 
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua C, nằm trong mặt phẳng (P): x + y + z -1 = 0 sao 
cho khoảng cách từ D đến ∆ là nhỏ nhất. 
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 
Gia ́o viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 23/24 
Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α): 2x – y + z + 2 = 0. Viết phương trình mặt 
phẳng (P) qua A, vuông góc với (α) và tạo với Oz một góc lớn nhất. 
Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) và hai đường thẳng có phương trình 
∆1: 
2 1 1
x-1 y+1 z-1
= = , ∆2: 
1 1 1
x-2 y-1 z+3
= = . Trong các đường thẳng đi qua A và cắt ∆1 hãy 
viết phương trình đường thẳng ∆ sao cho khoảng cách giữa ∆ và ∆2 là lớn nhất. 
Bài 15: Trong các mặt cầu đi qua điểm E(1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y 
+ z – 3 = 0. Hãy viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. 
IV. KẾT LUẬN. 
Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy 12NC và Luyện 
thi Đại học. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận 
dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, 
mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo 
nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu. 
 Dạng toán cực trị trong hình học giải tích không gian nói chung rất đa dạng và phong 
phú. Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các 
kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Chuyên đề này chỉ mang 
tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo. Để đạt kết 
quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu 
tham khảo liên quan. 
Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống 
được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo 
mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải. 
Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn 
gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ.. Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học 
sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài 
toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản, phân 
tích tìm ra hướng giải tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu. 
Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song trong khuôn khổ thời gian có hạn 
người viết cũng chỉ ra được các ví dụ, bài toán điển hình. Rất mong sự đóng góp ý kiến 
của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn. 
www.VNMATH.com SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12 
Gia ́o viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 24/24 
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008. 
2. Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008. 
3. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010. 
4. Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002. 
 Đồng Hới, ngày 12 tháng 05 năm 2013 
 Người thực hiện 
 Hoàng Thị Hồng Cầm