Sáng kiến kinh nghiệm - Một Số Phương Phápgiải Toán Cực Trị Đại Số

ch 1: Xét khoảng giá trị của x:
	* Nếu x < 2 thì 
 Khi đó A = 2 - x + 5 - x = 7 - 2x > 3
	* Nếu 2x < 5 thì 
 Khi đó A = x - 2 + 5 - x = 3
	* Nếu 5 x thì 
 Khi đó A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7 > 3
Nhận thấy trong 3 khoảng đang xét trên thì A 
Vậy: A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2
 Cách 2: Ta có: 	A = = 
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 2
c,	B =
* Xét + = 2007
Dấu “=” xảy ra khi 
*Xét + = 2005
Dấu “=” xảy ra khi 
..............................................................................
*Tương tự + = 1
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậygiá trị nhỏ nhất của B = 1 + 3 + 5 + . . . + 2007 =10042 khi 
Như vậy đối với phần c khi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B ta cần kết hợp điều kiện của biến x thoả mãn điều kiện bài toán 
Bài tập áp dụng:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a,	 R= với a < b
b,	Q = 
c,	P = (2x - 1)2 -3 + 2
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a,	A = 5 - b,	B = 
IV. Dạng 4: Tìm cực trị của phân thức:
1) Ví dụ 1: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: M =
 b, Tìm giá trị lớn nhất của phân thức: N = 
Hướng dẫn cách giải :
Khi đưa ra bài tập này các em chưa tìm ra cách giải tôi hướng dẫn các em có nhận xét gì về tử thức của các biểu thức ? (không đổi) Vậy để biểu thức đạt giá trị lớn nhất (giá
trị nhỏ nhất) thì mẫu của biểu thức đó phải ntn ? (đạt giá trị nhỏ nhất ( lớn nhất)) ta có lời giải như sau:
Giải:
a, Ta có : M = = = 
Vì (x - 1)2 nên (x - 1)2 + 3 => 
 => hay M 
 Dấu “=” xảy ra khi x - 1 = 0 => x = 1
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng - khi x = 1
b, Ta có: N = = 
Vì (x - 1)2 nên 2(x - 1)2 + 3 => 
 Dấu “=” xảy ra khi x - 1 = 0 => x = 1
Vậy N đạt giá trị lớn nhất bằng khi x = 1
2) Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 P = với x
Hướng dẫn cách giải :
Tôi gợi ý các em sử dụng phương pháp miền giá trị để giải ta có lời giải như sau:
Giải:
Gọi y là một giá trị tuỳ ý của biểu thức P
Ta có: y = 2x2 + 10x + 3 = 3yx2 + 2yx + y 
(2 - 3y)x2 + 2(5 - y)x + (3 - y) = 0 (**)
 * Nếu 2 - 3y = 0 y = thì x = 
* Nếu 2 - 3y 0 y thì phương trình (**) có nghiệm 
=> 
 	 và y
Kết hợp hai trường hợp ta có:
 y đạt giá trị lớn nhất bằng 7 => P đạt giá trị lớn nhất bằng 7
 y đạt giá trị nhỏ nhất bằng => P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
3) Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 Q = 
Hướng dẫn cách giải : Ta giải tương tự ví dụ 2.
Giải:
Gọi Z là giá trị tuỳ ý của biểu thức Q ta có: 
 Z = 
 Zx2 + Z = 4x - 4 
 Zx2 - 4x + Z + 4 = 0 (1) 
* Nếu Z = 0 thì phương trình (1) có nghiệm x = 1
* Nếu Z thì phương trình (1) có nghiệm khi 
 Tức là: 
 Z đạt giá trị lớn nhất bằng 
 Hay Q đạt giá trị lớn nhất bằng 
 Z đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
 Hay Q đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
Tóm lại: Khi tìm cực trị của biểu thức dạng phân thức ta thay điều kiện để biểu thức này cực trị bằng điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị.
 A max ( A ) min
 B min ( B > 0) B2 max
Bài tập: 
1) Tìm giá trị nhỏ nhất;giá trị lớn nhất bằng của các biểu thức sau: 
 A = Với x 
2)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d) : 2x- y –a2 = 0 và Pa ra bol (P) : y = a x2 ( a là tham số dương) 
a, Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Chứng minh rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung.
b, Gọi xA ; xB là hoành độ của điểm A và B. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 T = 
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT Chu Văn An - Hà Nội – Amsterdam Năm học: 2005 - 2006)
V. Dạng 5: Tìm cực trị của biểu thức có chứa căn thức:
1) Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Giải:
Điều kiện: 1 - x2 x2 -1 x 
Ta có: nên 3 - > 0 A > 0
 Từ => - 
 => 3- 
 => 
 Hay 
Vậy A đạt giá trị lớn nhất bằng ; A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 
2)Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
 B = 
Hướng dẫn cách giải :
- Em có nhận xét gì về biểu thức B ? (B > 0) B đạt giá trị lớn nhất khi nào? 
(Ta có: B > 0 nên B đạt giá trị lớn nhất B2 đạt giá trị lớn nhất) 
khi đó ta có lời giải như sau:
 Giải:
Điều kiện: 
Ta có: B > 0 nên B đạt giá trị lớn nhất B2 đạt giá trị lớn nhất
Mà B2 = ()2 = 
 =3 =3 =3 
Vì nên => B2 
B2 đạt giá trị lớn nhất bằng 6 
=>B đạt giá trị lớn nhất bằng x=
3) Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M= 
Hướng dẫn cách giải:
 Các em đều nhận thấy biểu thức dưới dấu căn có thể khai phương được để đưa về dạng tìm cực trị của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Giải:
 Ta có: M = 
 = = 
áp dụng bất đẳng thức: 
 Dấu “=” xảy ra khi x; y cùng dấu 
Thì M = 
 Dấu “ = ” xảy ra khi: (x - 2007)( 2008 - x ) 0 
Vậy min M = 1 khi 
VI. Dạng 6: Cực trị có điều kiện:
1) Ví dụ 1: Cho hai số dương a, b có tổng bằng 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 
( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 1998 – 1999 tỉnh Hải Dương )
Hướng dẫn cách giải: 
- Cho hai số dương a, b có tổng bằng 2 ta suy ra điều gì ? => a + b = 2 => 
- Hai số dương có tổng không đổi (a + b = 2) thì tích của hai số lớn nhất khi nào?
Từ những gợi ý trên ta có lời giải như sau:
Giải:
Vì hai số dương a, b có tổng bằng 2 => a + b = 2 => 
Ta có: M = = 
===
= = 1 + 
Theo bài ra a > 0; b > 0 => a.b > 0
 Do đó M có giá trị nhỏ nhất khi có giá trị nhỏ nhất hay a.b có giá trị lớn nhất . 
 (Theo hệ quả của bất đẳng thức Côsi : 
Nếu x > 0, y > 0 và x + y = k2 (không đổi) thì x.y lớn nhất x = y ) 
 Ta có a + b = 2 nên a.b có giá trị lớn nhất khi: a = b =1 
 => M 1 + khi: a = b =1 
Vậy Mđạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi a = b = 10
Cách 2: Ta có: M = = 
Vì hai số dương a, b có tổng bằng 2 => a + b = 2 => 
 => M ===
= = 1 + 
Mặt khác: (a + b)2 4ab với a, b > 0 suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi a = b =1
Từ đó 
 Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9 khi: a = b =1 
Ngoài cách làm trên các em còn đưa ra một số cách giải khác ví dụ:
Vì a + b = 2 => dặt a = 1 + t ; b = 1 - t vào M = 
biến đổi rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M với biến mới t 
2)Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = + với điều kiện: 0 < x < 1
Đối với bài tập này học sinh chưa có cách giải tôi từng bước hướng dẫn các em cách biến đổi để áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có : 
Giải:
 Ta có: P = + = + 
 P = + = + + 3
Do 0 0 và > 0 
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có : 
Khi đó: + =
 => P 3 + => P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 + 
 Khi: = 2x2 = (1 - x)2 x2 + 2x - 1 = 0 
Vì x > 0 nên loại 
Kết luận: với thì P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 + 
Bài tập áp dụng: 
1) Cho biểu thức A = x3+ y3 + z3 + x2(y + z) + y2(z + x) + z2(x + y)
Và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
2) Tìm giá trị của x, y, z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 
 D = x2 + y2 + z2 biết x + y + z = 2008.
3) Cho a > 0; b > 0 và a + b = 1000.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (a, b) = 
VII. bài toán tổng hợp vận dụng toán cực trị :
Ví dụ : Giải phương trình + = x2 - 6x +11 
Hướng dẫn cách giải: Biến đổi vế phải có bình phương của một tổng? Và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức ở vế trái của phương trình. Rồi so sánh 2 vế của phương trình đó Ta có lời giải như sau:
Giải:
Điều kiện để tồn tại căn thức là: 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho biểu thức ở vế trái của phương trình ta có
 ( + )2 ( + )2 
Hay VT (1)
Ta có VP = x2 - 6x +11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 vì (x - 3)2 
VP (2)
Từ (1) và(2) suy ra dấu bằng xảy ra khi: VT = VP = 2
 x = 3(t/m)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 3.
Như vậy trong trường hợp trên ta sử dụng tính đối nghịch ở hai vế của phương trình để giải. 
Bài tập áp dụng:
. Cho a,b,c là độ dài của 3 cạnh của một tam giác hãy xác định dạng của tam giác đó sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài học kinh nghiệm :
Qua quá trình giảng dạy: “một số phương phápgiải toán cực trị đại số”
Nhìn chung các em đều có kĩ năng vận dụng tương đối thành thạo các kiến thức các bất đẳng thức đã học vào giải quyết một số bài tập tương tự và nâng cao cũng như các ứng dụng thực tế đã tạo nên hứng thú học tập cho học sinh.
	Đối với mỗi dạng bài tập giáo viên cần phải có lời giải mẫu cùng với sự phân tích để các em hiểu và nắm bắt được phương pháp trình bài. Từ một bài tập cụ thể giáo viên cần phải khai thác các cách giải cũng như mở rộng kiến thức (khái quát hoá)
	Khi xây dựng đề tài giáo viên phải chọn lọc và sắp xếp phân loại các bài tập theo trình tự lôgíc từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tạp, Giáo viên cần khái quát cách giải từng dạng bài tập đó vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học cũng như các hình thức tổ chức dạy học phù hợp sao cho hiệu quả nhất .
Kết quả như sau:
Lớp
sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
9A
46
7
15,2%
13
28,2%
21
45,7%
5
10,9%
9B
47
8
17%
11
23,4%
22
46,8%
6
12,8%
Phần IIi: Kết luận và kiến nghị
 1)Kết luận: 
Sau một thời gian nghiên cứu kết hợp với kinh nghiệm giảng dạy cũng như trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cùng với sự giúp đỡ của bạn bè đồng nghiệp tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm : 
“một số phương phápgiải toán cực trị đại số”
Tôi thấy rằng đa số các em đều tự giác, tích cực trong học tập vận dụng tương đối linh hoạt các bất đẳng thức; các hằng đẳng thức vào giải quyết các bài tập tương tự và nâng cao cũng như các ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống.
Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi thiếu sót kính mong được sự góp ý xây dựng của các thầy, cô và bạn bè đồng nghiệp để đề tài ngày càng phong phú và đầy đủ hơn tạo được hứng thú học tập của học sinh phát huy được tính tích cực chủ động của các em trong quá trình học tập. Từ đó giúp các em thêm yêu thích môn Toán.
2) Kiến nghị:
Đối với nhà trường : 
Cần tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa để giúp giáp viên giảng dạy tốt hơn. 
Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt công tác tại trường .Đối với nghành :
Mở những buổi hội thảo chuyên đề về bộ môn Toán để nâng cao trình độ chuyên môn và học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!