Số học qua các định lý và bài toán - Trần Nam Dũng

2 + 1 = 3xy thì tồn tại số tự nhiên n 
sao cho x = xn, y = xn+1. 
5. (CRUX, Problem 1420) Nếu a, b, c là các số nguyên dương sao cho 
 0 < a2 + b2 – abc ≤ c 
Chứng minh rằng a2 + b2 – abc là số chính phương. 
6. (IMO 88) Nếu a, b, q = (a2+b2)/(ab+1) là các số nguyên dương thì q là số chính 
phương. 
7. (Việt Nam 2012) Xét các số tự nhiên lẻ a, b mà a là ước số của b2 + 2 và b là ước số 
của a2 + 2. Chứng minh rằng a và b là các số hạng của dãy số tự nhiên (vn) xác định bởi 
v1 = v2 = 1 và vn = 4vn-1 – vn-2 với mọi n ≥ 2. 
11. Số chính phương mod p 
Giả sử p là một số nguyên tố lẻ. Khi đó số nguyên a được gọi là số chính phương modulo p nếu (a, m) = 1 
và đồng dư x2 ≡ a (mod p) có nghiệm. 
1. Chứng minh các mệnh đề sau 
a) Giả sử p là một số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết cho p. Khi đó đồng dư 
x
2
 ≡ a (mod p) hoặc không có nghiệm, hoặc có đúng hai nghiệm không đồng dư modulo 
p. 
b) Nếu p là một số nguyên tố lẻ thì trong các số 1, 2, …, p-1 có đúng 
2
1−p
 số chính 
phương modulo p. 
Giả sử p là một số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết cho p. Kí hiệu Legendre 





p
a
 được định 
nghĩa như sau: 1=





p
a
 nếu a là số chính phương modulo p và 1−=





p
a
 trong trường hợp ngược lại. 
2. Giả sử p là một số nguyên tố lẻ, a, b là các số nguyên không chia hết cho p. Chứng 
minh các tính chất sau 
 a) (Tiêu chuNn Euler) 2
1
)1(
−
−=





p
p
a
 b) Nếu a ≡ b thì 





=





p
b
p
a
 c) 





=











p
ab
p
b
p
a
 d) .1
2
=





p
a
3. (Bổ đề Gauss) Giả sử p là một số nguyên tố lẻ, a là số nguyên không chia hết cho p. 
Nếu trong các thặng dư dương bé nhất của các số nguyên a, 2a,…,(p-1)a/2 có s thặng dư 
lớn hơn p/2 thì s
p
a )1(−=





. 
Hướng dẫn: Trong các thặng dư dương bé nhất nói trên, giả sử u1, u2,…, us là các thặng dư lớn hơn p/2, 
v1, v2,…, vt là các thặng dư bé hơn p/2. Hãy chứng tỏ rằng 
 {p-u1,p-u2,…,p-us,v1,v2,…,vt} = {1, 2, …, (p-1)/2} 
4. Giả sử p là số nguyên tố lẻ, a là số lẻ không chia hết cho p. Chứng minh rằng 
),()1( paT
p
a
−=





, trong đó ∑
−
=






=
2
1
1
),(
p
j p
japaT 
5. (Luật thuận nghịch bình phương) Giả sử p và q là những số nguyên tố lẻ khác nhau. 
Khi đó ta có 
2
1
.
2
1
)1(
−−
−=











qp
p
q
q
p
6. Chứng minh rằng 2 chính phương modulo p khi và chỉ khi p ≡ ± 1 (mod 8). 
7**. (Euler) Chứng minh rằng phương trình 4xyz – x – y – t2 = 0 không có nghiệm 
nguyên dương. 
12. Bài tập tổng hợp 1 
1. (Đại học Vinh 2009) Giả sử m; n là hai số nguyên dương thoả mãn n/d là số lẻ với d = 
(m; n): Xác định (am + 1, an - 1) với a là số nguyên dương lớn hơn 1. 
2. (Đại học sư phạm HN 2009) Cho các số nguyên dương a; b; c; d thỏa mãn ac + bd chia 
hết cho a2 + b2. Chứng minh rằng (c2 + d2, a2+ b2) > 1. 
3. Gọi S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n. Chứng minh rằng ta có công thức 
 





+


+


+



−= ...
100010010
9)( nnnnnS 
4. (PTNK 2008) Với mỗi số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng các chữ số của n. 
a) Chứng minh rằng các số n = 999 và n = 2999 không thể biểu diễn được dưới 
dạng a + b với S(a) = S(b). 
b) Chứng minh rằng mọi số n, 999 < n < 2999 đều biểu diễn được dưới dạng a + b 
với S(a) = S(b). 
5. (PTNK 2009) a) Chứng minh tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009.n – 49 là số 
chính phương. 
b) Chứng minh không tồn tại số nguyên m sao cho 2009.m – 147 là số chính phương. 
6. Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên sao cho với mọi n nguyên dương ta có f(n) 
là ước của 2n – 1. 
Hướng dẫn: Nếu f không phải là đa thức hằng thì tồn tại số nguyên dương n sao cho |f(n)| > 1. Nếu p là 
ước nguyên tố của f(n) thì p | f(n+p). 
7. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho 
a
b
b
a 11 +
+
+
 là số nguyên. Chứng minh rằng 
.),( baba +≤ 
8. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số nguyên và 3=++
a
c
c
b
b
a
 thì abc là lập phương 
của một số nguyên. 
Hướng dẫn: Hãy chứng minh với mọi p nguyên tố thì vp(abc) chia hết cho 3. 
9. Các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn điều kiện 
a2 + b2 + ab = c2 + d2 + cd. 
Chứng minh rằng số a + b + c + d là hợp số. 
10. (Hưng Yên 2012) Cho p là số nguyên tố, a là số tự nhiên; pα là ước đúng của số 
nguyên dương a nếu pα chia hết a và pα+1 không chia hết a, khi đó ta viết pα || a. 
Gọi a, n là các số nguyên dương, p là số nguyên tố lẻ. Giả sử pα || a-1 và pβ || n, trong đó 
α ≥ 1; β ≥ 0. Chứng minh rằng pα+β || an-1. 
Chú ý: Kết quả bài toán này tương đương với dạng 1 của Bổ đề nâng (Lifting The Exponent Lemma – 
LTE) sau đây: 
Gọi vp(n) là số mũ của p trong khai triển ra thừa số nguyên tố của n. Cho p là số nguyên tố lẻ, x, y là các 
số nguyên sao cho x, y không chia hết cho p nhưng x – y chia hết cho p, n là số nguyên dương. Khi đó 
 vp(xn – yn) = vp(x – y) + vp(n). 
Phương pháp chứng minh là sử dụng quy nạp toán học theo vp(n). 
Ta có dạng 2 của LTE là: Cho p là số nguyên tố lẻ, x, y là các số nguyên sao cho x, y không chia hết cho 
p nhưng x + y chia hết cho p, n là số nguyên dương lẻ. Khi đó 
 vp(xn + yn) = vp(x + y) + vp(n). 
11. Cho p > 3 là số nguyên tố. Giả sử a, b là các số nguyên sao cho p | a + b và p2 | a3 + 
b3. Hãy chứng minh rằng hoặc p2 | a + b, hoặc p3 | a3 + b3. 
12. (Ninh Bình 2009) Cho hai số nguyên dương p; q lớn hơn 1; nguyên tố cùng nhau. 
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k sao cho (pq – 1)nk + 1 là hợp số với mọi số nguyên 
dương n. 
Hướng dẫn: Sử dụng định lý Trung hoa về số dư. 
13**. (Đại học KHTN 2009) Tìm tất cả các bộ bốn số tự nhiên a, b,c, d đôi một phân 
biệt thỏa mãn 
 a2 – b2 = b2 – c2 = c2 – d2. 
Hướng dẫn: Dùng phương pháp xuống thang để chứng minh không tồn tại một bộ số như vậy. Tham khảo 
lời giải chi tiết ở [3]. 
13. Bài tập tổng hợp 2 
1. (Việt Nam 2003, bảng B) Hỏi có tồn tại hay không các số nguyên x, y, u, v, t thỏa mãn 
điều kiện sau 
 x
2
 + y2 = (x+1)2 + u2 = (x+2)2 + v2 = (x+3)2 + t2. 
2. (Định lý Beatty) Chứng minh rằng nếu α, β là các số vô tỷ dương sao cho 111 =+ βα 
thì các dãy số 
 ([nα]) = ([α], [2α], [3α], …) 
 ([nβ]) = ([β], [2β], [3β], …) 
lập thành một phân hoạch của tập hợp các số tự nhiên. Nói cách khác mỗi một số nguyên 
dương xuất hiện trong hợp của hai dãy số trên đúng một lần và hai dãy số không có số 
hạng chung. 
4. Cho n ≥ 2 là số nguyên dương. Chứng minh rằng 
22 2
2 1
n n
k k n
n n
k k
= = +
   
=   
   
∑ ∑ 
trong đó [ x ] ký hiệu số nguyên lớn nhất không vượt quá x. 
4. (Rio Plate 2002) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 
92
2
+
+
ab
bba
là một số nguyên. 
5. (IMO 2003) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho số 
12 32
2
+− bab
a
là số nguyên. 
6. (IMO 2007) Cho a, b là các số nguyên dương sao cho 4ab – 1 chia hết (4a2-1)2. Chứng 
minh rằng a = b. 
7. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại số nguyên m sao cho 2n – 1 là ước 
của m2 +9. 
8. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên lẻ x1, x2, …, xn thỏa 
mãn điều kiện x12 + x22 + … + xn2 = n4. 
Hướng dẫn: Trước hết hãy tìm điều kiện cần bằng cách xét theo mô-đun 8. Sau đó tìm điều kiện đủ bằng 
cách xây dựng nghiệm. 
9. Biết rằng tổng các chữ số của số nguyên dương N bằng 100, còn tổng các chữ số của 
5N bằng 50. Chứng minh rằng N chẵn. 
Hướng dẫn: Đặt M = 5N thì S(M) = 50 và S(2M) = S(10N) = S(N) = 100. Suy ra phép cộng M + M = 2M 
là phép cộng không nhớ. 
10*. (VMO 2004) Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu S(n) là tổng tất cả các chữ số 
trong biểu diễn thập phân của n. 
Xét các số nguyên dương m là bội của 2003. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của S(m). 
Hướng dẫn: Hãy chứng minh rằng không tồn tại n sao cho 10n + 1 chia hết cho 2003 và tồn tại n sao cho 
10n + 2 chia hết cho 2003. Có thể sử dụng bậc của 10 theo modulo 2003. 
11*. Cho p là số nguyên tố và a, b, c là các số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại 
các số nguyên x, y, z không đồng thời chia hết cho p sao cho ax2 + by2 + cz2 chia hết cho 
p. 
Hướng dẫn: Hãy chứng minh cho trường hợp a = b = c = 1. Một hướng tiếp cận khác là chứng minh phản 
chứng và sử dụng tính chất nếu ax2 + by2 + cz2 không chia hết cho p thì (ax2 + by2 + cz2)p-1 ≡ 1 (mod p). 
12*. Gọi pn là số nguyên tố thứ n. Đặt ∑
=
=
n
k k
n p
S
1
1
. Chứng minh rằng lim Sn = ∞. 
Hướng dẫn: Hãy chú ý rằng 
nnn ppp
1
...
3
1
2
11...)111...)...(
9
1
3
11...)(
4
1
2
11( 2 ++++>+++++++++ 
13*. Với số nguyên dương n > 1, gọn A(n) là mệnh đề: “Từ 2n-1 số nguyên bất kỳ, luôn 
chọn được n số có tổng chia hết cho n”. 
a) Chứng minh A(3) đúng; 
b) Chứng minh A(5) đúng; 
c) Chứng minh rằng nếu A(m) đúng và A(n) đúng thì A(mn) cũng đúng. 
d)* Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố thì A(p) đúng 
Hướng dẫn: Chứng minh phản chứng và để ý rằng nếu (a1 + a2 + … + ap) không chia hết cho p thì (a1 + 
a2 + … + ap)p-1 ≡ 1 (mod p) 
e) (Định lý Erdos-Ginzburg-Ziv) Chứng minh A(n) đúng với mọi n > 1. 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Đoàn Quỳnh, Trần Nam Dũng, Hà Huy Khoái, Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Trọng 
Tuấn, Tài liệu chuyên toán Giải tích 12, NXB GD Việt Nam, 2012. 
[2]. Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận, Một số vấn 
đề số học chọn lọc, NXB GD, 2008. 
[3]. Trần Nam Dũng (chủ biên), Lời giải và bình luận đề thi các trường và các tỉnh năm 
học 2009-2010, Ebook, 2010. 
[4]. Tủ sách Toán học và Tuổi trẻ, Các bài thi Olympic Toán Trung học phổ thông Việt 
Nam (1990-2006), NXB GD 2007. 
[5]. Victor Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Ebook. 
[6]. D.O. Shklyarsky, N.N. Chentsov, I.M.Iaglom, Selected Problems and Theorems in 
Elementary Mathematics, Mir Publishers Moscow 1979. 
[7] Amir Hossein Parvardi, Lifting The Exponent Lemma, ArtofProblemSolving.com