Tài liệu Bất đẳng thức Cauchy

 khi và chỉ khi
x = y = z =
3
4
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Có thể thấy ngay rằng dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z =
3
4
.
2.6 Ví dụ 6
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Có thể thấy ngay rằng dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z =
3
4
.
2.6 Ví dụ 6
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) ≤ abc. (6)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Có thể thấy ngay rằng dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z =
3
4
.
2.6 Ví dụ 6
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) ≤ abc. (6)
Lời giải
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Có thể thấy ngay rằng dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z =
3
4
.
2.6 Ví dụ 6
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh rằng
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) ≤ abc. (6)
Lời giải
Nếu vế trái của (6) là một thừa số không d−ơng thì bất đẳng
thức hiển nhiên đúng. Hơn nữa, cũng không thể xảy ra
tr−ờng hợp hai trong ba thừa số ở vế trái của (6) cùng âm.
Thật vậy, giả sử rằng
{
a+ b− c < 0
b+ c− a < 0 thì ta có
{
b < c− a
b < a− c.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ đây suy ra b < 0 nh−ng nh− vậy là trái với giả thiết.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ đây suy ra b < 0 nh−ng nh− vậy là trái với giả thiết.
Bây giờ xét tr−ờng hợp cả ba thừa số của vế trái đều d−ơng
và đặt 
x = a+ b− c
y = b+ c− a
z = c+ a− b.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ đây suy ra b < 0 nh−ng nh− vậy là trái với giả thiết.
Bây giờ xét tr−ờng hợp cả ba thừa số của vế trái đều d−ơng
và đặt 
x = a+ b− c
y = b+ c− a
z = c+ a− b.
áp dụng bất đẳng thức (2) cho 3 số d−ơng x, y, z, ta có:
8(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) ≤
[(a+b−c)+(b+c−a)]ã[(b+c−a)+(c+a−b)]ã[(c+a−b)+(a+b−c)]
= 8abc.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2.7 Ví dụ 7
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2.7 Ví dụ 7
Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
0 ≤ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
. (6)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2.7 Ví dụ 7
Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
0 ≤ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
. (6)
Lời giải
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2.7 Ví dụ 7
Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
0 ≤ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
. (6)
Lời giải
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
ab+ bc+ ca ≥ 3 3
√
a2b2c2 (7.1)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2.7 Ví dụ 7
Cho a, b, c ≥ 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
0 ≤ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
. (6)
Lời giải
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có
ab+ bc+ ca ≥ 3 3
√
a2b2c2 (7.1)
Mặt khác với giả thiết a, b, c ≥ 0 và a+ b+ c = 1 thì ta có
0 ≤ abc < 1 và do đó ta suy ra
3 3
√
a2b2c2 ≥ 3abc (7.2)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (??) và (??) ta suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≥ abc ≥ 0 (7.3)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (??) và (??) ta suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≥ abc ≥ 0 (7.3)
Dấu "=" ở (??) xảy ra khi và chỉ khi ở (??) và (??) đều xảy
ra dấu "=". Nh− vậy 
ab = bc = ca
abc = 0
a+ b+ c = 1.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi có hai số bằng 0 và một số
bằng 1.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (??) và (??) ta suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≥ abc ≥ 0 (7.3)
Dấu "=" ở (??) xảy ra khi và chỉ khi ở (??) và (??) đều xảy
ra dấu "=". Nh− vậy 
ab = bc = ca
abc = 0
a+ b+ c = 1.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi có hai số bằng 0 và một số
bằng 1.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Theo bất đẳng thức (6) ở ví dụ 6 thì
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) ≤ abc (7.4)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Theo bất đẳng thức (6) ở ví dụ 6 thì
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) ≤ abc (7.4)
Do a+ b+ c = 1 nên
(7.4)⇐⇒ (1− 2c)(1− 2a)(1− 2b) ≤ abc
⇐⇒ 1− 2(a+ b+ c) + 4(ab+ bc+ ca)− 8abc ≤ abc
⇐⇒ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 1
4
(1 + abc). (7.5)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Theo bất đẳng thức (6) ở ví dụ 6 thì
(a+ b− c)(b+ c− a)(c+ a− b) ≤ abc (7.4)
Do a+ b+ c = 1 nên
(7.4)⇐⇒ (1− 2c)(1− 2a)(1− 2b) ≤ abc
⇐⇒ 1− 2(a+ b+ c) + 4(ab+ bc+ ca)− 8abc ≤ abc
⇐⇒ ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 1
4
(1 + abc). (7.5)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có
1 = a+ b+ c ≥ 3 3
√
abc =⇒ abc ≤ 1
27
Do đó
1 + abc ≤ 1 + 1
27
=
28
27
(7.6)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
(7.7)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
(7.7)
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
(7.7)
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
2.8 Ví dụ 8
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
(7.7)
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
2.8 Ví dụ 8
Cho a, b, x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh rằng(
a+
b
x
)4
+
(
a+
b
y
)4
+
(
a+
b
z
)4
≥ 3(a+ 3b)4 (8)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Từ (7.5) và (7.6) suy ra
ab+ bc+ ca− 2abc ≤ 7
27
(7.7)
Dấu "=" trong (7.7) xảy ra khi và chỉ khi (7.4) và (7.6)
đều xảy ra dấu "=", tức là a = b = c.
2.8 Ví dụ 8
Cho a, b, x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Chứng minh rằng(
a+
b
x
)4
+
(
a+
b
y
)4
+
(
a+
b
z
)4
≥ 3(a+ 3b)4 (8)
Lời giải
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
áp dụng bất đẳng thức (3) ở (ví dụ 3), ta có(
a+
b
x
)4
+
(
a+
b
y
)4
+
(
a+
b
z
)4
≥(
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)[
3a+ b
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)]
(8.1)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
áp dụng bất đẳng thức (3) ở (ví dụ 3), ta có(
a+
b
x
)4
+
(
a+
b
y
)4
+
(
a+
b
z
)4
≥(
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)[
3a+ b
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)]
(8.1)
Ta có
1
x
+
1
y
+
1
z
≥ 9
x+ y + z
nên [
3a+ b
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)]
≥ 3(a+ 3b). (8.2)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Ngoài ra ta còn có(
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
= a3 + ab2
(
1
xy
+
1
yz
+
1
zx
)
+
b3
xyz
+ a2b
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Ngoài ra ta còn có(
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
= a3 + ab2
(
1
xy
+
1
yz
+
1
zx
)
+
b3
xyz
+ a2b
(
1
x
+
1
y
+
1
z
)
Bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
3
√
xyz ≤ x+ y + z
3
=⇒ 1
xyz
≥ 27
và
1
xy
+
1
yz
+
1
zx
=
x+ y + z
xyz
=
1
xyz
≥ 27.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Vậy (
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
≥ a3 + 9a2b+ 27ab2 + 27b3
= (a+ 3b)3. (8.3)
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Vậy (
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
≥ a3 + 9a2b+ 27ab2 + 27b3
= (a+ 3b)3. (8.3)
Từ (8.1), (8.2) và (8.3) suy ra điều phải chứng minh.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Vậy (
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
≥ a3 + 9a2b+ 27ab2 + 27b3
= (a+ 3b)3. (8.3)
Từ (8.1), (8.2) và (8.3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
3
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Vậy (
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
≥ a3 + 9a2b+ 27ab2 + 27b3
= (a+ 3b)3. (8.3)
Từ (8.1), (8.2) và (8.3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
3
.
3 Bài tập áp dụng
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Vậy (
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
≥ a3 + 9a2b+ 27ab2 + 27b3
= (a+ 3b)3. (8.3)
Từ (8.1), (8.2) và (8.3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
3
.
3 Bài tập áp dụng
1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
≥ a+ b+ c
2
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Vậy (
a+
b
x
)(
a+
b
y
)(
a+
b
z
)
≥ a3 + 9a2b+ 27ab2 + 27b3
= (a+ 3b)3. (8.3)
Từ (8.1), (8.2) và (8.3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =
1
3
.
3 Bài tập áp dụng
1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
≥ a+ b+ c
2
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
2. Cho a, b, c > và abc = 1. Chứng minh rằng
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
≥ 3
2
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
2. Cho a, b, c > và abc = 1. Chứng minh rằng
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
≥ 3
2
.
3. Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
a
2− a +
b
2− b +
c
2− c ≥
3
5
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
2. Cho a, b, c > và abc = 1. Chứng minh rằng
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
≥ 3
2
.
3. Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
a
2− a +
b
2− b +
c
2− c ≥
3
5
.
4. Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
a
1 + a
+
b
1 + b
+
c
1 + c
≤ 3
4
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
2. Cho a, b, c > và abc = 1. Chứng minh rằng
a2
b+ c
+
b2
c+ a
+
c2
a+ b
≥ 3
2
.
3. Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
a
2− a +
b
2− b +
c
2− c ≥
3
5
.
4. Cho a, b, c > 0 và a+ b+ c = 1. Chứng minh rằng
a
1 + a
+
b
1 + b
+
c
1 + c
≤ 3
4
.
5. Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC và p là nửa chu
vi. Chứng minh rằng
1
p− a +
1
p− b +
1
p− c ≥ 2
(
1
a
+
1
b
+
1
c
.
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m