Tài liệu ôn thi vào Lớp 10 Môn Toán - Phan Trọng Dần

động trên cungBC lớn thì I di chuyển trên đường nào ?
HD: a) dựa vào góc BAC.
 b)DI//AB=>góc DIA=BAC mà góc BAC=DOC=> góc DIC=DOC
 c), vận dụng liên hệ giữa bán kính và day cung.
 d) * cần c/m B thuộc đường tròn ở câu (b)
 =>
 e)* Dựa vào B, C cố định=> OD cố định và I luôn nhình OD dưới mộ góc vuông.
=> I chạy trên cung tròn OC của đường tròn ở câu (b)
Bài15:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O). D,E là điểm chính giữa của cung AB, AC. DE cắt AB và AC tại H,K. Gọi E là giao điểm của BE và CD.
a) Chứng minh rằng: tam giác AHK cân
b) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp
c) Chứng minh rằng IK//AB
HD: a)c/m , sử dụng góc có đỉnh bên trong đường tròn.
 b)Dựa vào góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau.
Bài 16:Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính BD(AC cắt BO). Kéo dài AB và DC cắt nhau ở E;CB và DA cắt nhau tại F.
Chứng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đường vuông góc là G)
Chứng minh BCEG , ABGF, ACEF nội tiếp
Chứng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG 
d)* Chứng minh B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACG.
e)Cho góc ABC bằng 1350, hãy tính độ dài cung theo BD.
HD: d)c/m B là giao điểm của hai đường phân giác của tam giác ACG.
Bài 17: Cho (O) và (P) tiếp xúc ngoài tại A . Đường thẳng OP cắt (O) , (P) lần lượt tại B,C .Tiếp tuyến chung MN (M(O), N(P)) cắt tiếp tuyến chung tại A ở I .Chứng minh: a) I thuộc đường tròn đường kính OP 
MN2 = 4. OA.PN
BM vuông góc với CN
AM cắt (P) tại E và AN cắt (O) tại F .chứng minh : BC2 = ME2 + NF2
HD: b) Vận dụng t/c hai tiếp tuyến cắt nhau và tam giác OIP vuông tại I với đường cao IA
 c)c/m: BM//OI; CN//PI
 d)Gọi BM vuông góc với CN tại K. c/m: BKNF và CKME là hình chữ nhật.
Bài 18: Cho M thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính AB .Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By .Tiếp tuyến tại M cắt Ax , By lần lượt ở C ,D .Các đường thẳng AD, BC cắt nhau ở N .Chứng minh : 
a) CD - AC = BD 
b) Tam giác CDO vuông
c) MN // AC 
d) CD.MN = CM.DB 
e) Xác định vị trí của M để Diện tích đường tròn đường kính CD nhỏ nhất
g) MN cắt AB tại H .Chứng minh : MN = NH
HD: a) t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau.
 c)Đ/l Talet: Ax//By=> mà DB=MD, AC=MC
 d)Có MN//DB(Dùng đ/l Talet)
 e)Dựa vào (đường xiên và đường vuông góc)
 g)Có: 
Bài 19: Cho rABC vuông cân tại B. Tia Ax bất kỳ nằm trong góc BAC cắt BC tại D. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với Ax tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh: Tứ giác ABEC nội tiêp.
Chứng minh: EB là tia phân giác góc DEF
Tính góc AFD?
* Gọi M là trung điểm của AE. Chứng minh rằng khì tia Ax thay đổi thì điểm M chạy trên cung tròn cố định.
HD: (b,c) Dùng t/c góc nội tiếp, c/m các góc bằng 450.
 d)Sử dụng quỹ tích: dựa vào cái cố định AC. Khi Ax thay đổi nhưng E luôn nhìn AC dưới một góc vuông. Hay E nằm trên cung tròn BC của đường tròn đường kính AC.
Do đó: M là trung điểm của AE thì M chạy trên cung tròn (nằm trong góc BAC) của đường tròn đường kính AO (O là trung điểm của AC)
Bài 20:Cho tam giác vuông MNP ( = 900), Đường cao MH (H trên cạnh NP). Đường tròn đường kính MH cắt cạnh MN tại A và cắt cạnh MP tại B.
a) Chứng minh AB là đường kính của đường tròn đường kính MH
b) Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp.
c) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I. Chứng minh IN = IP
HD: c)Tim các cặp góc nội tiếp bằng nhau và các cặp góc phụ nhau để c/m: rIMP và rIMN cân tại I=> IP=IN= IM
Bài 21: Cho (O;R) và dây ABAB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP2=CB.CA
Bài 22:Cho đường tròn tâm (O;R), hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy một điểm M( khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
tứ giác OMNP nội tiếp được.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 23: Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua B kẻ một tia vương góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:
 Tứ giác BHCA nội tiếp 
KC. KA=KH.KB .
Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
Bài 24: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Các đường thẳngCD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được.
Chứng minh AD.AB = AG.AE
AC//FG.
Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
HD: Xét các đường cao của tam giác DBC (DE, CA và BF)
Bài 25: Cho đường trũn (O), một đường kớnh AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3AO . Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I. Gọi C là điểm tựy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C khụng trựng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. 
a) Chứng minh tứ giỏc IECB nội tiếp được trong đường trũn. 
b) Chứng minh ΔAME đồng dạng với ΔACM và AM2 = AE.AC. 
c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2. 
HD: c) Từ câu b có AE.AC=AM2, cần c/m AI.IB=IM2=> điều cần cm.
Bài 26 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC), đường cao AH. Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường trũn đường kớnh BH cắt AB tại E và nửa đường trũn đường kớnh CH cắt AC tại F. Chứng minh rằng : 
a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật. Từ đó suy ra AEHF nội tiếp.
b) EF là tiếp tuyến chung của hai đt đường kớnh BH và CH. 
c) Tứ giỏc BCFE nội tiếp. 
Bài 27: Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B là trung điểm của cung nhỏ CD. Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H. 
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp. 
b) Chứng minh : HK // CD. 
 c) Gọi I là giao điểm của MB và CD. Chứng minh: IC.MD=ID.MC
HD: c/m MI là tia phân giác của góc CMD của tam giác MCD. ()
 Theo t/c đường phân giác của tam giác, ta có: 
Bài 28 : Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R, đường thẳng d khụng qua O và cắt đường trũn tại hai điểm A, B. Từ một điểm C trờn d (C nằm ngoài đường trũn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường trũn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. 
a) Chứng minh 5 điểm C, O, H, M, N cựng nằm trờn một đường trũn. 
b) Chứng minh KN.KC = KH.KO. 
c) Đoạn thẳng CO cắt đường trũn (O) tại I (I nằm giữa C và O), chứng minh I cỏch đều CM, CN và MN. 
HD: a) c/m các điểm đó nhìn OC dưới một góc vuông.
 b )c/m Tam giác KNO đồng dạng với tam giác KHC.
 c) Gọi P, Q, S lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh CM, MN, NC.
	Sau đó c/m các tam giác vuông bằng nhau:
	+) rIPC=rISC (c.h-g.n)=>IP=IS. (1)
	+) rISN=rIQN (c.h-g.n)=> IS=IQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: IP=IS=IQ
	=> I cách đều CM,, CN và MN (I là tâm đường tròn nội tiếp rCMN)
 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GểC NHỌN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago
	 vuụng tại A 
2.Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng
	1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC
	2) AB.AC = AH.BC
	3) AH2 = BH.HC
	4) 
	Kết quả:
	-Với tam giỏc đều cạnh là a, ta cú: + đường cao:
	 + Diện tích: 
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a là: R=
- Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là: 
- Hình vuông cạnh a, có độ dài đường chéo: 
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là: 
- Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a là: 
Từ các kết quả trên co thể tính ra được chu, diện tích của đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp cua tam giác đều, của hình vuông.
3.Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn
	Đặt khi đú: (hai góc phụ nhau) 
Kết quả suy ra:
B. Bài tập vận dụng.
1. Hãy tính x và y trong mỗi hình sau:
Bài tập 2:
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:
Tam giác DIL là tam giác cân;
Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Bài tập 3. Hãy sắp xếp các tỷ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:
sin780, cos140, sin470, cos870;
tg730; cotg250; tg620; cotg380.
Bài tập 4.
Giải tam giác ABC vuông tại A biết rằng:
b = 10cm, góc C = 300;
c = 10cm, góc C 450;
a = 20cm, Góc B = 350;
c = 21cm, b = 18cm;
(Giải tam giác là tìm độ dài tất cả các cạnh và số đo các góc của tam giác )
Bài tập 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết CosB = 0,8, hãy tính các tỷ các tỷ số lượng giác của góc C.
Bài tập 6.
Một tòa nhà cao 7m có bóng dài trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất.
Bài tập 7: Một chiếc diều ABCD có AB = BC, AD = DC, Biết AB = 12cm, góc ADC = 400, góc ABC = 900 (h.vẽ). hãy tính
Chiều dài cạnh AD.
Diện tích của chiếc diều.
Bài tập 8: Thang AB dài 6,7m tựa vào tường làm thành góc 
630 so với mặt đất (hình vẽ). Hỏi chiều cao của thang đạt 
được so với mặt đất?
Bài tập 9. Đơn giản các biểu thức sau.
a. 1 – sin2; 	b. (1- cos)(1+cos);
c. 1 + sin2 + cos2; 	d. sin - sincos2;
e. Sin4 + cos4 + 2sin2cos2;
f. tg2 - sin2tg2;
g. cos2 + tg2cos2;
h. tg2(2 cos2+ sin2-1).
Bài tập 10:
Cho hình thang ABCD, biết hai đáy AB =a; CD = 2a, cạnh bên AD = a, góc A = 900.
chứng minh tgC = 1,
Tỉnh tỷ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD.
Tính tỷ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC.
Bài tập 11. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.
Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính góc B, góc C và đường cao AH của tam giác.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho SABC = SBMC.
HD: b) Lấy điểm M bất kỳ không thuộc BC và M không trùng A. 
 Gọi D là hình chiếu vuông góc của M trên cạnh BC.
Khi đó: mà 
Do đó 
Mà độ dài AH không đổi => M luôn cách BC một khoảng bằng AH
Vì vậy, M nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng AH thì 
Nhận xét: Có hai nghiệm hình: 2 đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng AH.