Tích vô hướng của hai vectơ - Trần Sĩ Tùng

CHƯƠNG II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ ĐẾN 
1. Định nghĩa
	Lấy M trên nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn a = . Giaû söû M(x; y).
	sina = y (tung ñoä)
	cosa = x (hoaønh ñoä)
	tana = 	(x ¹ 0)	
	cota = 	(y ¹ 0)
	Chú ý:	– Nếu a tù thì cosa < 0, tana < 0, cota < 0.
	– tana chỉ xác định khi a ¹ 900, cota chỉ xác định khi a ¹ 00 và a ¹ 1800.
2. Tính chất
	· Góc phụ nhau	· Góc bù nhau
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
00
300
450
600
900
1800
sina
0
1
0
cosa
1
0
–1
tana
0
1
||
0
cota
 ||	
1
0
||
4. Các hệ thức cơ bản
	Chú ý:	.
Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) khi x bằng 00; 450; 600.	b) khi x bằng 450; 300.
Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:
	a) , b nhọn.	b) 	c) 
Biết . Tinh .
Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
	a) . Tính .	
	b) . Tính 
Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Đơn giản các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	
	f) 
Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	a) 
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
1. Góc giữa hai vectơ
	Cho . Từ một điểm O bất kì vẽ . 
	Khi đó với 00 £ £ 1800.
	Chú ý:
	+ = 900 Û 	
	+ = 00 Û cùng hướng	
	+ = 1800 Û ngược hướng
	+ 	
2. Tích vô hướng của hai vectơ
	· Định nghĩa:	.
	Đặc biệt:	.
	· Tính chất:	Với bất kì và "kÎR, ta có:
	+ ;	 ;	
	 ;	 .
	+ ;	 ;	 .
	+ > 0 Û nhoïn 	+ < 0 Û tuø
 	 = 0 Û vuoâng.
3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
	· Cho = (a1, a2), = (b1, b2). Khi đó: 	.
	· ;	;	
	· Cho . Khi đó: 	.
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô hướng:
	a) 	b) 	c) 
Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
	a) 	b) 	c) 
Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. 
	a) Chứng minh:	.
	b) Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui".
Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh:
	.
Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN.
	a) Chứng minh: .
	b) Tính theo R.
Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
	a) Tính , rồi suy ra giá trị của góc A.
	b) Tính .
	c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính .
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	HD: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 0
Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
	a) Tính , rồi suy ra cosA.
	b) Gọi G là trọng tâm của DABC. Tính .
	c) Tính giá trị biểu thức S = .
	d) Gọi AD là phân giác trong của góc (D Î BC). Tính theo , suy ra AD.
	HD: a) , 	b) 	c) 
	d) Sử dụng tính chất đường phân giác Þ , 
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 600. M là trung điểm của BC.
	a) Tính BC, AM.	
	b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi: .
	HD: a) BC = , AM = 	b) IJ = 
 Cho tứ giác ABCD.
	a) Chứng minh .
	b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
	.
 Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:
	.	
 Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
	a) 	b) 
	c) (O là tâm của hình chữ nhật).
 Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0).
	a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC.
	b) Tìm toạ độ điểm M biết .
	c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
	a) Tính . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
	b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
	c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
	d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
	e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
	f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
	g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
	h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
	i) Tìm toạ độ điểm T thoả 
	k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
	l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của DABC.	
 Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tìm tập hợp những điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
 Cho tứ giác ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: .
	a) 
III. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
	Cho DABC có:	– độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
	– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc 
	– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc 
	– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
	– nửa chu vi tam giác: p
	– diện tích tam giác: S	
1. Định lí côsin
	;	;	
2. Định lí sin
3. Độ dài trung tuyến
	;	;	
4. Diện tích tam giác
	S = 
	 = 	
	 = 
	 = 
	 = (công thức Hê–rông)
	Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước.
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
	Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao.
	· (định lí Pi–ta–go)	
	· ,	
	· ,	
	· 	
	· ; 
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
	Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. 
	· Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD. 	
	PM/(O) = 	
	· Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. 
	PM/(O) = 
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
	a) Nếu b + c = 2a thì 	b) Nếu bc = a2 thì 
	c) A vuông Û 	
Cho tứ giác lồi ABCD, gọi a là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD. 
	a) Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: .
	b) Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc.
Cho DABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.
	a) Chứng minh .
	b) Từ đó suy ra . 
Cho DAOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a, .
	a) Tính các cạnh của DOAK theo a và a.
	b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và a.
	c) Từ đó tính theo .
Giải tam giác ABC, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Giải tam giác ABC, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Giải tam giác ABC, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	a) 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II
Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
Biết . Tính cos180, sin720, sin1620, cos1620, sin1080, cos1080, tan720.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	a) A = 	b) B = 
Cho các vectơ .
	a) Tính góc , biết và hai vectơ vuông góc.
	b) Tính , biết .
	c) Tính góc , biết .
	d) Tính , biết .
	e) Tính , biết .
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 6.
	a) Tính và cosA.
	b) M, N là hai điểm được xác định bởi . Tính MN.
Cho hình bình hành ABCD có AB = , AD = 1, .
	a) Tính .
	b) Tính độ dài hai đường chéo AC và BD. Tính . 
Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ các tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI ^ DE.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABO và CDO. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh HK ^ IJ.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, M là trung điểm cạnh AB. Trên đường chéo AC lấy điểm N sao cho .
	a) Chứng minh DN vuông góc với MN.
	b) Tính tổng .
 Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
	a) 	b) 
	b) 
 Cho DABC. Chứng minh rằng:
	a) Nếu thì .
	b) Nếu thì .
	c) Nếu thì .
	d) Nếu thì .
 Cho DABC. Chứng minh rằng:
	a) Nếu thì DABC cân đỉnh C.
	b) Nếu thì DABC cân đỉnh B.
	c) Nếu thì DABC cân đỉnh A.
	d) Nếu thì DABC vuông tại A.
	e) Nếu thì DABC vuông tại A.
 Cho DABC. Chứng minh điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến BM và CN vuông góc với nhau là: .
 Cho DABC.
	a) Có a = 5, b = 6, c = 3. Trên các đoạn AB, BC lần lượt lấy các điểm M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tính MK.
	b) Có , điểm D thuộc cạnh BC sao cho , DA = 6, . Tính chu vi tam giác ABC.
	HD:	a) MK = 	b) AC = 5, BC = , AB = 10
 Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: .
	a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
	b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng .
 Cho DABC có , AQ và CP là các đường cao, .
	a) Tính cosB.	
	b) Cho PQ = . Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp DABC.
	HD:	a) 	b) 
 Cho DABC.
	a) Có , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp DACI.
	b) Có , AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp DBCM.
	c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp DBCM.
	HD:	a) R = 2	b) 	c) 
 Cho hai đường tròn (O1, R) và (O2, r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa A và N). Đặt .
	a) Tính AC theo R và a; AD theo r và b.
	b) Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp DACD.
	HD:	a) AC = , AD = 	b) .
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AC, BD = a, , .
	a) Tính AC.	b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, a, b.
	HD:	a) AC = 	b) .
 Cho DABC cân đỉnh A, , AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC = 3BD.
	a) Tính BC, AD.	
	b) Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD là bằng nhau. Tính cosa để bán kính của chúng bằng bán kính R của đường tròn ngoại tiếp DABC.
	HD:	a) BC = , AD = 	b) .
	a)