Tìm hiểu số nguyên tố Mersenne

Tìm hiểu số nguyên tố Mersenne
 I./Giới thiệu :
Từ thời cổ đại, nhiều nhà toán học đã mất công sức đi tìm số nguyên tố. Gần đây nhờ máy tính, người ta càng ngày cang tìm ra các số nguyên tố lớn
Hiện nay, các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne.
Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với các số hoàn thiện, nghĩa là các số bằng tổng các ước chân chính của nó. 
 * Định nghĩa:
 Số nguyên tố Mersenne (Mn) là một số có dạng lũy thừa của 2 trừ 1: 
 Mn =
 Với yêu cầu lũy thừa (n) phải là số nguyên tố và M là một số nguyên tố.
 ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = - 1, và 31 là số nguyên tố.
 *Điều kiện cần để Mn là số nguyên tố là n phải là số nguyên tố, ví dụ, v ới n=4 - 1 = 15 là hợp số vì 4 không là nguyên tố, nhưng ngược lại (Mệnh đề đảo) không đúng: ví dụ, v ơ ới n = 11 số Mersenne 2047 = 2¹¹-1 không là nguyên tố vì nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố.
Như vậy: số nguyên tố Mersenne ‡ số Mersenne
 II./Lich sử Tìm các số nguyên tố Mersenne
Trong lịch sử, việc nghiên cứu các số nguyên tố Mersenne đã từng bị thay đổi:
 vào thế kỷ 4 TCN, Euclid phát biểu rằng nếu M là số nguyên tố Mersenne thì M(M+1)/2 là số hoàn thiên. 
Vào thế kỷ 18, Leonhard Euler chứng minh rằng tất cả các số hoàn thiện chẵn đều có dạng này. Không một số hoàn thiện lẻ nào được biết, và người ta nghi ngờ rằng chúng không tồn tại.
Từ Đẳng thức
cho biết rằng Mn có thể là số nguyên tố chỉ nếu chính n là số nguyên tố, điều đó làm giản lược bớt việc tìm các số nguyên tố Mersenne. Mệnh đề (MD)đảo nói rằng:
 Mn là số nguyên tố nếu n là số nguyên tố là MD sai. Số nhỏ nhất cho ví dụ này là 2¹¹-1 = 23×89, là hợp số.
Đã có các thuật toán nhanh để tìm số nguyên tố Mersenne, do đó hiện nay đã biết các số nguyên tố Mersenne rất lớn.
Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 và M7 = 127 đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm, M13 = 8191, được tìm thấy vào trước năm 1461; hai số tiếp theo (M17 và M19) tìm thấy bởi Cataldi vào năm 1588, đồng thời ông còn dự đoán cho các số mũ 23 (bị Fermat bác bỏ), 29 (bị Fermat bác bỏ), 31, 37 (bị Euler bác bỏ). Sau hơn một thế kỷ M31 được kiểm tra bởi Euler vào năm 1750 bằng Lý thuyết chỉ số. Số tiếp theo (trong lịch sử, không theo thứ tự số) là M127, do Lucas tìm thấy vào năm 1876, sau đó M61 do Pervushin tìm vào năm 1883. Hai số nữa (M89 và M107) được tìm thấy vào thế kỷ 20, bởi Powers vào năm 1911 và 1914.
Từ thế kỷ 17, các số này được mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, người đã chứng minh và dự đoán một loạt các số nguyên tố Mersenne với các số mũ: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127, 257. Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như bao gồm cả M67 (được Kohler chứng minh là hợp số vào năm 1901, cụ thể: ), M257 (được chứng minh là hợp số vào năm 1952), và bỏ quên M61, M89 và M107.
Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là kiểm tra Lucas-Lehmer với số Mersenne. 
Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với n > 2) Mn = 
là số nguyên tố nếu và chỉ nếu Mn chia hết cho Sn -2, trong đó S0 = 4 và với k > 0, 
 .
Đồ thị biểu diễn số các chữ số của số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết theo từng năm của kỷ nguyên điện tử. Chú ý rằng trục tung độ đã được logarit hóa.
Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng bởi các máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về số nguyên tố Mersenne, M521, nhờ nỗ lực khéo léo vào lúc 10:00 P.M. ngày 30-1, 1952 khi sử dụng máy tính tự động Western U.S. National Bureau of Standards (SWAC) tại Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học California tại Los Angeles, dưới sự điều khiển trực tiếp của Lehmer, sử dụng chương trình viết và chạy bởi GS R.M. Robinson. Nó là số nguyên tố Mersenne đầu tiên tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo, M607, đã được tìm thấy do computer này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo  — M1279, M2203, M2281 — đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa. M4253 là số nguyên tố Mersenne đầu tiên là số nguyên tố siêu lớn (trên 1000 chữ số thập phân-titanic), và M44497 là số nguyên tố đẩu tiên có trên 10.000 chữ số thập phân (gigantic).
Đến tháng 9 năm 2008, chỉ mới biết 46 số nguyên tố Mersenne; số lớn nhất đã biết là số (243 112 609 − 1). Cũng như nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án tính toán phân tán trên Internet, được biết với tên gọi Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet (Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS).
III./Các định lý về số nguyên tố Mersenne
Nếu n là số nguyên dương, theo định lý nhị thức ta có thể viết: 
, 
hay
nhờ đặt c = 2a, d = 1, và n = b
chứng minh
= an − bn 
Nếu 2n − 1 là số nguyên tố, thì n là số nguyên tố. 
Chứng minh
Do
Nếu n không là nguyên tố, hoặc n = ab trong đó 1 < a,b < n. Do đó, 2a − 1 là ước của 2n − 1, hoặc 2n − 1 không là nguyên tố.
Với mọi số nguyên tố p lẻ, ước nguyên tố của Mp luôn có dạng 
. 
Chứng minh
Gọi q là ước nguyên tố của 2p - 1 ta có:
. 
Theo định lý nhỏ Fermat ta có:
. 
Từ đó ta có q là ước chung của 2p - 1 và 2q - 1 - 1, hay là gcd(2p − 1,2q − 1 − 1) > 1(*).
Xét bổ đề sau: Nếu a và b là hai số nguyên dương phân biệt thì gcd(2a − 1,2b − 1) = 2gcd(a,b) − 1.
Thật vậy giả sử gcd(a,b) = d, suy ra a = k1d và b = k2d.
Suy ra:
Tức là bổ đề đã cho là đúng.
Từ bổ đề suy ra: gcd(2p − 1,2q − 1 − 1) = 2gcd(p,q − 1) − 1.
Giả sử gcd(p,q − 1) = 1 thì suy ra được gcd(2p − 1,2q − 1 − 1) = 1, mâu thuẫn với (*). Do đó ta phải có gcd(p,q − 1) > 1. Do p là số nguyên tố nên gcd(p,q − 1) = p hay q - 1 = bp.
Do q là ước của Mp lẻ nên q lẻ, suy ra b = 2k hay q = 2kp + 1.
Do 2p ≡ 1 (mod q) nên 2p + 1 ≡ 2 (mod q), suy ra là căn bậc hai của 2 theo modulo q, tức nó là nghiệm của:
. 
Theo luật tương hỗ bậc hai:
. 
 Nguồn : Bách khoa toàn thư mở Wikipedia