Tuyển chọn 15 đề thử sức TN phổ thông môn Toán

z s
 = +

= + ∈

= −
R 
0,25 
4 2 2 2 2 2 1 0 1 0Ta coù B (P) s ( s) ( s) s B (3; ; 2).′ ′= ∆ ∩ ⇒ + + + − − + = ⇒ = − ⇒ 0,25 
Hình chieáu vuoâng goùc d cuûa ñöôøng thaúng AB leân maët phaúng (P) laø ñöôøng thaúng B’I ù 
3 2
4 3 1
x y z
coù phöông trình 
− −
= = ⋅
− −
0,25 
8i 8i(i 3 ) 8(1 3i) 1 3
Ta coù 4 i
4 2 23 i (i 3 )(i 3 )
 + −
= = = − 
 
− + − +  
 0,25 
π π
4 cos isin
3 3
    
= − + −    
    
 0,25 
π π π π
Theo quy taéc nhaân hai soá phöùc döôùi daïng löôïng giaùc, ta coù:
z 4 cos isin cos isin
3 3 5 5
      
= − + − ⋅ +      
      
π π π π
2π 2π
4 cos isin
3 5 3 5
4 cos isin
15 15
    
= − + + − +    
    
    
= − + −    
    
0,25 
Caâu 5.a 
(1 ñieåm) 
2π
Vaäy moâñun vaø moät acgumen cuûa soá phöùc z laàn löôït laø 4 vaø .
15
− 0,25 
1) Chöùng minh 
Phöông trình cuûa maët caàu (S) vieát laïi laø: 2 2 2(x 3) (y 2) (z 1) 36.− + + + − = 
2 1Maët caàu (S) coù taâm I(3; ; ) vaø baùn kính R 6.− = 
0,5 
 Khoaûng caùch töø taâm I ñeán maët phaúng (P): 
3 2 2 2 1 15 24P 8
3
. ( ) . 
d(I, ( )) .
1 4 4
− − + +
= = =
+ +
Vì Pd(I, ( )) R> neân (P) khoâng caét (S). 
0,5 
2) Tìm ñieåm M thuoäc (S) sao cho khoaûng caùch töø M ñeán (P) laø ngaén nhaát. 
Caâu 4.b 
(2 ñieåm) 
Maët phaúng (P) coù moät vectô phaùp tuyeán 2n (1; ; 2).= − 
Goïi laø ñöôøng thaúng qua I vaø vuoâng goùc maët phaúng (P)∆ 
2 qua I(3; ; 1) vaø coù⇒ ∆ − vectô chæ phöông 2laø a n (1; ; 2).= = −  
x 3 t
Phöông trình tham soá : y 2 2t (*)
z 1 2t
 = +

⇒ ∆ = − −

= +
0,25 
PHẠM TRỌNG THƯ GV chuyên toán THPT TP.Cao Lãnh - 63 - 
4 6 2
3
2 2 2 2
Theá (*) vaøøo phöông trình maët caàu (S) ta ñöôïc: 
x 3 2 5 x 3 2 1
t 4t 4t 36 t t 2 y 2 4 hoaëc y 2 4
z 1 4 5 z 1 4 .
 = + = = − =
 
+ + = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = − − = − = − + = 
 
= + = = − = − 
5 6 1 2 31 2Vaäy ñöôøng thaúng caét (S) taïi hai ñieåm M ( ; ; 5); M ( ; ; )∆ − − 
0,25 
5 2 6 2 5 15 42 14
31 4 4
1 2 2 2 3 15 6 2
31 4 4
1
2
. ( ) . 
Ta thaáy d(M , (P)) .
. . ( )
 d(M , (P)) .
− − + +
= = =
+ +
− + − +
= = =
+ +
 0,25 
1 2 3
2 1
2
d(M , (P)) d(M , (P)). 
Vaäy ñieåm caàn tìm laø M ( ; ; ).
⇒ <
−
 0,25 
Heä ñaõ cho töông ñöông 
x x x x
y x 7 y x 7 (1)
3. 16 10 4 3. 16 4 10 0 (2)
 = − = − 
⇔ 
= + − − =  
 0,25 
Ñaët xu 4 , u 0= > . Phöông trình (2) trôû thaønh 2
u 2 (nhaän)
3u u 10 0 5
u (loaïi)
3
 =

− − = ⇔ ⋅

= −

 0,25 
Keát hôïp vôùi (1) ta coù 
x
1
x
4 2 2
13y x 7 y
2

= = ⇔ 
= − 
= −

. 0,25 
Caâu 5.b 
(1 ñieåm) 
Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát
1 13
(x; y) ; 
2 2
 
= − ⋅ 
 
 0,25 
PHẠM TRỌNG THƯ GV chuyên toán THPT TP.Cao Lãnh - 64 - 
BOÄ ÑEÀ 15 ÑEÀ THÖÛ SÖÙC TNPT MOÂN TOAÙN 
I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7 ñieåm) 
Caâu 1. (3,0 ñieåm ) Cho haøm soá 2x 4y (1).
x 1
−
=
−
 1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá (1). 
 2) Tìm caùc ñieåm treân (C) coù toïa ñoä nguyeân. 
Caâu 2. (3,0 ñieåm ) 
 1) Giaûi phöông trình 
1 1
x x
2 24 4 3.
+ −
− = 
 2) Tính tích phaân 5 2
52
0 2
 I sin xdx; J x ln(x 1)dx.
pi
= = −∫ ∫ 
 3) Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá 
lnx
y
x
= treân ñoaïn 21;e   . 
Caâu 3. (1,0 ñieåm) 
 Cho hình laêng truï ABC.A’B’C’ coù ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a vaø 2A A A B A C a.′ ′ ′= = = Tính 
theo a theå tích cuûa khoái laêng truï ABC.A’B’C’. 
II. PHAÀN RIEÂNG (3 ñieåm) 
 A. Theo chöông trình Chuaån 
Caâu 4a. (2,0 ñieåm) 
 Trong khoâng gian toaï ñoä Oxyz cho boán ñieåm 0 1 0A(1; ; 2), B( ; 1; 1), C(1; 1; ), D(0; 2; 1). 
 1) Chöùng minh raèng boán ñieåm A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng. Tính theå tích töù dieän ABCD. 
 2) 
DTính ñoä daøi chieàu cao h cuûa khoái töù dieän haï töø ñænh D. Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø CD. 
Caâu 5a. (1,0 ñieåm) 6 iCho soá phöùc z Tính z z .
(1 i)(3 i)
−
= ⋅ +
− +
 B. Theo chöông trình Naâng cao 
Caâu 4b. (2,0 ñieåm) 
 Trong khoâng gian toïa ñoä Oxyz cho boán ñieåm 1 4 1 3A(2; ; ), B( ; 3; 5), C(0; 4; ).− 
 1) Vieát phöông trình cuûa maët phaúng chöùa truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A. 
 2) Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (Q) ñi qua hai ñieåm B, C vaø song song vôi Oy. 
Caâu 5b. (1,0 ñieåm) 
 Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng y x,= truïc hoaønh vaø ñöôøng thaúng y 2 x .= − 
PHẠM TRỌNG THƯ GV chuyên toán THPT TP.Cao Lãnh - 65 - 
ÑAÙP AÙN THAM KHAÛO_ BOÄ ÑEÀ 15 
CAÂU Ñaùp aùn ÑIEÅM 
1) Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C) 
Hoïc sinh töï giaûi 2,0 
2) Tìm caùc ñieåm treân (C) coù toïa ñoä nguyeân. 
Ta coù 
2x 4 2
y 2
x 1 x 1
−
= = − ⋅
− −
Goïi N(x; y) laø ñieåm nguyeân cuûa (C) 
x,y x,y
2 2
y 2 (*)
x 1 x 1
 ∈ ∈
 
⇔ ⇒ 
= − ∈ 
− − 
Z Z
Z
{ } { }x 1 2; 2;1; 1 x 3; 1;2;0 .⇒ − ∈ − − ⇒ ∈ − 
0,5 
 Khi x 3 thì (*) y 1; 
 Khi x 1 thì (*) y 3;
 Khi x 2 thì (*) y 0; 
 Khi x 0 thì (*) y 4. 
= ⇒ =
= − ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
i
i
i
i
 0,25 
Caâu 1 
(3 ñieåm) 
Vaäy treân (C) coù taát caû 4 ñieåm nguyeân laø (3; 1), ( 1; 3), (2; 0), (0; 4).− 0,25 
1) Giaûi phöông trình  
Ta coù 
1 1
x x x2 2
x
2
4 4 3 2.4 3
4
+ −
− = ⇔ − = (*) 0,25 
xÑaët t 4 ,t 0.= > 
Phöông trình (*) trôû thaønh 2
2 1
2t 3 2t 3t 2 0 t 2 hoaëc t (loaïi).
t 2
− = ⇔ − − = ⇔ = = − 
0,5 
x 2x 1Vôùi t 2 4 2 2 2 x
2
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⋅ 
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø 
1
x
2
= ⋅ 
0,25 
2) Tính tích phaân 
Tính I. 
Ta coù 5 2 2 2 2
2 2 2
0 0 0
I sin xdx (sin x) sinxdx (1 cos x) sinxdx
pi pi pi
= = = −∫ ∫ ∫ 
Ñaët u cosx du sinxdx
Ñoåi caän x 0 thì u 1; x thì u 0
2
= ⇒ = −
pi
= = = =
0,25 
Suy ra 
5 13
0
0 1
2 2 2 4
1 0
2 u 2 1 8
I (1 u ) du (1 2u u )du u u 1
3 5 3 5 15
 
= − − = − + = − + = − + = ⋅ 
 
 
∫ ∫ 0,25 
Caâu 2 
(3 ñieåm) 
Tính J. 
5 5
2 3
3 352
2
2 2
(x 1) 1
du dx dxu ln(x 1) x 1 x 1
Ñaët 
dv x dx x
v
3
x 1 (x 1) 1
Ta coù x ln(x 1)dx ln(x 1) dx
3 3 x 1
′ −
= = = −
− − 
⇒ 
= 
=
− +
− = − −
−
∫ ∫
 0,25 
PHẠM TRỌNG THƯ GV chuyên toán THPT TP.Cao Lãnh - 66 - 
5
2
2
125 1 1
ln 4 x x 1 dx
3 3 x 1
 
= − + + + 
− 
∫ 
3 2 5
2
125 1 x x 124 35
ln 4 x ln x 1 ln 4
3 3 3 2 3 2
 
 = − + + + − = − ⋅
 
 
0,25 
3) Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø nhoû nhaát 
Taäp xaùc ñònh 21;e . =  D 
Ñaïo haøm 2 2
(ln x) x x .ln x 1 ln x
y
x x
′ ′
− −
′ = = 
0,25 
y 0 1 ln x 0 x e′ = ⇔ − = ⇔ = ∈D . 0,25 
Ta xeùt
2
2
2 2
1 lne 2
y(1) 0, y(e) , y(e ) .
e e e
= = = = 0,25 
Suy ra 
2 21;e 1;e
1
min y y(1) 0, max y y(e) .
e   
      
= = = = 0,25 
I
A'
B'
C'
2a
O C
B
A
Goïi O laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñænh A’ treân mp (ABC) vì A A A B A C′ ′ ′= = neân 
caùc tam giaùc vuoâng A’OA, A’OB, A’OC baèng nhau. Do ñoù OA OB OC= = hay O laø 
taâm cuûa tam giaùc ñeàu ABC. 
0,25 
Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC, ta coù 2 3
3 3
a
OA AI= = ⋅ 0,25 
Vì A’O vuoâng goùc mp(ABC) neân tam giaùc A’AO vuoâng taïi O. Do ñoù: 
2 2
2 2 2 11
3 3 3
a 11a a
OA A A OA 4a′ ′= − = − = = ⋅ 
0,25 
Caâu 3 
(1 ñieåm) 
Theå tích cuûa khoái laêng truï laø 
2 33 11 11
4 43ABC
a a a
V S .A O (ñvtt).′= = ⋅ = 0,25 
1) Chöùng minh raèng boán ñieåm A, B, C, D khoâng ñoàng phaúng. Tính theå tích töù dieän ABCD. 
Ta coù AB (0; 1; 1), AC (0; 1; 2)
1 1 1 0 0 1
[AB, AC] ; ; ( 1; 0; 0) vaø AD ( 1; 2; 1)
1 2 2 0 0 1
Vì [AB, AC].AD ( 1)( 1) 0.2 0. ( 1) 1 0
= − = −
 
− −
⇒ = = − = − −  
− − 
= − − + + − = ≠
⇒
 
  
  
AB, AC, AD khoâng ñoàng phaúng ñpcm.⇒
  
 0,5 
Caâu 4.a 
(2 ñieåm) 
1 1
6 6ABCD
Theå tích töù dieän ABCD: V [AB, AC].AD (ñvtt)= = ⋅
  
 0,5 
PHẠM TRỌNG THƯ GV chuyên toán THPT TP.Cao Lãnh - 67 - 
2) Tính ñoä daøi chieàu cao Dh cuûa khoái töù dieän haï töø ñænh D 
1
3
3 6
1
ABCD ABC D
ABCD ABCD
D
ABC
Theo coâng thöùc tính theå tích khoái töù dieän V S h
V V
 h .
S [AB,AC]
= ⋅
⇒ = = = 
 0,5 
0 1 1 1 1 1 0 1 1 0
0
Vì AB ( ; ; ), CD ( ; ; ) AB.CD
AB CD goùc giöõa AB vaø CD baèng 90
= − = − ⇒ = + − =
⇒ ⊥ ⇒
   
 0,5 
2
2 2 2
6 i 6 i (6 i)(4 2i) 24 12i 4i 2i 13 2
Ta coù z i.
4 2i (4 2i)(4 2i) 10 53 i 3i i 4 2
− − − + + − −
= = = = = +
− − ++ − − +
 0,5 Caâu 5.a 
(1 ñieåm) 
 2 213 2 13 2 185
z i. Do ñoù: z z 2
10 5 10 5 5
   
⇒ = − + = + = ⋅   
   
 0,5 
1) Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (P) chöùa truïc Ox vaø ñi qua ñieåm A 
Vieát phöông trình maët phaúng (P) 
Maët phaúng (P) chöùa truïc Ox vaø ñi qua A, neân vectô phaùp tuyeán cuûa (P) vuoâng goùc 
vôùi hai vectô i (1; 0; 0) vaø OA (2; 1; 4)= = −

. 
Suy ra n i ,OA (0; 4; 1) laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa (P). = =
 

0,5 
Vaäy maët phaúng (P) : 0(x 2) 4(y 1) 1(z 4) 0 4y z 0.− + − + + = ⇔ + = 0,5 
2) Vieát phöông trình cuûa maët phaúng (Q) ñi qua hai ñieåm B, C vaø song song vôi Oy. 
Vieát phöông trình maët phaúng (Q) 
Maët phaúng (Q) ñi qua hai ñieåm B, C vaø song song vôi Oy, neân vectô phaùp tuyeán 
cuûa (Q) vuoâng goùc vôùi hai vectô j (0; 1; 0) vaø BC ( 1; 1; 2)= = − −

. 
Suy ra m BC, j (2; 0; 1) laø moät vectô phaùp tuyeán cuûa (Q). = = −
 
  
0,5 
Caâu 4.b 
(2 ñieåm) 
Vaäy maët phaúng (Q) : 2(x 0) 0(y 4) 1(z 3) 0 2x z 3 0.− + − − − = ⇔ − + = 0,5 
2
Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 
2 x 0
Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa y x x 2 x
x (2 x)
y 2 x vaø truïc hoaønh laø: x 2
 vaø y 2 x laø 
− ≥
= = − ⇔
= −
= − =

= − 

 0,25 
2
1
1
2
O x
y
2 2
x 2 x 2
x 1
x 4 4x x x 5x 4 0
≤ ≤
⇔ =
= − +
  
⇔ ⇔ 
− + =  
 0,25 
Caâu 5.b 
(1 ñieåm) 
Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: 
1 2 21 2
0 1
0 1
xdx (2 x)dx
2 x 7
S x x 2x (ñvdt).
3 2 6
−
 
= + = + − = 
 
 
∫ ∫ 
0,5 
PHẠM TRỌNG THƯ GV chuyên toán THPT TP.Cao Lãnh - 68 -