Tuyển tập Đại số tổ hợp - Trần Sĩ Tùng

+ x)n–1 = -+ + + +1 2 3 2 n n 1n n n nC 2C x 3C x ... nC x 
 Cho x = –1 
 0 = -- + - + + -1 2 3 4 n 1 nn n n n nC 2C 3C 4C ... ( 1) nC 
 Vậy S = 0. 
 2. Ta có: (1 + x)n = + + + + +0 1 2 2 3 3 n nn n n n nC C x C x C x ... C x 
 Þ ( )+ = + + + + +ị ị
1 1
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
(1 x) dx C C x C x C x ... C x dx 
 Þ 
+
++ ỉ ư= + + + +ç ÷
= +è ø
1 1n 1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
00
(1 x) 1 1 1C x C x C x ... C x
n 1 2 3 n 1
 Þ 
+ -
= + + + +
+ +
n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 1 1 1C C C ... C
n 1 2 3 n 1
 Do đó: T = 
+ -
+
n 12 1
n 1
 Ta có: - -+ + =n n 1 n 2n n nC C C 79 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
+ + =ïỵ
n N, n 2
n(n 1)1 n 79
2
 Û n = 12 
 Vậy: T = -
132 1
13
. 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
50 
47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003) 
 Vế trái = - - -- - - -+ + +
k k 1 k 1 k 2
n 2 n 2 n 2 n 2C C C C = 
-
- -+
k k 1
n 1 n 1C C = 
k
nC . 
48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị) 
 Điều kiện: n Ỵ Z, n ≥ 0. 
 BPT Û £3 (2n)! (3n)!(n!) . . 720
n!n! (2n)!n!
 Û (3n)! ≤ 720 
 Ta thấy (3n)! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)! 
 Do đó: BPT có nghiệm 
£ £ì
í
Ỵỵ
0 n 2
n Z
. 
49. (CĐ Công nghiệp HN 2003) 
 P(x) = (16x – 15)2003 = -
=
-å
2003
k 2003 k k
2003
k 0
C (16x) ( 15) 
 = - -
=
-å
2003
k 2003 k k 2003 k
2003
k 0
C (16) ( 15) x 
 Các hệ số trong khai triển đa thức là: ak = - -k 2003 k k2003C (16) ( 15) 
 Vậy: S = -
= =
= -å å
2003 2003
k 2003 k k
k 2003
k 0 k 0
a C (16) ( 15) = (16 – 15)2003 = 1 
50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) 
 Điều kiện: n Ỵ N, n ≥ 3. 
 PT Û + =
- -
n! n!2 16n
(n 3)! 2!(n 2)!
 Û n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n 
 Û n2 – 2n – 15 = 0 Û 
=é
ê = -ë
n 5
n 3 (loại)
 vậy: n = 5. 
51. (CĐ Nông Lâm 2003) 
 Ta có: ỉ ư+ç ÷
è ø
151 2 x
3 3
 = 
-
= =
ỉ ư ỉ ư =ç ÷ ç ÷
è ø è øå å
15 k k15 15
k k k k
15 15 15
k 0 k 0
1 2 2C x C x
3 3 3
 Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển: 
 ak = k k1515
1 C .2
3
; k = 0, 1, 2, …, 15. 
 Xét sự tăng giảm của dãy ak: 
 ak–1 < ak Û - - <k 1 k 1 k k15 15C .2 C .2 Û 
- <k 1 k15 15C 2C 
 Û k < 32
3
, k = 0, 1,.., 15 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
51 
 Từ đó: a0 < a1 < a2 < … < a10 
 Đảo dấu BĐT trên ta được: 
 ak–1 > ak Û k > 
32
3
 Þ a10 > a11 > … > a15. 
 Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = =
10 10
10
1515 15
2 2C 3003.
3 3
. 
52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) 
 Ta có: 
 (1 – x)2n = - -- + - + - - +0 1 2 2 3 3 4 4 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C x C x C x C x ... C x C x 
 Đạo hàm 2 vế theo x, ta có: 
 –2n(1 – x)2n–1 = 
 = - - -- + - + - - - +1 2 3 2 4 3 2n 1 2n 2 2n 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2nC 2C x 3C x 4C x ... (2n 1)C x 2nC x 
 Thế x = 1 vào đẳng thức trên, ta có: 
 0 = -- + - + - - - +1 2 3 4 2n 1 2n2n 2n 2n 2n 2n 2nC 2C 3C 4C ... (2n 1)C 2nC 
 Vậy: -+ + + - = + + +1 3 2n 1 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n1C 3C ... (2n 1)C 2C 4C ... 2nC . 
53. (ĐH khối A 2004) 
 Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = + - + - + -0 1 2 2 4 2 3 6 38 8 8 8C C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) + 
 + - + - + - + - + -4 8 4 5 10 5 6 12 6 7 14 7 8 16 88 8 8 8 8C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) C x (1 x) 
 Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng 
cuối lớn hơn 8. 
 Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng 
là: 3 2 4 08 3 8 4C .C ; C .C 
 Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238. 
54. (ĐH khối D 2004) 
 Ta có: ỉ ư+ç ÷
è ø
7
3
4
1x
x
 = ( ) -
=
ỉ ư
ç ÷
è ø
å
k7 7 kk 3
7 4
k 0
1C x
x
 = 
-
=
å
28 7k7
k 12
7
k 0
C x 
 Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Ỵ Z, 0 ≤ k ≤ 7) 
thoả mãn: - =28 7k 0
12
 Û k = 4 
 Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: 47C = 35. 
55. (ĐH khối A 2005) 
 Ta có: (1 + x)2n+1 = + ++ + + + ++ + + + +
0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C x C x C x ... C x 
 Đạo hàm 2 vế ta có: 
 (2n + 1)(1 + x)2n = ++ + + ++ + + + +
1 2 3 2 2n 1 2n
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2C x 3C x ... (2n 1)C x 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
56 
 (a + b)n = -+ + +0 n 1 n 1 n nn n nC a C a b ... C b 
 · Với a = 3, b = – 1 Þ 2n = (3 – 1)n = -- + + -0 n 1 n 1 n nn n nC 3 C 3 ... ( 1) C 
 · Với a = 1, b = 1 Þ 2n = (1 + 1)n = + + +0 1 nn n nC C ... C 
 Vậy: -- + + - = + + +0 n 1 n 1 n n 0 1 nn n n n n nC 3 C 3 ... ( 1) C C C ... C 
71. (CĐ KT Y tế 1 2005) 
 ĐK: x Ỵ N, x ≥ 2 
 BPT Û + + - <
- -
(x 1)! x!2 3 20 0
2!(x 1)! (x 2)!
 Û x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 Û 2x2 – x – 10 < 0 Û – 2 < x < 5
2
 Kết hợp điều kiện Þ x = 2. 
72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) 
 Số hạng tổng quát: --k k 45 2k k15C ( 1) x y 
 Þ 
- =ì
í
=ỵ
45 2k 29
k 8
 Û k = 8 
 Vậy hệ số của x29y8 là: 815C = 6435. 
73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = -k k knC ( 2) x 
 Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û - +0 1 2n n nC 2C 4C = 71 
 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
- + =ïỵ
n N, n 2
n(n 1)1 2n 4 71
2
 Û 
Ỵ ³ìï
í
+ - =ïỵ
2
n N, n 2
n 2n 35 0
 Û n = 7. 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
53 
 Û 2n! + - =
- -
6.n! n!n! 12
(n 2)! (n 2)!
 Û - - - =
-
n! (6 n!) 2(6 n!) 0
(n 2)!
 Û 
- =é
ê
ê - =
ê -ë
6 n! 0
n! 2 0
(n 2)!
 Û 
=é
ê - - =ë
n! 6
n(n 1) 2 0
 Û 
=é
ê
- - =êë
2
n 3
n n 2 0
 Û 
=é
ê = ³ë
n 3
n 2 (vì n 2)
 Vậy: n = 2 hoặc n = 3. 
60. (ĐH khối A 2006) 
 · Từ giả thiết suy ra: + + + ++ + + + =
0 1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2 (1) 
 Vì + -+ ==
k 2n 1 k
2n 1 2n 1C C , "k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên: 
 ( )++ + + + + + + ++ + + + = + + + +0 1 2 n 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11C C C ... C C C C ... C2 (2) 
 Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra: 
 + + ++ + + ++ + + + = + =
0 1 2 2n 1 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2 (3) 
 từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 Û n = 10. 
 · Ta có: ( )- - -
= =
ỉ ư+ = =ç ÷
è ø
å å
10 10 10k7 k 4 10 k 7 k 11k 40
10 104
k 0 k 0
1 x C (x ) x C x
x
 Hệ số của x26 là k10C với k thoả mãn: 11k–40 = 26 Û k = 6 
 Vậy hệ số của x26 là 610C = 210. 
61. (ĐH khối B 2006) 
 Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng knC . Từ giả thiết suy ra: 
 =4 2n nC 20C Û n
2 – 5n – 234 = 0 Û n = 18 (vì n ≥ 4) 
 Do 
+ -
= >
+
k 1
18
k
18
C 18 k 1
k 1C
 Û k < 9, nên: < < <1 2 918 18 18C C ... C 
 Þ > > >9 10 1818 18 18C C ... C 
 Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9. 
62. (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006) 
 ĐK: x Ỵ N, y Ỵ N*, x ≤ y. 
 Từ phương trình thứ hai suy ra x = 4 
 Thay vào phương trình thứ nhất ta được: 
 y2 – 9y + 8 = 0 Û 
=é
ê =ë
y 1(loại)
y 8
. Vậy: x = 4; y = 8. 
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Sĩ Tùng 
54 
63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) 
 ĐK: n Ỵ N, n ≤ 4 
 - =n n n
4 5 6
1 1 1
C C C
 Û - - -- =n!(4 n)! n!(5 n)! n!(6 n)!
4! 5! 6!
 Û n2 – 17n + 30 = 0 Û 
=é
ê =ë
n 15 (loại)
n 2
 Vậy: n = 2. 
64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) 
 · + + =0 1 2n n nC C C 211 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
+ + =ïỵ
n N,n 2
n(n 1)1 n 211
2
 Û 
Ỵ ³ìï
í
+ - =ïỵ
2
n N,n 2
n n 420 0
 Û n = 20 
 · 
+
+ +
= =
+
k k
kn n
n1
k 1
(k 1).C (k 1)C
C
(k 1)!A
k!
 (k = 1, 2, …, n) 
 Do đó: với n = 20 ta có: S = + + +0 1 2020 20 20C C ... C = 2
20. 
65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = -k k knC ( 2) .x 
 Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û - + =0 1 2n n nC 2C 4C 71 
 Û 
Ỵ ³ì
ï
í -
- + =ïỵ
n N, n 2
n(n 1)1 2n 4 71
2
 Û 
Ỵ ³ìï
í
+ - =ïỵ
2
n N, n 2
n 2n 35 0
 Û n = 7 
 Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là: 
 a5 = -5 57C ( 2) = – 672. 
66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006) 
 Ta có: + =1 3n nC C 13n Û 
- -
+ =
n(n 1)(n 2)n 13n
6
 Û n2 – 3n – 70 Û 
=é
ê = -ë
n 10
n 7 (loại)
 Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là: 
 Tk+1 = - - -=k 2 10 k 3 k k 20 5k10 10C (x ) (x ) C x 
 Tk+1 không chứa x Û 20 – 5k = 0 Û k = 4 
 Vậy số hạng không chứa x là: T5 = 410C = 210. 
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 
55 
67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) 
 · Cách 1: Ta có: + ++ + + ++ + + + =
0 1 2 4n 2 4n 2
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2 
 + ++ + + ++ + + + =
0 2 4 4n 2 4n 1
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2 
 + + + ++ + + + =
0 2 4 2n 4n
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 2 
 Vậy có: 24n = 256 Û n = 2 
 · Cách 2: Đặt Sn = + + + ++ + + +
0 2 4 2n
4n 2 4n 2 4n 2 4n 2C C C ... C 
 Thì Sn+1 = + + + ++ + + +
0 2 4 2n
4n 6 4n 6 4n 6 4n 6C C C ... C 
 Vì + +³
2k 2k
4n 6 4n 2C C (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1 > Sn Þ dãy (Sn) tăng. 
 Khi n = 2 thì S2 = + +0 2 410 10 10C C C = 256 
 Vậy Sn = 256 Û n = 2. 
68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) 
 A = ỉ ư ỉ ư- + -ç ÷ç ÷ è øè ø
20 10
3
2
1 1x x
xx
 = ( ) ( ) ( )
-- - -
= =
- + -å å
20 10k 10 k nk k 20 k 2 n n 3 1
20 10
k 0 n 0
( 1) C x x ( 1) C x x 
 = ( ) ( )- -
= =
- + -å å
20 10k nk 20 3k n 30 4n
20 10
k 0 n 0
1 C x 1 C x 
 Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n Û 10 – n = 3(n – k) 
 Vì 0 ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số của 3 nên n = 4 hay n= 7 hay n= 
10 
 Þ có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống 
nhau. 
 Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm: 
 21 + 11 – 3 = 29 số hạng. 
69. (CĐ KT Y tế I 2006) 
 Ta có: 42n = (1 + 3)2n = - -+ + + + +0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 C 3 
 22n = (1 – 3)2n = - -- + - - +0 1 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n2n 2n 2n 2n 2nC C 3 C 3 ... C 3 C 3 
 Þ 42n + 22n = ( )+ + +0 2 2 2n 2n2n 2n 2n2 C C 3 ... C 3 
 Þ 42n + 22n = 2.215(216 + 1) 
 Þ (22n – 216)(22n + 216 + 1) = 0 
 Þ 22n = 216 Þ n = 8. 
70. (CĐ Xây dựng số 2 2006) 
 Theo khai triển nhị thức Newton ta có: