Tuyển tập một số bài toán chọn lọc

, r ∈ Z và số tự nhiên q ∈ N , q ≤ n2 thoả mãn:∣∣∣∣α− pq
∣∣∣∣ < 1qn và
∣∣∣∣α− rq
∣∣∣∣ < 1qn.
124 CHƯƠNG 10. GIẢI TÍCH
Bài toán 10.50. i) Xét dãy số {xn} xác định bởi:{
x1 = t 6= 0
xn+1(xn + t) = t+ 1 với mọi số tự nhiên n.
Tính giới hạn:
lim
n→∞
xn.
ii) Xét dãy số {yn} xác định bởi:
y1 = a 6= −1
yn+1 =
3
√
2y2n + 2− 2
2yn +
√
2y2n + 2
với mọi số tự nhiên n.
Tính giới hạn:
lim
n→∞
yn.
a
Chương 11
Đại Số
Bài toán 11.1. Ký hiệu Nm là tập hợp tất cả các số nguyên không bé hơn số nguyên m cho
trước. Tìm tất cả các hàm f : Nm → Nm thoả mãn:
f(x2 + f(y)) = y + (f(x))2 ∀x, y ∈ Nm.
Bài toán 11.2. Số thực c được gọi là giá trị bội của dãy số (xn) nếu tồn tại hai chỉ số k, l
thoả mãn xk = xl = c. Với mỗi cặp số thực (a, b) ta lập dãy số:
U(a, b) : u0 = a, u1 = b− un+1 = un + un−1 với mọi số tự nhiên n
Chứng minh tồn tại a, b nguyên sao cho dãy U(a, b) có hơn 2006 giá trị bội.
Bài toán 11.3. Xét dãy số {an} thoả mãn a1, a2, a3 là các số nguyên và an+3 = an+1 + an
với mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p ta có p là ước của số:
an+3p+1 − an+p+1 − an+1.
Bài toán 11.4. Với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 1, xét đa thức:
Pn(x) =
[n−2
3
]∑
k=0
C3k+2n .x
k.
Tìm tất cả các số nguyên a thoã mãn 3
[
n− 1
2
]
|Pn(a3) với mọi n ≥ 2.
Bài toán 11.5. Xét dãy số (an) xác định như sau:{
a1 = a2 = a3 = a4 = 1
an.an−4 = an−1an−3 + a2n−2 với mọi n > 4.
Chứng minh rằng an ∈ Z với mọi n ∈ N .
Bài toán 11.6. Với điều kiện xi > 0 với mọi i = 1, n. Tính giá trị sau:
c = minmax {x1, 1
x1
+ x2, ...,
1
xn−1
,
1
xn
}.
Giả sử có thêm điều kiện x1 + x2 + ...+ xn = 1. Tính:
c = minmax { x1
1 + x1
,
x2
1 + x1 + x2
, ...,
xn
1 + x1 + x2 + ...+ xn
}.
125
126 CHƯƠNG 11. ĐẠI SỐ
Bài toán 11.7. Cho dãy tăng các số tự nhiên {ai} thoả mãn tính chất với hai tập con
I, J ∈ {1, 2, ..., n} và I 6= J thì ta có: ∑
i∈I
ai 6=
∑
i∈J
ai.
Tính giá trị lớn nhất của:
n∑
i=1
1
ai
.
Bài toán 11.8. Tìm tất cả các hàm số f : (1,+∞)→ R thoả mãn:
f(x)− f(y) = (y − x)f(xy) với mọi x, y > 1.
Bài toán 11.9. Tồn tại hay không số thực u có tính chất [un]−n là số chính phương với mọi
số tự nhiên n.
Bài toán 11.10. Cho dãy số dương {an} thoả mãn:{
a0 = a2005
ai = 2 · √ai−1ai+1 ∀1 ≤ i ≤ 2005.
Chứng minh rằng an = a2005−n với mọi 0 ≤ n ≤ 2005.
Bài toán 11.11. Cho dãy số {an} thoả mãn a1 = a2000 và với mọi n ∈ N :
xn+2 =
xnxn+1 + 5x
4
n
xn − xn+1 .
Chứng minh rằng x2 6= x1999.
Bài toán 11.12. Xét hàm số f(x) = 3(|x + |x − 1| − |x + 1|) và đặt xn+1 = f(xn) với mọi
n ≥ 0. Hỏi có bao nhiêu số thực x0 thoả mãn x0 = x2007 và các số x0, x1, ..., x2006 là đôi một
phân biệt.
Bài toán 11.13. Hỏi có tồn tại hay không đa thức P (x) bậc n mà đa thức hợp m lần của P
là P (...(P (x))...)︸ ︷︷ ︸
m lần P
nhận đủ các nghiệm là 1, 2, ..,mn.
Bài toán 11.14. Cho số nguyên n > 1 và n số thực a1, a2, .., an. Đặt:
S =
n∑
i=1
a2i
P = min
i<j
(ai − aj)2
Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức:
S
P
≥ n(n − 1)(n + 1)
12
.
127
Bài toán 11.15. Cho số tự nhiên n > 1 và n số thực a1, a2, .., an. Chứng minh rằng tồn tại
n số thực b1, b2, ..., bn thoả mãn tính chất:
ai − bi ∈ Z với mọi 1 ≤ i ≤ n∑
1≤i<j≤n
(bi − bj)2 ≤ n
2 − 1
12
.
Bài toán 11.16. Cho a, b, c, x, y, z là sáu số thực dương thoả mãn đẳng thức ax+by+cz = xyz.
Chứng minh bất đẳng thức:
x+ y + z >
√
4(a+ b+ c) +
√
8(ab+ bc+ ca).
Bài toán 11.17. Trên mặt phẳng cho n vecto sau đây ~v1, ~v2, ..., ~v3 có:
n∑
i=1
|~vi| = h.
Chứng minh rằng có k vecto ~vi1, ~vi2, ..., ~vin trong số các vecto { ~vi1} sao cho:
|
k∑
j=1
~vij| ≥
h
pi
.
Bài toán 11.18. Giả sử số tự nhiên n có ít nhất 2 ước số nguyên tố khác nhau. Chứng minh
rằng tồn tại một hoán vị (a1, a2, .., an) của (1, 2, .., n) mà:
n∑
k=1
k cos
2piak
n
= 0.
Bài toán 11.19. Cho các số nguyên dương p, thoả mãn p = 2n + 1 là số nguyên tố và a
không chia hết cho p. Chứng minh mệnh đề sau:
n∑
k=1
(
sin
2piak
p
)
chẵn ⇐⇒ p|an − 1.
Bài toán 11.20. Tìm điều kiện cần và đủ của các số tự nhiên b1, b2, ..., bn sao cho ta có đẳng
thức sau với 1 ≤ k ≤ n − 1:
n∑
i=1
cos
(
2kpi
n
bi
)
=
n∑
i=1
sin
(
2kpi
n
bi
)
.
Bài toán 11.21. Cho đa thức f(x) = xn + a1x
n−1 + ...+ an−1x+ an ∈ R[x]. Cho n số thực
phân biệt b1, b2, ..., bn thoả mãn
n∑
i=1
= −a1. Chứng minh rằng:
n∑
i=1
f(bi)∏
j 6=i
(bi − bj) = 0.
128 CHƯƠNG 11. ĐẠI SỐ
Bài toán 11.22. Chứng minh bất đẳng thức:
n∑
k=1
(1 + x2k)
n/2∏
j 6=k
(bk − bj) ≥ n.
Bài toán 11.23. Cho số tự nhiên n và ui = cos
2i− 1
2n+ 1
· pi với 1 ≤ i ≤ n. Chứng minh rằng:
2n =
n∑
i=1
1√
1− u2i
∏
j 6=i,1≤j≤n+1
|ui − bj|
.
Từ đó suy ra định lý Markov: giả sử đa thức hệ số thực f(x) = xn+ a1x
n−1+ ...+ an−1x+ an
thoả mãn: √
1− x2 · |f(x)| ≤ 1 ∀x ∈ [−1, 1].
Chứng minh rằng:
|a0| ≤ 2n.
Bài toán 11.24. Ký hiệu phép toán ∗ như sau. Với hai số thực dương x, y:
x ∗ y = x+ y
1 + xy
.
Tính giá trị biểu thức 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ... ∗ 2006 với thứ tự các phép toán tuỳ ý.
Bài toán 11.25. Chứng minh rằng tồn tại phân hoạch:
N = {[nα]|n ∈ N} ∪ {[nβ]|n ∈ N}.
Với hai số vô tỷ dương α, β thoả mãn
1
α
+
1
β
= 1. Tuy nhiên không tồn tại ba số vô tỷ dương
α, β, λ sao cho ta có phân hoạch:
N = {[nα]|n ∈ N} ∪ {[nβ]|n ∈ N} ∪ {[nλ]|n ∈ N}.
Bài toán 11.26. Trong bảng số m.n có tính chất tổng mỗi hàng hay cột đều là số nguyên.
Chứng minh rằng có thể thay mỗi số trong bảng bởi một trong hai số nguyên gần nó nhất sao
cho tổng các hàng và cột đều không đổi.
Bài toán 11.27. Cho tập n số thực tuỳ ý {an}. Chứng minh rằng tồn tại tập con T ∈ A sao
cho tổng các số trong T là một số thực sai khác với số nguyên gần nó nhất không quá
1
n+ 1
.
Bài toán 11.28. Cho n số thực bất kỳ {an}. Chứng minh rằng có thể tìm các số {bi} mà bi
là một trong hai số nguyên gần ai nhất và với k bất kỳ:∣∣∣∣ k∑
j=1
aij −
k∑
j=1
bij
∣∣∣∣ ≤ n+ 14 .
129
Bài toán 11.29. Cho các số thực dương a, b, c, d thoả mãn a > b > c > d > e (với e là cơ số
của logarith tự nhiên). Chứng minh rằng:
ae
b
+ be
c
+ ce
d
+ de
a
< be
a
+ ce
b
+ de
c
+ ae
d
.
Bài toán 11.30. Với mội số nguyên dương n tìm số thực dương q = q(n) tốt nhất sao cho
với mọi dãy n số thực x1, x2, ..., xn ta có bất đẳng thức:
(1)
n∑
i=1
( i∑
j=1
xi
)2
≥ q ·
n∑
i=1
x2i
(2)
n∑
i=1
( i∑
j=1
xi
)2
≤ q ·
n∑
i=1
x2i .
Bài toán 11.31. Xét dãy số {an} xác định như sau:a1 = 2an+1 = [3an
2
]
với mọi số tự nhiên n.
Chứng minh rằng
(1) Trong dãy số này có vô hạn số chẵn và vô hạn số lẻ.
(2) Tồn tại số thực α sao cho an+1 =
[
α
(
3
2
)n]
+ 1.
(3) Số 0, a1a2, ... là số vô tỷ hay hữu tỷ.
Ngoài ra có tồn tại hay không số thực α sao cho an+1 =
[
3
2
αn
]
+ 1?
Bài toán 11.32. Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f : R→ R mà:
f(f(x)) = x2 − 3x− 2 với mọi số thực x.
Bài toán 11.33. Chứng minh đẳng thức sau đối với n tự nhiên tuỳ ý:[
1
2
+
√
n
3
− 1
12
]
=
[
3
√
n+
[
1
2
+
√
n
3
− 1
12
]]
.
Bài toán 11.34. Chứng minh đẳng thức sau đây với mọi số tự nhiên n:
n∑
p=1
p∑
q=1
[
− 1 +
√
8q + (2p − 1)2
2
]
= −n(n+ 1)(n + 2)
3
.
Bài toán 11.35. Giả sử P và Q là các đa thức thoả mãn P 3 6≡ Q2. Chứng minh rằng:
deg(P 3 −Q2) ≥ deg(P ) + 3
2
.
Nếu đặt F = P 3 −Q4 thì ta có:
deg(F ) ≥ 5
2
· deg(Q) + 1.
130 CHƯƠNG 11. ĐẠI SỐ
Bài toán 11.36. Tìm tất cả các hàm số f : R→ R thoả mãn:
f(x− f(y)) = 4f(x)− f(y)− 3x với mọi x, y ∈ R.
Bài toán 11.37. Cho các số thực a, b, c thoả mãn (b− 1)2 − 4ac = 9. Xét dãy các đa thức:{
f(1, x) = ax2 + bx+ c
f(n+ 1, x) = f(1, f(n, x)) với mọi số tự nhiên n.
Tìm số nghiệm thực x ∈ R của phương trình f(n, x) = 1.
Bài toán 11.38. Tìm tất cả các bộ số thực (x1, x2, .., xn) thoả mãn:
(x1 + x2 + ...+ xk)(xk + ...+ xn) = 1 với 1 ≤ k ≤ n.
Bài toán 11.39. Cho a, b là 2 số tự nhiên khác 1. Chứng minh mệnh đề:
bn − 1|an − 1 ∀n ∈ N =⇒ ∃k ∈ N a = bk.
Bài toán 11.40. Giả sử f : R → R là một hàm số thoả mãn với mọi số thực dương x tồn
tại đa thức Pc(x) có tính chất:
|f(x)− Pc(x)| ≤ cx2006 ∀x ∈ R.
Chứng minh rằng f là một đa thức.
Bài toán 11.41. Tìm tất cả các đa thức P hệ số nguyên sao cho đa thức:
Q(x) = (x2 + 6x+ 10)(P (x))2 − 1 = (R(x))2
là bình phương của một đa thức hệ số nguyên.
Bài toán 11.42. Cho số tự nhiên m > 3 và các số p1, p2, .., pn là tất cả các số nguyên tố
không vượt quá m. Chứng minh rằng:
n∑
k=1
(
1
pk
+
1
p2k
)
≥ ln(ln(n)).
Bài toán 11.43. Tìm tất cả các số thực a, b sao cho với mọi n và xn là nghiệm của phương
trình
cosx
x
= n ta luôn có cos axn + cos bxn ≥ 2− x2n.
Bài toán 11.44. Tìm tất cả các số thực k sao cho tồn tại hàm số f khả vi trên toàn R thoả
mãn với mọi số thực x thì: {
f(x) ≤ 1
(f(x))2 + (f ′(x))2 = k.
Bài toán 11.45. Tìm tất cả các hàm số f : [0, 1]→ [0, 1] thoả mãn:
f(xy) = xf(x) + yf(y) với mọi x, y ∈ R.
131
Bài toán 11.46. Tìm tất cả các toàn ánh f : R→ R thoả mãn:
f(f(x − y)) = f(x)− f(y) với mọi x, y ∈ R.
Bài toán 11.47. Cho x là một số thực thoả mãn [nx2] = [x[xn]] + 1 với số tự nhiên n bất
kỳ. Chứng minh rằng x =
1 +
√
5
2
.
Chứng minh rằng nếu x3 = x2+1 và x > 0 thì tồn tại các số {Cn} nhận giá trị 0, 1, 2 mà:
[nx] + [nx2] + [nx3] = [x[n4]] + Cn.
Bài toán 11.48. Một học sinh chơi với các hệ số của phương trình bậc hai như sau. Lấy hai
số p, q bất kỳ, xét phương trình x2 + px+ q = 0. Nếu phương trình có hai nghiệm p1, q1 thi lại
xét phương trình x2 + p1x+ q1. Hỏi học sinh đó có thể chơi quá 5 lượt hay không (không tính
phương trình đầu tiên).
Bài toán 11.49. Cho tập hợp hữu hạn A có không ít hơn 6 phần tử sao cho nếu a, b, c, d, e, f
là 6 phần tử phân biệt của A thì ab+ cd+ ef cũng thuộc vào A. Tìm giá trị lớn nhất của số
các phần tử của A.
Bài toán 11.50. Trên mặt phẳng toạ độ cho 101 đường thẳng và đánh dấu tất cả các giao
điểm của chúng. Hỏi có thể xảy ra hay không tình huống trên mỗi đường thẳng có đúng 50
điểm đánh dấu có hoành độ dương và 50 điểm được đánh dấu khác có hoành độ âm.
a