Xây dựng trường số phức C

Xây dựng trường số phức C Xét R2 = { (a,b) | a, b  R} với 2 phép toán + và x được định nghĩa như sau:	(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) 	(a,b) (c,d) = (ac-bd, ad +bc)	Chứng minh (R2 , +, .)-Trường.(R2 , +) - Nhóm Aben.(R2 \{(0,0)} , .) - Nhóm nhân giao hoán có đơn vị. Phép nhân phân phối với phép cộng: (R2 , +) - Nhóm Aben.Thật vậy:  (a,b) ; (c,d) ; (e,f)  R2 ta có: (a,b) + ((c,d)+(e,f)) = (a+c)+(c+e, d+f) = (a+(c+e), b+(d+f))= ((a+c)+e, (b+d)+f) =((a, b)+(c, d)) +(e+f) (a,b) + (c,d) =(a+c, b+d)=(c+a, d+b)= (c, d) + (a, b) (0, 0)  R2 ta có (0, 0) + (a, b) = (0+a, 0+b)= (a, b) => (0, 0) phần tử trung lập.Với mỗi (a, b)  R2 ta có (-a, -b)  R2 (a, b) +(-a, - b) = (a - a, b - b) = (0, 0) => (-a, -b) phần tử đối của (a, b).	 (R2 \{(0,0)} , .) - Nhóm nhân có đơn vị.Thật vậy:  (a,b) ; (c,d) ; (e,f)  R2 ta có: (a,b) ((c,d) (e,f)) = (a+b)(ce - df, cf + de) = (a(ce - df) - b(cf + de), a(cf + de) + b(ce - df)) = (ace - adf - bcf + bde, acf + ade + bce - bdf) = ((ac - bd)e -(ad + bc)f, (ac - bd)f + (ad + bc)e) = (ac - bd, ad + bc) (e, f) = ((a, b) (c, d)) (e, f).(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc) = (ca - db, da + cb) = (c, d)(a, b). Phần tử đơn vị và phần tử đối (1, 0)  R2 ta có (1, 0) (a, b) = (1a - 0 b, 1b + 0 a)= (a, b) => (1, 0) phần tử đơn vị. Với mỗi (a, b)  R2 , (a, b) # (0, 0) ta có (a', b')  R2 và (a, b) (a', b') = (aa'-bb', ab' + a'b) = (1, 0) =>  aa' - bb' =1 (1) và ab' + a'b =0 (2) a # 0 từ (2) => b' = - a'b/b thay vào (1) ta được a' = a/(a2+b2) và b' = -b/ (a2+b2) => (a/(a2+b2), -b/(a2+b2) là phần tử đối của (a, b). Phép nhân phân phối với phép cộng 	(a,b) ((c,d) + (e,f)) = (a,b) ((c + e), (d + f)) = (a(c+e)-b(d+f), a(d+f)+b(c+e) =(ac+ae-bd-bf, ad+af +bc+be) = (ac -bd +ae -bf), ad+be+ af +bc) =(ac -bd, ad +bc) + (ae-bf, af+be) =(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f) (R2 , +, .) là 1 trường   Ta thấy: (a,b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) ký hiệu (a, 0) = a ; (b, 0)=b ; (0,1)=i =>(a,b) = a + bi và ta có (a,b)+(c,d)=(a+bi)+(c+di)=(a+c) + (b+d)i (0,1)(0,1) =(0-1, 0-0) = (-1,0) =i2 (a,b)(c,d)=(a+bi)(c+di)=(ac-bd) + (ad+bc)iTa ký hiệu trường R2 = C và gọi trường số phức.	C trường số phức   	 z = a + bi  C là 1số phức ; a phần thực, b phần ảo của số phức. Một số phức phần thực bằng 0, phần ảo # 0 gọi là số phức thuần ảo.Cộng 2 số phức: cộng phần thức với nhau và cộng phần ảo với nhau.Nhân 2 số phức ta nhân bình thường và thay i2 = -1.2 số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thức bằng nhau và phần ảo bằng nhau.Với a  R => a = a + 0i  C => R  C Trường số thực là trường con của trường số phức.Trong C phương trình x2 + 1 = 0 có 2 nghiệm +i và - i ; C = R2 trường số phức lấp đầy mặt phẳng. Biểu diễn hình học của số phứcTrong mp lấy hệ toạ độ Đề các xOy, mỗi véc tơ cho ta một cặp (a,b) gọi là toạ độ của Gọi E ={ } ta có song ánhBiểu diễn hình học của số phức.Vậy tổng, hiệu 2 véc tơ z, w là tổng, hiệu 2 số phứcZ-wz+w-wOwzxyMô-đun và acgumen của số phứcCho số phức z=a+bi, trên mp trong hệ trục toạ độ Đề các, z xác định bởi độ dài r và góc  giữa véc tơ z và chiều dương trục hoành..Ta có dạng biểu diễn lượng giác của số phức r > 0 gọi là mô-đun kí hiệu |z|=rGóc  sai khác 2k gọi là acgumen của số phức kí hiệu  = argzyxbrOazViết các số phức sau dưới dạng lượng giác:  1, -1, i, -i, 1+i, 1-i 1 = 1 + 0i = 1(cos0 +i sin0)-1 = -1 + 0i = 1(cos + isin ) i = 0 + 1i = 1(cos /2 +isin /2)- i = 0 - 1i = 1(cos 3/2 +isin 3/2)Tích 2 số phức dạng lượng giác  	Cho 2 số phức viết dạng lượng giác:Nhân 2 số phức, ta nhân các mô đun của chúng với nhau, và cộng các acgumen của chúng với nhau.Tích 2 số phức dạng lượng giác  	Vài tính chất của mô đun  	 Cho số phức z = a + bi ; |z| gọi là độ dài véc tơ hay mô đun véc tơ z Một số tính chất của mô đun (tương tự t/c số thực)Số phức liên hợp  	 Một số tính chất : định nghĩa: Cho số phức z = a + bi ; gọi là số phức liên hợp của z. véc tơ số phức z = a + bi và liên hợp đối xứng nhau qua trục ox nên:0xyzNâng luỹ thừa số phức   Dạng véc tơ   Dạng lượng giác Chú ý Ví dụ Ví dụCông thức Moa-vrơ   Ta có Ví dụ 1   Từ đó ta có thể tính được sin, cos các góc bội Ví dụ 2Khai phương số phức Ta có:   Ta tìm căn bậc 2 của số phức z=a+bi, tức là tìm số phức u=x+yi để Ví dụ 1 Ví dụ 2Nhận xét   Công thức nghiệm của pt bậc 2:   Phương trình vô nghiệm khi :  Trong C phương trình bậc 2 trên luôn có nghiệm là : Khai căn bậc n  Tìm căn bậc n của số phức z = r(cos+isin)  0. tức là tìm số phức  Căn bậc n của số phức z, gồm n phần tử ứng với k=0, 1, 2 .., n-1.  Ví dụ: Tìm Khai căn bậc n x2iy-2i2-20Khai căn bậc n  Ví dụ: Tìm Khai căn bậc n x2iy-2i2-20Khai căn bậc n  Ví dụ: Tìm xiy-i1-10Các căn bậc n của đơn vị  Vì xiy-i1-10  Một số căn đơn vị xiy-i1-10Bài tập 1. đọc phần căn đơn vị 2. Làm bài tập trang 85