20 Chuyên đề bồi dưỡng Toán 8

    .3x laø soá leû  ; 2y y  laø hai soá leû lieân tieáp 
 ; 2 1 ; 2y y y y     laø caùc luyõ thöøa cuûa 3, neân: 
 
  
3 *
3 2 3
2 3 **
m
m n
n
y
m n x m n
y
          
  Vôùi: 0; 1 1; 1.m n y x      
  Vôùi: 1; 1m n   Töø         
3
* ; ** ; 2 1
2 3
y
y y
y
    

 ( voâ lí) 
 Phöông trình coù nghieäm nguyeân: 1
1
x
y
  
 - PHÖÔNG PHAÙP 4: Phöông phaùp söû duïng baát ñaúng thöùc 
  Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi caùc phöông trình maø hai veá laø 
nhöõng ña thöùc coù tính bieán thieân khaùc nhau. 
 - AÙp duïng caùc baát ñaúng thöùc thöôøng gaëp: 
 *Baát ñaúng thöùc Coâ – si: 
 Cho n soá khoâng aâm: 1 2 3; ; ;......; na a a a . Khi ñoù: 
 1 2 3 1 2 3
...... . . .......n n n
a a a a a a a a
n
     . Daáu “=” xaûy ra 1 2 3 ...... na a a a     
 * Baát ñaúng thöùc Bunhiacoâpxki: 
 Cho 2n soá thöïc: 1 2 3; ; ;......; na a a a vaø 1 2 3; ; ;......; nb b b b . Khi ñoù: 
www.VNMATH.com
109
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
     21 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3. . . .... . . . .... . ....n n n na b a b a b a b a a a a b b b b             . 
 Daáu “=” xaûy ra  1;i ia kb i n   . 
 *Baát ñaúng thöùcgiaù trò tuyeát ñoái: 
. 0
. 0
a b a b
a b
a b a b
        
 Caùc ví duï minh hoaï: 
Ví duï 1: Tìm ;x y Z  thoaû: . . . 3x y y z z x
z x y
   (1) 
 AÙp duïng BÑT Coâ – si. Ta coù: 33. . . . . .3 3. . . 3. . .x y y z z x x y y z z x x y z
z x y z x y
     . 
 3 . . 1 . . 1 1x y z x y z x y z        
 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 1x y z   
 Ví duï 2: Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình:    2 2 21 3 1x y x y     (2) 
 (Toaùn Tuoåi thô 2) 
 Theo Bunhiacoâpxki,ta coù: 
       2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 3 1x y x y x y          
 Daáu “=” xaûy ra 1 1
1 1 1
x y x y      
 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 1x y  
 Ví duï 3: Tìm taát caû caùc soá nguyeân x thoaû maõn: 
 3 10 101 990 1000 2004x x x x x          (3) 
 Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: 
 Ta nhaän thaáy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 vaø a a  
 Ta coù:(3) 3 10 101 990 1000 2004x x x x x           . 
www.VNMATH.com
110
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 Maø 
3 3
10 10
101 101 2004 101 2003 101 1
990 990
1000 1000
x x
x x
a a x x x x
x x
x x
                       
 Do ñoù:        1 101 1 101 1;0;1 102; 101; 100x x x             . 
 Vôùi 101 2004 2003x     (voâ lí). Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø:  102; 100x   
1) T×m c¸c sè nguyªn x,y,z tho¶ m·n: 2 2 2 3 2 3x y z xy y z      
 V× x,y,z lμ c¸c sè nguyªn nªn 
 2 2 2 3 2 3x y z xy y z      
 2 22 2 2 2 233 2 3 0 3 3 2 1 04 4y yx y z xy y z x xy y z z                           
 2 2 23 1 1 0
2 2
y yx z                (*) Mμ  
2 2
23 1 1 0
2 2
y yx z               ,x y R  
  2 2 23 1 1 0
2 2
y yx z               
0
2 1
1 0 2
2
11 0
yx
x
y y
zz
            
 C¸c sè x,y,z ph¶i t×m lμ 
1
2
1
x
y
z
  
PHÖÔNG PHAÙP 5: Phöông phaùp löïa choïn 
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy ñöôïc söû duïng vôùi caùc phöông trình maø ta coù theå nhaåm 
(phaùt hieän deå daøng) ñöôïc moät vaøi giaù trò nghieäm 
 - Treân cô sôû caùc giaù trò nghieäm ñaõ bieát. AÙp duïng caùc tính chaát nhö chia heát; soá dö; soá 
chính phöông; chöõ soá taän cuøng .. ta chöùng toû raèng vôùi caùc giaù trò khaùc phöông trình voâ 
nghieäm 
 Caùc ví duï minh hoaï: 
Ví duï 1: Tìm ;x y Z  thoaû maõn: 6 3 43 1x x y   
 Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: 
www.VNMATH.com
111
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 Ta thaáy vôùi 0; 1x y   thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng. Ta caàn chöùng minh 
phöông trình voâ nghieäm vôùi 0x  
 + Vôùi 0; 1x y   thì phöông trình ñöôïc nghieäm ñuùng 
 + Vôùi 0x  . Khi ñoù: 
    2 26 3 6 3 6 3 3 4 32 1 3 1 4 4 1 2x x x x x x x y x             (*) 
 Vì    3 31 ; 2x x  laø hai soá nguyeân lieân tieáp neân khoâng coù giaù trò naøo cuûa y thoaû (*) 
 Vaäy 0; 1x y   laø nghieäm cuûa phöông trình. 
Ví duï 2: Tìm ;x y Z  thoaû: 2 2 11 3 yx x    (2) 
 (Taïp chí Toaùn hoïc vaø tuoåi treû ) 
 Goïi b laø chöõ soá taän cuøng cuûa x ( Vôùi  0;1;2;...;9b . Khi ñoù:  2 1x x  coù chöõ soá taän 
cuøng laø: 1, 5 hoaëc 9. (*) 
 Maët khaùc: 2 13 y laø luyõ thöøa baäc leû cuûa 3 neân coù taän cuøng laø 3 hoaëc 7. (**) 
 Töø (*) vaø (**) suy ra phöông trình voâ nghieäm. 
Ví duï 3: Tìm ;x y Z  thoaû maõn: 2 26 13 100x xy y   (3) 
 (3)        2 2 2 2
5
3 4 25
25
y
x y
y n n
          
 Do ñoù:    5; 4; 3;0;3;4;5 3;9;11;13y x      
Phöông trình coù nghieäm nguyeân:                 ; 5;3 ; 4;9 ; 3;11 ; 0;13 ; 3;11 ; 4;9 ; 5;3x y     
 PHÖÔNG PHAÙP 6: Phöông phaùp luøi voâ haïn (xuoáng thang) 
 Phöông phaùp: Phöông phaùp naøy thöôøng söû duïng vôùi nhöõng phöông trình coù (n – 1) aån 
maø heä soá coù öôùc chung khaùc 1 
 - Döïa vaøo tính chaát chia heát ta bieåu dieãn aån theo aån phuï nhaèm “haï” (giaûm bôùt) haèng 
soá töï do, ñeå coù ñöôïc phöông trình ñôn giaûn hôn. 
 - Söû duïng linh hoaït caùc phöông phaùp ñeå giaûi phöông trình ñoù. 
www.VNMATH.com
112
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
Caùc ví duï minh hoaï: 
Ví duï 1: Giaûi phöông trình: 3 3 33 9 0x y z   (1) 
 Nhaän xeùt – Tìm höôùng giaûi: 
 Ta thaáy  3 3 3 3 3 33 9 0 3 9 3x y z x y z       maø  3 33 9 3y z   neân 3 3x  
 Ta coù: (1)  3 3 3 3 13 9 3 3 3 3x y z x x x x         
 Khi ñoù: (1)    3 3 3 3 3 3 31 1 127 3 9 3 9 3 3 3 3 3x y z x y z y y y y             . 
  3 3 3 31 1 19 27 3 3 3 3 3x y z z z y z         . 
 * Tieáp tuïc söï bieåu dieãn treân vaø neáu goïi 0 0 0; ;x y z laø nghieäm cuûa (1) vaø thì 
 0 0 0; ;3 x y zU vaø 0 0 00 ; ; 9x y z  . Thöïc hieän thöû choïn ta ñöôïc: 0 0 0 0x y z   
 Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø: 0 0 0 0x y z   
c¸c bμi tËp KH¸C 
1/Dïng ®Þnh nghÜa 
 1) Cho abc = 1 vμ 363 a . . Chøng minh r»ng 
3
2a b2+c2> ab+bc+ac 
Gi¶i 
Ta cã hiÖu: 
www.VNMATH.com
113
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 
3
2a b2+c2- ab- bc – ac = 
4
2a 
12
2a b2+c2- ab- bc – ac 
= ( 
4
2a b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 
12
2a 3bc =(
2
a -b- c)2 +
a
abca
12
363  
 =(
2
a -b- c)2 +
a
abca
12
363  >0 (v× abc=1 vμ a3 > 36 nªn a >0 ) 
VËy : 
3
2a b2+c2> ab+bc+ac §iÒu ph¶i chøng minh 
2) Chøng minh r»ng 
 a) )1.(21 2244  zxxyxzyx 
 b) víi mäi sè thùc a , b, c ta cã : 036245 22  baabba 
 c) 024222 22  baabba 
 Gi¶i : 
 a) XÐt hiÖu : 
 H = xxzxyxzyx 22221 222244  =      22222 1 xzxyx 
 H0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
 b) VÕ tr¸i cã thÓ viÕt 
 H =     1112 22  bba 
  H > 0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
 c) vÕ tr¸i cã thÓ viÕt 
 H =    22 11  bba 
  H  0 ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
Ii / Dïng biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng 
 1) Cho x > y vμ xy =1 .Chøng minh r»ng :    82
222


yx
yx 
 Gi¶i : 
Ta cã     22 2222  yxxyyxyx (v× xy = 1) 
        4.4 24222  yxyxyx 
Do ®ã B§T cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi 
www.VNMATH.com
114
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
      224 .844 yxyxyx       044 24  yxyx    22 2 0x y     
B§T cuèi ®óng nªn ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
2) Cho xy  1 .Chøng minh r»ng : 
xyyx  1
2
1
1
1
1
22 
 Gi¶i : 
Ta cã 
xyyx  1
2
1
1
1
1
22  01
1
1
1
1
1
1
1
222 







 xyyyx 
        01.11.1 2
2
2
2



xyy
yxy
xyx
xxy        01.1 )(1.1 )( 22    xyy yxyxyx xyx 
         01.1.1 122
2


xyyx
xyxy 
B§T cuèi nμy ®óng do xy > 1 .VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh 
Iii / dïng bÊt ®¼ng thøc phô 
 1) Cho a , b, c lμ c¸c sè thùc vμ a + b +c =1 
 Chøng minh r»ng 
3
1222  cba 
 Gi¶i : 
 ¸p dông B§T BunhiaC«pski cho 3 sè (1,1,1) vμ (a,b,c) 
 Ta cã     2222 .111.1.1.1 cbacba  
     2222 .3 cbacba  
  
3
1222  cba (v× a+b+c =1 ) (®pcm) 
2) Cho a,b,c lμ c¸c sè d−¬ng 
 Chøng minh r»ng   9111. 

 
cba
cba (1) 
 Gi¶i : 
 (1)  9111 
a
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a  93 

 

 

 
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a 
www.VNMATH.com
115
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 ¸p dông B§T phô 2
x
y
y
x Víi x,y > 0 
 Ta cã B§T cuèi cïng lu«n ®óng 
 VËy   9111. 

 
cba
cba (®pcm) 
Iv / dïng ph−¬ng ph¸p b¾c cÇu 
 1) Cho 0 < a, b,c <1 .Chøng minh r»ng : 
 accbbacba 222333 3222  
 Gi¶i : 
 Do a <1  2a <1 vμ b <1 Nªn    0101.1 2222  bababa 
 Hay baba  221 (1) 
 MÆt kh¸c 0 <a,b <1  32 aa  ; 3bb   3321 baa  
 VËy baba 233 1 
 T−¬ng tù ta cã : 
acca
cbcb
233
233
1
1

 
 accbbacba 222333 3222  (®pcm) 
2) So s¸nh 31 11 vμ 17 14 
Gi¶i : 
 Ta thÊy 1131 <  1111 5 55 5632 2 2 2   
 MÆt kh¸c  1456 4.14 4 14 142 2 2 16 17    
 Vëy 31 11 < 17 14 (®pcm) 
V/ dïng tÝnh chÊt tØ sè 
vÝ dô 4: Cho 4 sè a,b,c,d bÊt kú, chøng minh r»ng: 
 222222 )()( dcbadbca  
Gi¶i: Dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski 
 ta cã ac + bd  2222 . dcba  
 mμ       222222 2 dcbdacbadbca    22222222 .2 dcdcbaba  
www.VNMATH.com
116
20 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8 
TRƯỜNG THCS TIẾN THẮNG 
 222222 )()( dcbadbca  
www.VNMATH.com
117