Bài 2: Phương trình lượng giác

 8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x ; 2
3
k
x kpi pi pi = + 
 
9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x kpi= 10/ 2sin sin 1 sin cosx x x x+ = − − ; 5 1;sin
2
x k xpi −= =
11/cos2 ( )2sin 2 cos4 x xpi +   -1= 2 2tan tan4x xpi +   24x k
pi
pi=− + 
12/ 2 32 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
x x x xpi pi pi pi       
− − − = − − +       
       
5 5 55 ; 5 ; 5
12 3 4
x k k kpi pi pipi pi pi = − + − + + 
 
Dạng 8 : Giảiphương trình bằng phương pháp không mẫu mực : 
Vấn ñề 1: Phương trình LG phải ñặt ẩn phụ góc A hoặc ñặt hàm B 
 Giải phương trình 
1/ sin( 3
10 2
xpi
− )= 1
2
sin( 3
10 2
xpi
+ ) 3 4 142 ; 2 ; 2
5 15 15
x k k kpi pi pipi pi pi = + + + 
 
 2/ sin(3
4
x
pi
− )=sin2x sin(
4
x
pi
+ ) 
4 2
x kpi pi= + 
3/(cos4x/3 – cos2x): 21 tan x− =0 ; 3x k pi= 4/ cosx-2sin( 3
2 2
xpi
− )=3 ; 4x k pi= 
5/ cos( 72
2
x
pi
− )=sin(4x+3pi ) ; ;
6 2
k
x kpi pipi = ± + 
 
 6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx ; 2 ; 2
3 4
x k kpi pipi pi = ± + ± + 
 
7/2cot2x+ 2
2
cos x
+5tanx+5cotx+4=0 
4
x kpi pi=− + 8/ cos2x+ 2
1
cos x
=cosx+ 1
cos x
x kpi=
 ðậu Thanh Kỳ - Trường THPT Diễn Châu IV 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 15
9/sinx- cos2x+ 1
sin x
+2 2
1
sin x
=5; 72 ; 2 ; 2
2 6 6
x k k kpi pi pipi pi pi = + − + + 
 
 11/1 sin 2
1 sin 2
x
x
+
−
+21 tan
1 tan
x
x
+
−
=3 { }; ,tan 2x k kpi α pi α= + = 
Vấn ñề 2 : Phương trình LG không mẫu mực, ñánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 ñồ 
thị bằng ñạo hàm 
 Ví dụ 1 : (ðưa về dạng 1 2( ) ( ) ... ( ) 0nf x f x f x+ + + = trong ñó ( ) 0if x x D≥ ∀ ∈ ) 
Giải phương trình sau : 
( )
10 2 6 2 2 2
22 2 2
.sin x sin 4 0 .sin 1 os 2 .sin x 2sinx 2 sin 3
1
. os 2 sin 4 1 sin4 os2 sin .4cos 2 os2 os4 7 . os4 os2 sin 5
4
a x b x c x c x
d c x x xc x x e x c x c x f c x c x x
+ = + = − + =
+ + = + + + = − + − =
 Ví dụ 2 : (ðánh giá hai vế ( )( ) ; ( ) ( ) ( ) ( )
f x af x a g x a f x g x
g x a
=
≥ ≤ ⇒ = ⇔ 
=
) 
Giải phương trình sau : 
10 10 6 6
12 16
2 2
sin os sin os
.sin os 1( ) .sin 4 os16 1( ) .
2 8 2 4 4 os 2 sin 2
k k x c x x c x
a c x b xc x x c
c x x
pi pi pi + +
+ = = = = + =
+
 Ví dụ 3 : (sử dụng BðT cổ ñiển) 
Giải phương trình sau : 
a. cos3x+ 22 cos 3x− =2(1+sin22x) x kpi= ; b. 2os3 2 os 3 2(1 sin 2 )( 2 )c x c x x x k pi+ − = + = 
c. 2 2sinx 2 sin x sinx 2 sin x 3+ − + − = ( 2
2
x kpi pi= + ) d. sinx 2sin 2 sin3 2( )x x VN− − = 
 Ví dụ 4 : Giải phương trình sau : 2 5 2.sinx 1 . os 0a x x b c x x= + + + = 
Ví dụ 5: Giải phương trình sau : sin2x + sin2y + sin2(x + y) = 9
4
 (5) (bộ ñề 105.II) 
Giải : (5) ⇔ 1 2
2
1 2
2
−
+
−cos cosx y
+ 1 - cos2(x + y) = 9
4
 ⇔ cos2(x + y)+cos(x + y)cos(x - y)+ 1
4
= 0 
⇔ [cos(x + y) + 1
2
cos(x - y)]2 + 1
4
[1 - cos2(x - y)] = 0 ⇔ sin( )
cos( )
x y
x y
− =
+ =



0
1
2
 ⇔ 
y x l
x k l
= +
= ± + −



pi
pipi pi6 2
⇔ 
y k l
x k l
= ± +
= ± + −



pi pi
pi pi
pi
pi
6 2
6 2
1/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x 
4
x kpi pi= + 
3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x ( )0;pi∈ 4/ cos4xcos22x+ 1 cos3x− +1=0 2 2
3
x kpi pi = ± + 
 
5/ sin cosx xpi = 0x= 6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k ∈Z* ñể hệ có nghiệm 7/ 1-
2
2
x
=cosx 
8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x 
2
x kpi pi= + 9/ ( ) 11 cos 1 cos cos 2 sin 42x x x x− + + = 24x kpi pi= ± + 
IV. Phương pháp ñánh giá : 
 * sinx + 2sin2x = 3 + sin3x ⇔ 2sin2x - 2sinxcos2x = 3. VN Vì: 22 + 22sin2x < 32 
1. a. ðH Thương mại. 97: cos2x + cos 3
4
x
 = 2. Vì: cos2x ≤ 1; cos 3
4
x
 ≤ 1 Nên: PT ⇔ 
cos
cos
2 1
134
x
x
=
=



 Bạn tự giải tiếp. 
b. CðSP Quảng Ninh (T). 97: 2cos2x + 3cosx - 5 = 0 ⇔ 2cos2x + 3cosx = 5 
 ðậu Thanh Kỳ - Trường THPT Diễn Châu IV 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 16
 Vì: 2cos2x ≤ 2; 3cosx ≤ 3 Nên: PT ⇔ cos
cos
2 1
1
x
x
=
=



 ⇔ x = 2kpi. 
c. ðH Thuỷ lợi. 97: sin6x + cos6x = 1. Vì: sin6x ≤ sin2x; cos6x ≤ cos2x. 
Nên: sin6x + cos6x ≤ sin2x + cos2x = 1. Vậy: PT ⇔ sin sin
cos cos
6 2
6 2
x x
x x
=
=



 ⇔ x = kpi. 
d. 94.III.2: sin14x + cos13x = 1 ⇔ sin sin
cos cos
14 2
13 2
x x
x x
=
=



 ⇔ 
sin
sin
cos
cos
x
x
x
x
=
= ±



=
=










0
1
0
1
⇔ x = k pi
2
e. 109.II.2: s in c o s s in c o s
c o s s in
1 0 1 0 6 6
2 24 4 2 2
x x x x
x x
+
=
+
+
. Ta có: VP = s in c o s
c o s s in
6 6
2 24 2 2
x x
x x
+
+
 = 
= 
(sin cos ) sin cos (sin cos )
sin
2 2 3 2 2 2 2
2
3
4 3 2
1
4
x x x x x x
x
+ − +
−
=
. Vậy PT ⇔ sin10x + cos10x = 1 Bạn tự giải tiếp. 
f. ðH An Ninh. 97: (cos2x - cos6x)2 = 6 - 2sin3x. VT ≤ 4; VP ≥ 4 Bạn tự giải tiếp ⇔ Vô 
nghiệm. 
g. 74.II.1: (cos4x - cos2x)2 = 5 + sin3x. Bạn tự giải tiếp. 
 74.II.2: Giải và biện luận (cos4x - cos2x)2 = (a2 + 4a + 3)(a2 + 4a + 6) + 7 + sin3x. 
 Giải: VT ≤ 4. VP = [(a + 2)2 - 1][(a + 2)2 + 2] + 7 + sin3x = t4 + t2 + 5 + sin3x = t2(t2 + 1) + 5 
+ sin3x ≥ 4. 
 Vậy: PT ⇔ VT
VP
=
=



4
4
 ⇔ 
t
x
x x
=
= −
− = ±





0
3 1
4 2 2
s in
cos cos
 Bạn tự giải tiếp. 
h. ðH Kiến trúc. 97: sin3x(cosx - 2sin3x) + cos3x(1 + sinx - 2cos3x) = 0 ⇔ 
 ⇔ sin3xcos3x - 2sin23x + cos3x + cos3xcosx - 2cos23x = 0 ⇔ cos2x + cos3x = 2. Bạn tự 
giải tiếp. 
i. 35.II: sinx + cosx = 2 (2 - sin3x). VT = 2 sin(450 + x) ≤ 2 . VP ≥ 2 . Bạn tự giải tiếp. 
2. a. ðH Quốc gia. 96: 8 sin2 x + 8 cos2 x = 10 + cos2y ⇔ 8 sin2 x + 8 1 2−sin x = 9 + 2cos2y. 
 ðặt: 8 sin2 x = t. ðK: 1 ≤ t ≤ 8. PT ⇔ t t
t
2 9 8− +
 = 2cos2y. VP ≥ 0. VT ≤ 0 Vì : t nằm trong 
hai nghiệm 
 Vậy: PT ⇔ t t
y
2 9 8 0
0
− + =
=


 cos
 Bạn tự giải tiếp. 
b. ðH Giao thông vận tải. 98: 6 - 4x - x2 = 5
|sin cos |yx yx
. VP = 10
2| sin |yx
≥ 10. 
VT = - (x + 2)2 + 10 ≤ 10 Vậy: PT ⇔ x y
x
= −
= ±



2
12sin
 ⇔ 
x
y k
= −
= ± +



2
22pi pi
c. DL ðông ðô. 98: cos2x + 8 = 7sinx. VP ≤ 7; VT ≥ 7. Hệ ⇔ c o s
s in
2 1
1
x
x
= −
=



 x = 
pi
2
 + 2kpi 
e. 99.V: tg2x + tg2y + cotg2(x + y) = 1 (*). Vì Cotg(x + y) = 1 −
+
tgxtgy
tgx tgy
 ⇔ (tgx + tgy)cotg(x + y) 
= 1 - tgxtgy ⇔ ⇔ tgxtgy + tgy(cotg(x + y) + tgx(cotg(x + y) = 1 (**). Lấy (**) trừ (*): 
 tg2x - tgxtgy + tg2y + cotg2(x + y) - tgxcotg(x + y) - tgycotg(x + y) = 0 Nhân với 2: 
 (tgx - tgy)2 + [tgx - cotg(x + y)]2 + [tgy - cotg(x + y)]2 = 0 ⇔ 
 ⇔ 
tgx tgy
tgx g x y
=
= +


 cot ( )
 ⇔ 
x y k
x x y l
= +
= − − +



pi
pipi2
⇔ Bạn tự giải tiếp. 
f. 131.III.2: sin2x + 1
4
sin23x = sinxsin23x ⇔ sin2x + 1
4
sin23x + 1
4
sin43x = sinxsin23x + 
1
4
sin43x ⇔⇔ sin2x - sinxsin23x + 1
4
sin23x + 1
4
sin43x + 1
4
sin23x - 1
4
sin43x = 0 ⇔ 
 ðậu Thanh Kỳ - Trường THPT Diễn Châu IV 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 17
⇔ [sinx - 1
2
sin23x]2 + 1
4
 sin23x(1 - sin23x) = 0 ⇔ sin
sin
2
1
2
3 1x
x
=
=



 ⇔
cos
sin
3 0
1
2
x
x
=
=



⇔ x kk
k
= +
+
+








30 60
30 360
150 360
0 0
0 0
0 0
g. 91.II.1: sin4xcos16x = 1 ⇔ 
s in
cos
s in
cos
4 1
1 6 1
4 1
1 6 1
x
x
x
x
=
=



= −
= −









 ⇔ 
x k
x k
x k
x k
= +
= +



= − +
= +










pi pi
pi pi
pi pi
pi pi
8 4
32 16
8 1 6
1 6 8
2. a - 77.III.2: [tgx + 1
4
cotgx]n = cosnx + sinnx (n = 2, 3, 4, . . .) 
+ n = 2: VT = [tgx + 1
4
cotgx]2 ≥ 1; VP = 1 Vậy: PT ⇔ tgx = 1
4
cotgx ⇔ tg2x = 1
4
 ⇔ x = ± 
arctg 1
2
 + kpi. 
+ n > 2: VT ≥ 1 ≥ VP. Nhưng vế phải = 1 ⇔ x = k pi
2
 lúc ñó VT không xác ñịnh ⇒ PT vô 
nghiệm. 
b. 136.II.2: (cos2x + 12cos x )
2
 + (sin2x + 12sin x )
2
 = 12 + 0,5siny. VP ≤ 12,5. 
Theo BðT Bunhiacốpxki: a + b ≤ 2 2 2( )a b+ ⇔ 1
2
(a + b)2 ≤ a2 + b2 
VT ≥ 1
2
[cos2x + sin2x + 12 2sin cosx x ]
2
 = 
1
2
[ 1 + 4
22sin x
]2 ≥ 25
2
 = 12,5. 
Vậy PT ⇔ sin
sin
y
x
=
=



1
2 12
⇔ y k
x k
= +
= +



pi
pi pi
pi2
4 2
2
. 
 c. 83.III.1: (cos3 x
2
 + 1
2
3cos
x
)2 + (sin3 x
2
 + 1
2
3sin
x
)2 = 81
4
cos24x. VP ≤ 81
4
. 
VT = cos6 x
2
 + sin6 x
2
 + 
1
6
2cos
x + 
1
6
2sin x
 + 4 = cos6 x
2
 + sin6 x
2
 + 
sin cos
sin cos
6
2
6
2
6
2
6
2
x x
x x
+
 + 4 = 
 = (cos2 x
2
 + sin2 x
2
)3 - 3 cos2 x
2
sin2 x
2
( cos2 x
2
 + sin2 x
2
) + 4 + 1 3 2 2 2 2
1
64
6
− sin cos
sin
x x
x
 = 
 = 5 - 
4
3
sin2x + 64 1 34 2
6
( s in )
s in
− x
x
 ≥ 5 - 
4
3
.1 + 64 1 1
1
3
4( . )−
 = 
81
4
. PT ⇔ cos
sin
2
2
4 1
1
x
x
=
=



 ⇔ x = 
pi
2
 + kpi. 
 d - 101.II.1: sinx - 2sin2x - sin3x = 2 2 . 
 VT = -2cos2xsinx - 2sin2x ≤ [( cos ) ( sin ) ](sin )− + − +2 2 2 2 12 2 2 2x x x = 2 sin2 1x + ≤ 2 2 . 
 Vậy: PT ⇔ 




=
=
1
2sin
sin
2cos
1sin 2
x
x
x
x
 ⇔ Vô nghiệm. 
e - 146.III: sinx + 2 22 2− + −sin sin sinx x x = 3. 
 Ta có: sinx + 2 2− sin x ≤ ( )(sin sin )1 1 22 2 2 2+ + −x x = 2 
 sinx 2 2− sin x ≤ | sinx 2 2− sin x | = |sinx|.| 2 2− sin x | ≤ (|sin | sin |)x x+ −2
2
2
2 ≤ 1 
 Cộng hai BðT thức cùng chiều có: VT ≤ 3. Vậy PT ⇔ sinx = 2 - sin2x ⇔ sinx = 1 ⇔ 
x =900+k3600 
f * . 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2cos28xsinx ⇔ 2cosx - 2cos28xsinx + 2 sin10x = 3 2 ⇔ 
 ⇔ 4 4 282+ cos x [ 2
4 4 2 82
c o s
c o s
x
x+
 - 2 2 8
4 4 2 82
c o s s i n
c o s
x x
x+
] + 2 sin10x = 3 2 ⇔ 
 ⇔ 2 1 1 282+ cos x [ cos
cos
x
x1 282+
 - 
c o s s in
c o s
2 8
1 2 82
x x
x+
] + 2 sin10x = 3 2 
 ðậu Thanh Kỳ - Trường THPT Diễn Châu IV 
Chuyên ñề phương trinh lượng giác 18
 ðặt: 1
1 282+ cos x
 = cosϕ ; co s
cos
2 8
1 2 82
x
x+
 = sinϕ. PT ⇔ 2 1 1 282+ cos x cos(ϕ+x) + 
2 sin10x=3 2 
VT ≤ 2 2 + 2 = 3 2 . Vậy PT ⇔ 
cos
cos( )
sin
2 28 1
1
10 1
x
x
x
=
+ =
=





ϕ ⇔ 
x k
x k
x k
=
= − +
= +





pi
pi pi
ϕ pi
28
20 5
2 
g. sin8x + cos8x = 32(sin12x + cos12x). HD: VT ≥ 1; VP ≤ 1 ⇒ VN.