Bài giảng Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu

Chương 2 Hàm đơn điệu và tựa đơn điệuChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG2.1. Hàm đơn điệuĐặc trưng cơ bản nhất của hàm số và khảo sát các ánh xạ là lớp các hàm đơn điệu.Hàm số đơn điệu xuất phát từ bài toán đơn giản có nhiều ứng dụng	Tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch là các khái niệm sơ khai trong đời sống thì tương ứng với tính đồng biến, nghịch biến trong các chương trình khảo sát hàm số Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG2.1. Hàm đơn điệu	Khi hàm số xác định trên tập 	 và thoả mãn điều kiện với mọi 	 ta đều cóthì là một hàm đơn điệu tăng trên 	 Ký hiệu là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp hoặc với Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp 	 ta đều cóthì là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên được gọi là hàm đồng biến trên Ngược lại, khi là một hàm đơn điệu giảm trên 	Vàthì là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên và được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGCó mối quan hệ giữa hàm đồng biến, nghịch biến với đạo hàm của nóKhi hàm đồng biến và có đạo hàm thì có tính chất đạo hàm không âmNếu hàm đã cho có đạo hàm không âm và các điểm bằng 0 là các tập các điểm rời rạc thì hàm đã cho là đồng biến Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.1. Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng 	(i) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.(ii) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.2. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương ta đều cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.3. Để bất đẳng thứcđược thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm đơn điệu tăng trên Đây cũng là tiêu chuẩn để đánh giá:- Các bất đẳng thức liên quan đến tổng các giá trị của hàm số - giá trị của hàm số tại tổng của nóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGHệ quả 2.1. Giả sử là hàm đơn điệu tăng trong Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNG Nếu bổ sung thêm điều kiện: là hàm đồng biến trên 	 và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự:Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.4. Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.11. Cho hàm số liên tục và nghịch biến trên Khi đó, ta luôn có Tương tự, với liên tục và đồng biến trên thìChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGHệ quả 2.3. Nếu và liên tục và nghịch biến trên thì ta đều có Nếu liên tục và đồng biến trên thì ta đều cóChương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU BÀI GIẢNGĐịnh lý 2.12 [Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev]. Giả sử và là hai hàm đơn điệu tăng và là một dãy đơn điệu tăng:Khi đó với mọi bộ trọng : 	ta đều có