Bài giảng Cực trị của hàm số

: ðể làm ñược câu )c học sinh xem lại so sánh nghiệm phương trình bậc hai ñã ñề cập sách ñại số 
9 và có nhắc lại ñại số 10. 
6. Cho hàm số ( ) 3f x x px q= + + 
)a Với ñiều kiện nào ñể hàm số f có một cực ñại và một cực tiểu ?. 
)b Chứng minh rằng nếu giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình 3 0x px q+ + = có 
3 nghiệm phân biệt?. 
)c Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình 3 0x px q+ + = có ba nghiệm phân biệt là 
3 24 27 0p q+ < 
Hướng dẫn : 
)a 0p < 
)c . 0
3 3
p p
f f
   
   − − − <
   
   
7. 
)a Tìm ,a b ñể các cực trị hàm số ( ) 2 3 25 2 9
3
f x a x ax x b= + − + ñều là những số dương và 
0
5
9
x = − 
là ñiểm cực ñại . 
)b Tìm , ,a b c ñể các cực trị hàm số 3 2y x ax bx c= + + + có giá trị bằng 1 khi 0x = và ñạt cực trị tại 
2x = , giá trị cực trị là 3− . 
)c Tìm ,a b ñể các cực trị hàm số 
2
2
x ax b
y
x
+ +
=
−
 ñạt cực trị tại 3x = và ñường tiệm cận xiên 
1y x= − . 
)d Tìm , ,a b c ñể các cực trị hàm số 
2
2
ax bx c
y
x
+ +
=
−
 có giá trị bằng 1 khi 1x = và ñường tiệm cận 
xiên của ñồ thị vuông góc với ñường thẳng 
1
2
x
y
−
= . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-63- 
)e Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ñạt cực tiểu tại ( )1; 3A − và ñồ thị 
của hàm số cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 . 
Hướng dẫn : 
)a 0a = : Hàm số không có cực trị 
( ) ( )2 2
9
50 ' 5 4 9 ' 0
1
x
aa f x a x ax f x
x
a

= −
≠ = + − ⇒ = ⇔ 
 =

Nếu 0a < , 
0
5
9
x = − là ñiểm cực ñại khi 
0
5 1 9
9 5
x a
a
= − = ⇔ = − , giá trị cực tiểu là số dương nên 
( ) ( )9 361 0
5 5CT
f x f f b
a
 
= − = > ⇔ > 
 
Nếu 0a > , 
0
5
9
x = − là ñiểm cực ñại khi 
0
5 9 81
9 5 25
x a
a
= − = − ⇔ = , giá trị cực tiểu là số dương nên 
( ) 1 4000
243CT
f x f b
a
 
= > ⇔ > 
 
Vậy 
9 81
5 25
36 400
5 243
a a
b b
 
= − =  
 
 > >
  
 ; 
)b 3, 0, 1a b c= − = = 
)c 3, 3a b= − = 
)d 2, 3, 0a b c= = − = 
8. Cho hàm số ( ) ( )3 23 3 2 1 1,f x x mx m x m= − + − + là tham số 
)a Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh . 
)b Xác ñịnh m ñể ( )'' 6f x x> . 
9. 
)a ðịnh a ñể ñồ thị của hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x a x a a x= − + + + + có giá trị 1y >CÑ 
ðáp số: 
)a 
3
0
2
a− < ≠ 
10. Xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu và cực trị ( nếu có ) của hàm số : 
( )) sin2a f x x= 
( )) sin cosb f x x x= + 
( )
( )
2) sin 3 cos , 0;
) 2 sin cos2 , 0;
c f x x x x
d f x x x x
π
π
 = − ∈  
 = + ∈  
 Hướng dẫn : 
( )) sin2a f x x= 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-64- 
Ta có ( ) ( )' 2 cos2 , ' 0 cos2 0 ,
4 2
f x x f x x x l l
π π
= = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ 
( )
4 2
'' 4 sin2 , '' 4 sin
4 2 14 2 4 2
khi l k
f x x f l l k
khi l k
π π π π − =    
= − + = − + = ∈    = +    
 , 
ℤ 
Vậy ( )
4
x k k
π
π= + ∈ ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số . 
( )3
4
x k k
π
π= + ∈ ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số . 
Một bài toán tương tự : ( ) sin2f x x x= − , ñể ý xét ( ) ( )' 0, , ?f x x xπ π= ∈ − ⇒ = 
( )) sin cosb f x x x= + 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ 
( ) ( ) ( ) ( )sin cos 2 sin ' 2 cos , ' 0
4 4 4
f x x x x f x x f x x k k
π π π
π
   
= + = + ⇒ = + = ⇔ = + ∈   
   
 ℤ
( )
2 2
'' 2 sin '' 2 sin
4 4 2 2 2 1
khi k n
f x x f k k
khi k n
π π π
π π
− =      
= − + ⇒ + = − + =      
= +      
Vậy ( )2
4
x n n
π
π= + ∈ ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số . 
( ) ( )2 1
4
x n n
π
π= + + ∈ ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số . 
( ) 2) sin 3 cos , 0;c f x x x x π = − ∈   
( ) ( ) ( ) ( )2sin 3 cos ' sin 2 cos 3 , 0;f x x x f x x x x π= − ⇒ = + ∈ 
Vì ( )0; sin 0x xπ∈ ⇒ > nên trong khoảng ( ) ( ) 3 50; : ' 0 cos
2 6
f x x x
π
π = ⇔ = − ⇔ = 
( ) 5' 0, 0;
6
f x x
π 
• > ∈ ⇒ 
 
hàm số ñồng biến trên ñoạn 
5
0;
6
π 
 
 
( ) 5' 0, ;
6
f x x
π
π
 
• < ∈ ⇒ 
 
hàm số ñồng biến trên ñoạn 
5
;
6
π
π
 
 
 
 • Vì 
( )
( )
5
' 0, 0;
6
5
' 0, ;
6
f x x
f x x
π
π
π
  
> ∈  
     < ∈    
 nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 
5 5 7 3
, 1
6 6 4 4
x f
π π 
= = = 
 
Hoặc có thể kiểm tra 
5 1
'' ... 0
6 2
f
π 
= = − < 
 
( )) 2 sin cos2 , 0;d f x x x x π = + ∈   
( ) ( ) ( ) ( )2 sin cos2 ' 2 cos 1 2 sin , 0;f x x x f x x x x π= + ⇒ = − ∈ 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-65- 
Trong khoảng ( ) ( ) 
2cos 0
0; : ' 0 1
6sin
2 5
6
x
x
f x x
x
x
π
π
π
π

=
 = 
 = ⇔ ⇔ =
 =
 
=

Tương tự câu )a học sinh tự xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu hàm số ; hàm số ñạt cực tiểu tại 
, 1
2 2
x f
π π 
= = 
 
, hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm 
3
,
6 6 2
x f
π π 
= = 
 
 và 
5 5 3
,
6 6 2
x f
π π 
= = 
 
. 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG KỲ THI TÚ TÀI &TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
1. Tìm cực trị của hàm số : 
)a ( ) . xf x x e−= 
)b ( ) 3 23
2
f x x x= + 
)c ( ) 22 3 1f x x x= − + + 
)d ( ) 23 10f x x x= + − 
)e ( ) 3 sin cosf x x x= + 
2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số có cực trị : 
)a ( )
2x mx m
y f x
x m
+ −
= =
+
 )b ( )
2 ( 1)
1
x m x m
y f x
x
+ − −
= =
+
3. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( ) 3 2 7 3y f x x mx x= = + + + có cực trị . 
)b ( ) 4 3 21 32 ( 2) ( 6) 1
4 2
y f x x x m x m x= = − + + − + + có ba cực trị . 
)c ( ) 22 1y f x x m x= = − + + có cực tiểu. 
)d ( )
2 2 2
1
x x m
y f x
x m
− + +
= =
+ −
 có cực ñại , cực tiểu . 
4. Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu?. 
)a 3 2 3 5y x mx mx= + + + 
)b 
2 2x mx m
y
x m
+ −
=
+
)c 
( )2 1 1
2
mx m x
y
mx
+ + +
=
+
ðáp số : 
)a 0 9m m 
)b 1 0m− < < 
)c 2, 0m m< ≠ 
5. Chứng minh rằng với mọi m thì ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu ?. 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-66- 
)a ( ) 4 3 24 2
3
y f x x mx x= = − − 
)b ( )
2 2 3
2
x mx m
y f x
x
+ + −
= =
+
)c ( )
2
1
x mx m
y f x
x
− +
= =
−
6. 
)a Với giá trị nào của m ,hàm số ( )
2 2 22
,
1
x m x m
y f x m
x
+ +
= =
+
 có cực ñại , cực tiểu 
)b Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2, 3 2 3y f x m m x mx= = − − + không có cực ñại , cực tiểu 
ðáp số : 
)a 1 1m− < < )b 0m = 
7. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( ) 3 2 22y f x x mx m= = + + ñạt cực ñại tại 1x = 
)b ( )
2 3 5
1
x mx
y f x
mx
+ +
= =
+
 ñạt cực ñại tại 1 3x = − − 
)c ( ) ( )3 23 5y f x x m x mx m= = − + + + + ñạt cực tiểu tại 2x = 
)d ( ) ( )2 3 25 6 6 6y f x m m x mx x= = − + + + − ñạt cực ñại tại 1x = 
)e ( ) ( )
2 1 1
1
x m x
y f x
x m
+ − +
= =
+ −
 ñạt cực ñại tại 2x = 
8. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( )
2 2 3
2
x mx m
y f x
x
+ + −
= =
+
 có cực ñại , cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng 
2 8 0x y+ + = . 
)b ( ) 3 26 3( 2) 6.y f x x x m x m= = − + + − − có hai cực trị trái dấu . 
)c ( )
22 3
1
x x m
y f x
x
− +
= =
−
 có cực ñại , cực tiểu thoả mãn 8
CD CT
y y− > . 
)d ( )
2 3 2
4
x x m
y f x
x
− + +
= =
−
 có cực ñại , cực tiểu thoả mãn 4
CD CT
y y− = . 
9. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( )
2 22 (2 3) 4x m x m m
y f x
x m
+ + + +
= =
+
 có cực ñại , cực tiểu thoả mãn . 0
CD CT
y y < . 
)b ( ) 3 2 21 ( 3) 4( 3)
3
y f x x m x m x m m= = + + + + + − có hoành ñộ cực ñại 
1
x , cực tiểu 
2
x thoả 
mãn 
1 2
1x x< − < . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-67- 
)c ( ) 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
y f x mx m x m x= = − − + − + có hoành ñộ cực ñại 
1
x , cực tiểu 
2
x thoả mãn 
1 2
2 1x x+ = . 
)d ( ) 3 22 12 13y f x x mx x= = + − − có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu cách ñều trục tung. 
)e 3 23 3 1y x x mx m= − + + − có cực trị mà hoành ñộ cực trị nhỏ hơn 2 
ðáp số 
)e 0 1m< < 
10. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( )
2 3
4
x x m
y f x
x
− + +
= =
−
 có giá trị cực ñại , cực tiểu ñồng thời 4
CT
y y− =CÑ 
)b ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + có cực ñại , cực tiểu 1 2,x x thỏa mãn ñiều 
kiện ( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + 
)c ( ) ( )3 21 5 1
3
m
y x m x m x= − + + − − có cực ñại , cực tiểu 
1 2
,x x ñồng thời hoành ñộ cực ñại, 
cực tiểu thỏa mãn ñiều kiện 
( )1 2 1 2
2 2
1 2
3 4 0
24
x x x x
x x
 + + − <

+ >
)d 3 26 3 2y x x mx m= − + + − có ñiểm cực ñại ( )1 1 1;M x y và ñiểm cực tiểu ( )2 2 2;M x y thỏa mãn 
ñiều kiện 
( ) ( )
1 2
1 2 1 2
0
2
y y
x x x x
−
<
− +
ðáp số : 
)a 3m = 
)b 1 5m m= ∨ = )c 
1
0
7
m− < < 
)d 2 4m− < < 
11. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( ) 3 22 12 13y f x x mx x= == + − − có cực ñại , cực tiểu và các ñiểm cực ñại , cực tiểu cách 
ñều trục Oy 
)b ( ) 3 23
2
m
y f x x x m= = − + có cực ñại , cực tiểu nằm về hai phía của ñường phân giác thứ 
nhất mặt phẳng toạ ñộ của hệ Oxy . 
)c ( )
2 8
1
x mx m
y f x
x
+ − +
= =
−
 có cực ñại , cực tiểu nằm về hai phía ñường thẳng 
9 7 1 0x y− − = . 
)d ( ) 3 22 3( 1) 6( 2) 1.y f x x m x m x= = + − + − − có ñường thẳng ñi qua cực ñại , cực tiểu song 
song với ñường thẳng 2009y x= − + 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-68- 
)e 3 2( ) 2 3( 1) 6 (1 2 )y f x x m x m m x= = + − + − có cực ñại , cực tiểu thuộc ñường thẳng 4y x= − . 
)f ( ) 3 21 1
3 2
y f x x x mx= = + + ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ x m> 
)g 
2 3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
 có cực ñại , cực tiểu ñồng thời hai ñiểm cực trị nằm về hai phía ñối với 
trục Ox . 
Hướng dẫn : 
)f 2' 0y x x m= + + = có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
,x x thoả mãn 
1 2
m x x< < 
( ) 2
1
1 4 0
4
1. ' 2 0 2 0 2
1 1
2 2 2
mm
y m m m m m m
S
m m
 
 
⇔ = + > ⇔ ⇔ < − 
 
 = − > < −
 
) 0 4g m< <