Bài giảng Giải tích 12: Nguyên hàm

Biên soạn : Võ Công ĐôngĐơn Vị : trường THPT dân tộc nội trú tương dương Trường thpt dân tộc nội trú tương dươngtrường thpt- dtnt tương dươngsở giáo dục - đào tạo nghệ anThứ 4 , ngày 10 tháng 12 năm 2008Chương 3Nguyên hàm – tích phân và ứng dụngNguyên hàmTích phânứng dụng tích phân trong hình học1. NGUYấN HÀMI.Nguyờn hàm và tớnh chấtVớ dụ 1: Tỡm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu: 1.Nguyờn hàma) f(x) = 3x2 với b) f(x) = vớiGiải:a) F(x) = với b) F(x) = tanx vớiĐịnh nghĩa :Cho hàm số f(x) xỏc định trờn K, K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của R. Hàm số F(x) được gọi là nguyờn hàm của f(x) trờn K nếu F’(x) = f(x), .Vớ dụ 2: Tỡm một số nguyờn hàm của cỏc hàm số sau:Định lý 2 Nếu F(x) là một nguyờn hàm của f(x) trờn K thỡ mọi nguyờn hàm của f(x) trờn K đều cú dạng F(x) + C , với C là một hằng số.Định lý 1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên Ka) Ta có G(x) = F(x) + C, khi đú : G’(x) = F’(x) = f(x).Vậy G(x) cũng là nguyờn hàm của f(x) trờn K.Chứng minh Giả sử G(x) là một nguyờn hàm của f(x) trờn K, khi đú G’(x) = f(x), . Đặt H(x) = G(x) – F(x). Khi đú: H’(x) = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0, . Suy ra : H(x) = C, C là hằng số.Vậy : G(x) = F(x) + C, .Định lý 2 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số.Chứng minhVớ dụ 3: Theo vớ dụ 2 và ký hiệu trờn ta cú :dấu được gọi là dấu tớch phõn,biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tớch phõn.Khi đú ta gọi F(x) + C là họ tất cả cỏc nguyờn hàm của f(x) trờn K và ký hiệu là : +Cx+Cexũ=dxecx)sin=ũxdxbcos)ũ=xdxa2)+Cx2Vớ dụ 4: Tỡm một nguyờn hàm F(x) của trờn R thỏa món: F(1) = 4.Ta cú : . VậyGiải: a)Biểu thức f(x)dx chớnh là vi phõn của F(x) trờn K. Khi đú ta cú thể viết : (*)Vớ dụ 5: Tỡm cỏc nguyờn hàm sau:=Chỳ ý :2.Tớnh chất của nguyờn hàmTớnh chất 1:Chứng minh:Giả sử Tớnh chất này cũn cú thể phỏt biểu dưới dạng sau:Thật vậy: Ta cú:, do (*).Vớ dụ 6: Ta cú:Vỡ nờn : . Từ đú theo tớnh chất 1 ta cú :Chứng minh:Gọi F(x) là một nguyờn hàm của k.f(x), ta cú :k.f(x) = F’(x)Tớnh chất 2:, k là hằng số thực khỏc 0.Vớ dụ 7: Tính Tớnh chất 3:Vớ dụ 8: Tính:a)Bài tập về nhà: số 1 và số 2 a,b,c. trang100 và 101.Củng cố:Học sinh cần nắm:Định nghĩa nguyên hàm.Các định lý và tính chấtBài giảng đến đõy là kết thỳc. Xin chõn thành cảm ơn và kớnh chỳc sức khỏe cỏc quý thầy cụ và cỏc em học sinh.