Bài giảng Quy nạp kiểu Ehlers

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.3. Quy nạp kiểu EhlersTiếp theo, xét loại quy nạp đặc biệt, thường được sử dụng là quy nạp theo kiểu chuẩn hóa.Bình thường có thể chứng minh BĐT giữa TBC và TBN theo quy nạp bằng cách thông thường nhưng sẽ gặp khó khăn. Vì vậy theo cách chuẩn hóa, không mất tính tổng quát ta xét bộ số dương mà Ta sẽ chứng minhVà việc thêm 1 số hạng nữa vẫn đảm bảo Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGVì vậy, tích =1 đó sẽ cho ta ít nhất trong bộ đó 2 sốNhư vậy có tính chấtVà ta so sánh đượcTừ đó áp dụng quy nạp bình thường.Vậy bằng cách chuẩn hóa tích này ta có thể thực hiện chứng minh bất đẳng thức giữa TBC và TBN theo quy nạp thông thường mà không cần sự viện trợ của quy nạp của CauchyChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.4. Đồng nhất thức HurwitzĐồng nhất thức này xuất phát từ cấu trúc biến đổi các đơn thức và đa thức. Thực chất là biến đổi hàm nhưng lớp hàm ta đang xét là lớp hàm đặc biệt. Nếu ta sử dụng các ký hiệu thông thường của toán học thì ta có thể coi như có hàm số biến thực Ký hiệu P áp lên hàm số đó là tất cả hoán vị của các đối số xoay hết 1 vòngVí dụChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGVới cách viết như vậy ta dễ dàng viết biểu thức ứng với các đa thức đặc biệt Nhận xét rằng khi các đều không âm thì các biểu thức cũng nhận giá trị không âm. Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGVì vậy có thể biến đổiluôn luôn là một số không âm khi cácVì vậy tổng các ta thu đượcVế trái chính làNhìn góc độ biến đổi thì rất sơ cấp nhưng tư tưởng của đồng nhất thức Hurwitz là thực sự cao cấpChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.5. Đẳng thức (phương trình) hàm Đây là phương pháp mô tả quan hệ về hàm số khi ta chuẩn hoá điều kiện tổngNghĩa là coi a như phần tử cố định, tuỳ ý và Như vậy ta có thể coi biểu thứcVà xem xét khi nào thì tích là lớn nhất.Và bằng cách đó sẽ tính ra được Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGTừ đó ta xây dựng hệ thức hàm của biểu thức nàyThực hiện đổi biến ta suy ra đượcTừ đây suy raTừ hệ thức ta thu được chính là điều phải chứng minh.Vậy ta thu được định lý giữa TBC và TBN một cách rất đơn giảnChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.6. Đồng nhất thức JacobsthalĐây là đồng nhất thức cũng trên tư tưởng có thể biểu diễn thông qua hệ thức quen biết là hằng đẳng thức đáng nhớSử dụng kiến thức của hằng đẳng thức đáng nhớThì ta có thể viếtTừ đó có bất đẳng thức Becluni Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGKhi đó ta gọi là trung bình cộng, là trung bình nhân của bộ số thì chúng ta sử dụng đồng nhất thức ở trên thu được hệ thức Đồng nhất thức này sẽ cho ta hệ thức xuất phát từ bất đẳng thức đã nêuChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGThế vào ta thấy rằngHệ quả đượcĐây là phưong pháp hay không những chứng minh mà còn đo được chênh lệch giữa với So sánh độ chênh lệch này được tính toán thông qua hệ số. Đó là phân thức giữa và . Ước lược của ngày cànglớn dần và tiến đến 1 khi Định lý giữa trung bình cộng và nhân như là hệ quả của nó.Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.7. Cực trị của hàm số Khi sử dụng cực trị của hàm số thông thường sẽ rất khó khăn nhưng khi ta xem xét bộ số Với mỗi cố định, ta có thể xem hàm số theo t. Khi t biến thiên ta khảo sát hàm số này như hàm đồng biến trên bộ số cho trước. Như vậy ta có thể tính toán đạo hàm của hàm số nàyTa thấy Và phương trình có nghiệm duy nhất đạt được tạiChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG Vì vậy giá trị tại điểm chính là giá trị nhỏ nhất của hàm Từ đó ta đượcĐây chính là bất đẳng thức cần tìm. Như vậy chúng ta cũng dẫn về bất đẳng thức quen biết đó là so sánh được hiệu vớiVà như vậy chúng ta chứng minh được bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân tăng dần theo các bộ sốChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.8. Hàm exponentTrong cấu trúc tất cả các hàm đang xét thì nếu sử dụng giải tích có thể coi mẫu hàm luỹ thừa là mẫu hàm đơn giản nhất. Đặc thù của đó là tính chất quan trọng là đạo hàm mọi cấp đều vẫn giữ nguyên Chính vì vậy ta có thể dừng khai triển ở chuỗi Taylor ở bất cứ 1 điểm nàoDừng ở cấp 1 thì ta sẽ cóDấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGKhi ta có thì ta sẽ có ngay Từ đó ta thay giá trị là trung bình cộngThì ta sẽ có các bất đẳng thức tương ứngChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGTổ hợp vào ta được tíchTừ đó ta được bất đẳng thức cần tìm.Đây là phương pháp sơ cấp, bằng các phép biến đổi thông thường, lợi dụng vào tính chất đạo hàm của hàm luôn luôn không đổi ta có thể tính toán đượcChương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNG3.1.9. Hoán vị bộ số Việc hoán vị này là một kỹ thuật đặc biệt. Có thể dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức giữa TBC và TBN:Nếu và , thì thấy rằng Vì vậy dễ dàng suy ra được Nếu như là một hoán vị nào đó của bộvà ngược lại Như vậy, không mất tính tổng quát, ta coiKhi đó	Vì vậy:Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN BÀI GIẢNGTiếp theo, ta xem xét trung bình nhân của bộ sốTa đặtThì, theo nhận xét ở trên ta có ngayỞ đây phương pháp đơn giản bằng cách sử dụng tính chất hoán vị của bộ số chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức giữa TBC và TBN cho bộ số dương tuỳ ý