Bài giảng Tự chọn Hình học - Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Và Giải Tam Giác

ình tam giác có hai cạnh dài 40m và 30m, góc xen giữa hai cạnh bằng 600. tính cạnh và các góc còn lại.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn: vẽ tam giác ABC. Ráp độ dài các cạnh vào
Sử dụng đlí nào để tính các cạnh và góc còn lại?
Tính BC ntn?
Tính B^, C^ ntn?
C
B
A
600
Trả lời
AB = 40, AC = 30, 
Aùp dụng đlí cosin ta có:
ÞBC = 36,1 (m)
Aùp dụng đlí sin trong DABC
Bài 2: Tính các cạnh cà góc còn lại của tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a. BC = 109, , 
b. BC = 20, AC = 13 , 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
a) 
các cạnh AB, AC tính ntn?
b) Tính góc B, C ntn? Và cạnh AB tính ntn?
Trả lời
a) áp dụng đlí sin
- 
- 
b) 
 Hoạt động 2: Tính độ dài đường trung tuyến
 Bài 3: Cho DABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi xa, xb, xc là độ dài các đường phân giác trong xuất phát từ các đỉnh A, B, C. tính xa, xb, xc
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Aùp dụng t/chất đường phân giác trong ntn?
Sau đó áp dụng đlí cosin vào tam giác.
Trả lời
Giả sử AD là phân giác trong của gócA.
A
B
C
D
xa
Ta có: 
Trong DABD có: 
Với 
Tương tự ta có xb, xc.
Về nhà xem lại các bài tập liên quan đến ma, mb, mc.
Tiết: 22 CÁC HỆ THỨC LƯỢMG TRONG TAM GIÁC
Hoạt động 1: Làm một số bài toán liên quan đến trung tuyến tam giác – các yếu tố của D
Bài 1: Cho DABC có BC = 10cm, AB = 16, . Tính cạnh, các góc còn lại.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Dùng đlí nào để tính các cạnh AC, góc , 
Dùng công thức nào để tính BM
A
B
C
M
10
16
Trả lời
Aùp dụng định lí sin:
Þ
Aùp dụng đlí đường trung tuyến:
ÞBM = 10,3cm.
 Hoạt động 2: sử dụng công thức đường trung tuyến – chứng minh các hệ thức.
Bài 3: Cho DABC có các cạnh BC, AC, AB lần lướt là các trung tuyến tương ứng bằng ma, mb, mc. chứng minh rằng: 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Aùp dụng đlí đường trung tuyến ntn?
Công thức tính ma, mb, mc 
Làm thế nào để ra được biểu thức cần chứng minh.
Trả lời
Aùp dụng công thức độ dài đường trung tuyến
Trong DABC ta có:
(a2 + b2 + c2)
Þ
Hoạt động 2: Làm các bài tập liên quan đến đường trung tuyến, góc, cạnh tam giác.
Bài 3: Cho DABC có 2 trung tuyến BM = 6, CN = 9. hợp với nhau một góc 1200. tính các cạnh của DABC.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
vẽ hình
 + xác định góc giữa CM, CN là góc nào?
Aùp dụng đlí về trung tuyến của tam giác và đlí cosin trong các tam giác ntn?
Trả lời
A
B
C
N
M
G
Gọi G là trọng tâm DABC
TH1: 
Aùp dụng đlí cosin trong DGBC:
= 4. 19 Þ a = 
Trong DGMC:
b = 
Trong DGBN:
c = 
TH2: 
 BGC = 600
 Tương tự như trên ta có:
 a = , b = , c = 
 Tiết: 23 CÁC HỆ THỨC LƯỢMG TRONG TAM GIÁC
 Hoạt động 1: Tính diện tích DABC, bán kíhn đường tròn:
 Vd: Cho DABC có AC = 14cm, AB = 10, . Tính 
BC, SDABC, đường cao AH, DABC
Bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Dựa vào công thức tính nào tính BC
 Aùp dụng công thức tính SDABC. Nêu công thức tính SDABC
Hàm tính R, r ta dựa vào công thức nào?
Trả lời
A
B
C
10
14
H
a. 
 vì sinA>0
Mặt khác ta có:
b.
theo đlí sin ta có:
Bài 2: Chứng minh rằng: SDABC có thể tính theo công thức:
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
SDABC được tính theo sin 1 góc bằng công thức nào?
Trả lời
Ta có: 
=
Þ
Hoạt động 3: Tính chu vi DABC và dựa vào đlí cosin
Bài 3: Cho DABC có . Điểm D thuộc cạnh BC sao cho: ABC = DAC, DA = 6, . Tính chu vi DABC
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
vẽ hình
đặt Dc = x
2 tam giác CAD và CBA ntn?
ÞCA2 = ?
Aùp dụng đlí cos vào DADC ta được hệ thức nào?
Gpt tìm x?
A
B
C
D
6
Trả lời
Do ABC = DAC~ DCAB
Theo đlí cosin ta có:
 vì ( D1 = BAC )
Vậy 
Þx = 3, AC = 5, 
Þ AB = 10
Þ chu vi DABC= 
Về nhà làm các bài tập trong sgk
Học thuộc công thức về tính SD
 Tiết: 18 	 GIẢI TAM GIÁC
Hoạt động 1: Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác.
Bài 1: Gọi ha, hb, hc là các đường cao tương ứng vời các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. trong đó b + c = 2a. Chứng minh rằng: 
sinA + sinC = 2sinA
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Gọi h/s nhắc lại đlí sin.
Theo đlí sin ta có:
a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC
thế vào b+c = 2a ta sẽ được điều cần cm.
Gọi h/s nhắc lại công thức tính diện tích . Lám tương tự cho các cạnh b, c
Thế vào biểu thức b + c = 2a thì sẽ có điều cần cm.
Trả lời
Ta có: 
Þa = 2RsinA , b = 2RsinB
 c = 2RsinC 
ta có: 
tương tự: 
 ; 
Ta có (đpcm)
Bài 2: Cho DABC có các cạnh a, b, c và các trung tuyến xuất phát từ B, C là mb, mc thoả 
2a2 = b2 + c2
2cotA = cotB + cotC
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Từ 
Aùp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến
Thế vào biến đổi sẽ ra
Aùp dụng đlí cosin
Thế vào biểu thức vửa cm
 (1)
Sau đó áp dụng đlí sin
Þa = 2RsinA, b = 2RsinB, c= 2RsinC
 Thế vào (1) Þ (đpcm)
 (sinA = sin(B +C))
Trả lời
a. 
 Û2a2 = b2 + c2 (đpcm)
b. Ta có: b2 + c2 = a2 + 2bccosA
Ta vừa cm: 2a2 = b2 + c2 
Þ a2 + 2bccosA = 2a2
Từ đlí sin ta có: 
Þa = 2RsinA , b = 2RsinB
 c = 2RsinC 
Û2cotA = cotB + cotC (đpcm)
Hoạt động 2: Aùp dụng đlí cosin tính trung tuyến D
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
vẽ hình
đặt CMA = a
áp dụng đlí cosin vào tam giác CMA và CMB ntn?
Sau đó cộng lại ta sẽ được công thức độ dài đường trung tuyến.
C
A
B
M
a
b
c
Trả lời
CM = ma
Gọi CMA = a thì CMB= 1800 - a
Trong DCMA và DCMB theo đlí cosin ta có: 
Bài tập về nhà: Cho DABC có BC = a, CA = b, AB = c, r là bán kính đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng:
Tiết: 19 	 GIẢI TAM GIÁC
Hoạt động 1: Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác khi biết một số yếu tố.
Bài 1: Cho DABC có trung tuyến AM = , độ dài BC = 6, . Tính độ dài cạnh C, và r, R.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Vẽ hình + điền các yếu tố đã cho vào hình vẽ
Để tính AB = c ta dựa vào công thức nào để tính?
Aùp dụng đlí cosin trong DABC b2 = ?
Từ đó suy ra b, c=?
Aùp dụng đlí nào để tính R
Để tính r? ta áp dụng công thức nào?
Tính p?
Để tính r ta cần tính gì trước?
A
B
C
M
600
Trả lời
Tính AB = c?
Ta có: 
 (1)
Ta có: 
 (2)
Từ (1) và (2)
Tính R, r=?
Aùp dụng đlí sin trong DABC
Bài 2: Cho DABC có c = 2, b = 3, a = 4, M là trung điểm AB. Tính bán kính r của đường tròn ngoại tiếp DABC 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Vẽ hình + điền các yếu tố đã cho vào hình vẽ
Tính MC sử dụng công thức nào?
A
B
C
M
4
b=3
mc
Để tính r bán kính đường tròn ngoại tiếp ta cần tính những gì trước?
Aùp dụng đlí sin vào DBMC ntn?
Trả lời
Aùp dụng đlí đường trung tuyến
DABC có: 
Trong DMBC có: 
Hoạt động 2: Dựa vào các hệ thức đã cho chứng minh tam giác là cân hay đều hay vuông.
Bài 3: Cho DABC có S là diện tích , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp thoả hệ thức: 
 3S = 2R2 ( sin3A + sin3B + sin3C). chứng minh DABC đều.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
Gọi hs nêu lại đlí sin
Gọi hs nêu công thức tính 
Gọi hs nhắc lại đlí cosin và hỏi dấu “=” xảy ra khi nào.
Trả lời: 3S = 2R2 ( sin3A + sin3B + sin3C)
Đlí sin: a = 2RsinA
Þa3 = 8R3sin3A
 b3 = 8R3sin3B, c3 = 8R3sin3C
Û3abc = a3 + b3 + c3
Theo Cosi: a3 + b3 + c3³ 3abc
“=”xảy ra khi a=b=c hay DABC đều.
Bài tập về nhà: Chứng minh rằng DABC đều khi và chỉ khi có đẳng thức:
Tiết: 20 	 GIẢI TAM GIÁC
Hoạt động: Toán về độ dài đường trung tuyến trong tam giác.
Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB//CD, CD>AB. Chứng minh rằng: 
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Hướng dẫn
GV: hướng dẫn vẽ hình
GV: EC = ?
HS: Trả lời
GV: Aùp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến vào DABC, DADC, DBED ta được công thức nào?
HS: Trả lời
GV: thế (4) vào (3) ta được điều phải cm.
HS: xung phong lên thế vào.
A
B
C
D
F
E
Gọi E, F lần lượt là trung điểm AC và BD.
Ta có: 
Aùp dụng công thức độ dài đường trung tuyến:
DABC: (1)
DADC: (2)
Cộng (1) và (2):
 (3)
- DBED: (4)
Thế (4) vào (3):
Hay 
Hoạt động: Toán về phân giác và bán kính đường tròn nội tiếp.
Bài 1: Cho DABC với AB = 2AC. Đường phân giác trong của góc A cắt cạnh Bc tại D. chứng minh rằng: . Trong đó p là nửa chu vi DABC, r, r1, r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp DABC, DACD, DABD.
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
GV: gọi hs vẽ hình
HS: lên vẽ hình
GV: Gọi I là trung điểm AB thì ta có điều gì?
HS: trả lời
GV: khi AD là phân giác thì SDADI và SDADC ntn với nhau?
GV: các tam giác AID, ACD, BID ntn với nhau.
 HS: trả lời
GV: Diện tích tam giác ACD, ABD tính theo các cạnh và bán kính đtròn nội tiếp thì ntn?
HS: trả lời
GV: lấy hai đẳng thức cộng lại sẽ ra điều phải cm
HS: xung phong lên cộng.
Gọi I là trung điểm của AB
IA = IB
Ta có: AB = 2AC
ÞIA = IB = IC
Ta có:
B
A
C
D
I
DAC = DAI 
+ AD chung
ÞDAID = DACD
Þ SDADI = SDADC
AI = IBÞ SDADI = SDBID
Aùp dụng: S = p.r
SDABC = S
 (1)
 (2)
Cộng (1) và (2):
Về xem lại cách giải hai bài nay.
Và làm thêm bài: Cho tam giác ABC. Gọi r, R, p lần lựot là bán kính đtròn nội tiếp, ngoại tiếp và nữa chu vi tam giác ABC. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, AC, AB tai A1, B1, C1. chứng minh rằng: