Bài tập Đại số 11 - Trần Sĩ Tùng

 giả thiết suy ra: n nC C
4 220= Û n = 18. 
 Do 
k
k
C k
kC
1
18
18
18 1
1
+ -
= <
+
 Û k ³ 9, nên C C C9 10 1818 18 18...> > > Þ C C C
1 2 9
18 18 18...< < < . 
 Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9. 
Baøi 37. (ĐH 2006D) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 76 
 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm 
vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn như vậy ? 
 HD: Dùng phương pháp loại trừ. 
 + Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là: C412 495= . 
 + Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 em là: 
 C C C C C C C C C2 1 1 1 2 1 1 1 25 4 3 5 4 3 5 4 3 270+ + = 
 + Số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225. 
Baøi 38. (ĐH 2006A–db1) Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn của x x2 100( )+ , chứng minh 
rằng: C C C C
99 100 198 199
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1 1100 101 ... 199 200 0
2 2 2 2
æ ö æ ö æ ö æ ö
- + - + =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
. 
 ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
 HD: Lấy đạo hàm hai vế, cho x 1
2
= - , rồi nhân hai vế với –1, ta được đpcm. 
Baøi 39. (ĐH 2006A–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 
5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. 
 HD: Số các số tự nhiên cần tìm là: 96 số. Chia thành nhiều trường hợp. 
 + Có 24 số dạng a a a a4 3 2 10 ; 18 số dạng a a a a4 3 2 11; 18 số dạng a a a a4 3 2 12 ; 
 18 số dạng a a a a4 3 2 13 ; 18 số dạng a a a a4 3 2 14 
 Tổng các chữ số hàng đơn vị là: 18(1 + 2 + 3 + 4) = 180. 
 Tổng các chữ số hàng chục là: 1800 
 Tổng các chữ số hàng trăm là: 18000 
 Tổng các chữ số hàng nghìn là: 180000 
 + Có 24 số dạng a a a a3 2 1 01 ; 24 số dạng a a a a3 2 1 02 ; 24 số dạng a a a a3 2 1 03 ; 
 24 số dạng a a a a3 2 1 04 
 Tổng các chữ số hàng chục nghìn là: 24(1 + 2 + 3 + 4).10000 = 2400000 
 + Vậy tổng 96 số là: 180 + 1800 + 18000 + 180000 + 2400000 = 2599980 
Baøi 40. (ĐH 2006B–db1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, 
mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh 
nhau ? 
 HD: Số cách chọn hai trong ba chữ số lẻ đứng cạnh nhau là: A23 6= cách. Xem 2 số lẻ 
đứng cạnh nhau là một phần tử x. Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số 
chẵn 0, 2, 4, 6. Chia thành nhiều trường hợp. 
 ĐS: 6(18 + 18 + 24) = 360 số. 
Baøi 41. (ĐH 2006B–db2) Cho 2 đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 
điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ³ 2). Biết rằng có 2800 tam 
giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. 
 HD: Số tam giác có 1 đỉnh thuộc d1, 2 đỉnh thuộc d2 là: nC
210 . 
 Số tam giác có 1 đỉnh thuộc d2, 2 đỉnh thuộc d1 là: nC210 . 
 Từ giả thiết: nC
210 + nC210 =2800, suy ra n = 20. 
Baøi 42. (ĐH 2006D–db1) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp học thành 3 
tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít 
nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy ? 
 HD: Chia thành nhiều trường hợp theo số học sinh nữ. 
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 
Trang 77 
 ĐS: C C C C C C C C C C C C3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 97 26 4 19 7 26 5 18 7 26 5 18+ + . 
Baøi 43. (ĐH 2006D–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự 
nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000 ? 
 HD: Chia thành nhiều trường hợp. ĐS: 240 + 48 + 72 = 360 số. 
Baøi 44. (ĐH 2007A) Chứng minh rằng: 
n
n
n n n nC C C Cn n
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1...
2 4 6 2 2 1
- -+ + + + =
+
 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
 HD: Ta có: n n nn n nx C C x C x
2 0 1 2 2
2 2 2(1 ) ...+ = + + + 
 n n nn n nx C C x C x
2 0 1 2 2
2 2 2(1 ) ...- = - + + 
 Þ ( )n n n nn n nx x C x C x C x2 2 1 3 3 2 1 2 12 2 2(1 ) (1 ) 2 ... - -+ - - = + + + 
 Þ ( )
n n
n n
n n n
x x dx C x C x C x dx
1 12 2
1 3 3 2 1 2 1
2 2 2
0 0
(1 ) (1 ) ...
2
- -+ - - = + + +ò ò 
 Þ 
n
n
n n n nC C C Cn n
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
2 1 1 1 1 1...
2 1 2 4 6 2
-- = + + + +
+
Baøi 45. (ĐH 2007B) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của 
nx(2 )+ , biết n n n n n nn n n n nC C C C C
0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... ( 1) 2048- - -- + - + + - = 
 (n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
 HD: Ta có: n n n n n n n nn n n n nC C C C C
0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... ( 1) (3 1) 2- - -- + - + + - = - = . 
 Từ giả thiết suy ra n = 11. 
 Hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của x 11(2 )+ là: C10 111 .2 22= . 
Baøi 46. (ĐH 2007D) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của: 
 x x x x5 2 10(1 2 ) (1 3 )- + + 
 HD: Hệ số của x5 trong khai triển của x x 5(1 2 )- là: C4 45( 2)- . 
 Hệ số của x5 trong khai triển của x x2 10(1 3 )+ là: C3 3103 . 
 Hệ số của x5 trong khai triển của x x x x5 2 10(1 2 ) (1 3 )- + + là: C4 45( 2)- + C
3 3
103 
Baøi 47. (ĐH 2007A–db1) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ 
số khác nhau? 
 HD: Giả sử số cần lập là n = a a a a1 2 3 4 > 2007. Xét hai trường hợp a4 = 0 và a4 ¹ 0. 
 ĐS: 448 + 1568 = 2016 số. 
Baøi 48. (ĐH 2007A–db2) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 
1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ 
n 6+ điểm đã cho là 439. 
 HD: Với n £ 2 thì n + 6 £ 8. Số tam giác tạo thành không vượt quá C38 = 56 < 439 
(loại). Vậy n ³ 3. 
 Số tam giác tạo thành là: n nC C C
3 3 3
6 3+ - - = 439 Û n = 10. 
Baøi 49. (ĐH 2007B–db1) Tìm x, y Î N thỏa mãn hệ: 
2 3
3 2
22
66
x y
y x
A C
A C
ì + =ï
í
+ =ïî
. 
 HD: (x = 4; y = 5). 
Đề thi Tốt nghiệp – Đại học Trần Sĩ Tùng 
Trang 78 
 Baøi 50. (ĐH 2007B–db2) Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của nx2( 2)+ , 
biết: 3 2 18 49n n nA C C- + = . 
 HD: Từ giả thiết tìm được n = 7. Suy ra hệ số của x8 là: C4 37 2 280= . 
Baøi 51. (ĐH 2007D–db1) Chứng minh với mọi số n nguyên dương luôn có: 
 ( ) ( ) ( ) 0C1C1...C1nnC 1nn1n2nn2n1n0n =-+-++-- ---- 
 HD: Sử dụng khai triển của nx( 1)- . Lấy đạo hàm hai vế, rồi cho x = 1 ta được đpcm. 
Baøi 52. (ĐH 2007D–db2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự 
nhiên chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. 
 HD: 120 + 300 = 420 số. 
Baøi 53. (ĐH 2008A) Cho khai triển n nnx a a x a x0 1(1 2 ) ...+ = + + + , trong đó n Î N và các hệ 
số na a a0 1, ,..., thoả mãn hệ thức 
n
n
aa
a 10 ... 40962 2
+ + + = . Tìm số lớn nhất trong các số 
na a a0 1, ,..., . 
 HD: Đặt f(x) = n nnx a a x a x0 1(1 2 ) ...+ = + + + Þ 
nn
n
aa
a f10
1... 2
2 22
æ ö
+ + + = =ç ÷
è ø
. 
 Từ giả thiết suy ra: n2 4096= Þ n = 12. 
 Với mọi k Î {0, 1, 2, …, 11} ta có k k k kk ka C a C
1 1
12 1 122 , 2
+ +
+= = 
 Giả sử: 
k k
k
k k
k
a C k k
a kC
12
1 1
1 12
2 1 231 1 1
2(12 ) 32 + ++
+
< Û < Û < Û <
-
. 
 Mà k Î Z Þ k £ 7. Do đó a a a0 1 8...< < < . 
 Tương tự, k
k
a
k
a 1
1 7
+
> Û > . Do đó a a a8 9 12...> > > . 
 Vậy số lớn nhất trong các số na a a0 1, ,..., là a C
8 8
8 122 126720= = . 
Baøi 54. (ĐH 2008B) Chứng minh rằng 
k k k
n n n
n
n C C C11 1
1 1 1 1
2 +
+ +
æ ö+
+ =ç ÷ç ÷+ è ø
 (n, k là các số nguyên 
dương, k £ n, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
 HD: 
k k k
n n n
n k n k
n nC C C11 1
1 1 1 !( )! 1
2 !+
+ +
æ ö+ -
+ == =ç ÷ç ÷+ è ø
. 
Baøi 55. (ĐH 2008D) Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức nn n nC C C
1 3 2 1
2 2 2... 2048
-+ + + = 
 ( knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
 HD: Ta có: n n nn n n nC C C C
2 0 1 2 1 2
2 2 2 20 (1 1) ...
-= - = - + - + 
 n n n nn n n nC C C C
2 2 0 1 2 1 2
2 2 2 22 (1 1) ...
-= + = + + + + 
 Þ n nn n nC C C
1 3 2 1 2 1
2 2 2... 2
- -+ + + = . 
 Từ giả thiết suy ra: n2 12 2048- = Û n = 6. 
Baøi 56. (ĐH 2008A–db1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự 
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng 
ngàn bằng 8. 
 HD: 720 + 720 = 1440 số. 
Trần Sĩ Tùng Đề thi Tốt nghiệp – Đại học 
Trang 79 
 Baøi 57. (ĐH 2008A–db2) Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức 2(2 3 ) nx- , trong đó n là 
số nguyên dương thỏa mãn: nn n n nC C C C
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1... 1024
+
+ + + ++ + + + = (
k
nC là số tổ hợp 
chập k của n phần tử). 
 HD: Sử dụng khai triển của nx 2 1(1 ) ++ . Lần lượt cho x = 1 và x = –1. 
 Tính được n nn n n nC C C C
1 3 5 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1... 2
+
+ + + ++ + + + = Þ 2n = 10. 
 Suy ra hệ số của x7 là C3 7 3103 .2- . 
Baøi 58. (ĐH 2008B–db1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao 
nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 
nữ. 
 HD: C C C C C C3 5 4 4 5 35 10 5 10 5 10 3690+ + = cách. 
Baøi 59. (ĐH 2008B–db2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự 
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ? 
 HD: Thực hiện 2 bước: 
 + Bước 1: xếp 2 số 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí, có: A25 20= cách. 
 + Xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vị trí còn lại, có: A35 60= cách. 
 ĐS: 20.60 = 1200 số. 
Baøi 60. (ĐH 2008D–db1) Tìm { }k 0,1,2,...,2005Î sao cho k2005C đạt giá trị lớn nhất. ( knC là 
số tổ hợp chập k của n phần tử) 
 HD: kC2005 lớn nhất Û 
k k 1
2005 2005
k k 1
2005 2005
C C
C C
+
-
ì ³ï
í
³ïî
 (k Î N) Û k
k
1002
1003
ì ³
í £î
 Û k hay k1002 1003= = 
Baøi 61. (ĐH 2008D–db2) Tìm số nguyên n lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức: 
 + - =2 2n n n n2P 6A P A 12 
 ( Pn là số hoán vị của n phần tử và knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). 
 HD: PT Û [ ]n n n(6 !) ( 1) 2 0- - - = Û n = 3 hay n = 2. 
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. 
[email protected]