Bất đẳng thức lượng giác - Chương 1: Các bước đầu cơ sở

alities Trigonometry 22
1cotcotcot
9tantantan
4
9
sinsinsin
4
3
coscoscos
222
222
222
222
≥++
≥++
≤++
≥++
CBA
CBA
CBA
CBA
2
cot
2
cot
2
cot
1
2
tan
2
tan
2
tan
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
222
222
222
222
CBA
CBA
CBA
CBA
++
≥++
++
++
33
1
cotcotcot
33tantantan
8
33
sinsinsin
8
1
coscoscos
≤
≥
≤
≤
CBA
CBA
CBA
CBA
33
2
cot
2
cot
2
cot
33
1
2
tan
2
tan
2
tan
8
1
2
sin
2
sin
2
sin
8
33
2
cos
2
cos
2
cos
≥
≤
≤
≤
AAA
AAA
CBA
CBA
1.3. Một số ñịnh lý khác : 
1.3.1. ðịnh lý Lagrange : 
 Nếu hàm số ( )xfy = liên tục trên ñoạn [ ]ba ; và có ñạo hàm trên khoảng ( )ba ; 
thì tồn tại 1 ñiểm ( )bac ;∈ sao cho : 
 ( ) ( ) ( )( )abcfafbf −=− ' 
 Nói chung với kiến thức THPT, ta chỉ có công nhận ñịnh lý này mà không chứng minh. 
Ví chứng minh của nó cần ñến một số kiến thức của toán cao cấp. Ta chỉ cần hiểu cách 
dùng nó cùng những ñiều kiện ñi kèm trong các trường hợp chứng minh. 
Ví dụ 1.3.1.1. 
 Chứng minh rằng baRba <∈∀ ,, thì ta có : 
 abab −≤− sinsin 
Lời giải : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 23
 Xét ( ) ( ) xxfxxf cos'sin =⇒= 
 Khi ñó theo ñịnh lý Lagrange ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
abcabab
cabafbfbac
−≤−≤−⇒
−=−∈∃
cossinsin
cos:;
 : 
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 1.3.1.2. 
 Với ba <<0 . CMR : 
a
ab
a
b
b
ab −
<<
− ln 
Lời giải : 
 Xét ( ) xxf ln= , khi ñó ( )xf liên tục trên [ ]ba ; khả vi trên ( )ba ; nên : 
 ( ) ( )
c
cf
ab
abbac 1'lnln:; ==
−
−
∈∃ vì bca << nên 
acb
111
<< 
 Từ ñó ⇒−<<−⇒<
−
−
<
a
ab
a
b
b
ab
aab
ab
b
ln1lnln1 ñpcm. 
Ví dụ 1.3.1.3. 
 Cho 
2
0 piαβ <<< . CMR : 
α
βαβαβ
βα
22 cos
tantan
cos
−
<−<
−
Lời giải : 
 Xét ( ) xxf tan= liên tục trên [ ]αβ ; khả vi trên ( )αβ ; nên theo ñịnh lý Lagrange 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
cos
1tantan
':; 2 c
cfffc =
−
−
⇒=
−
−
∈∃ βα
βα
βα
βα
αβ 
Vì αβ << c nên ( )2
cos
1
cos
1
cos
1
222 αβ << c 
Từ ( )( )⇒21 ñpcm. 
Ví dụ 1.3.1.4. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 24
 CMR nếu 0>x thì 
xx
xx






+>





+
+
+ 11
1
11
1
Lời giải : 
 Xét ( ) ( )( ) 0ln1ln11ln >∀−+=





+= xxxx
x
xxf 
 Ta có ( ) ( )
1
1ln1ln'
+
−−+=
x
xxxf 
 Xét ( ) ttg ln= liên tục trên [ ]1; +xx khả vi trên ( )1; +xx nên theo Lagrange thì : 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) 0
1
1ln1ln'
1
1
'
1
ln1ln
:1;
>
+
−−+=⇒
+
>=
−+
−+
+∈∃
x
xxxf
x
cg
xx
xx
xxc
 với ⇒> 0x ( )xf tăng trên ( )∞+;0 
( ) ( )
xx
xx
xx
xx
xfxf






+>





+
+⇒






+>





+
+⇒>+⇒
+
+
11
1
11
11ln
1
11ln1
1
1
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 1.3.1.5. 
 Chứng minh rằng +∈∀ Zn ta có : 
1
1
1
1
arctan
22
1
222 +
≤





++
≤
++ nnnnn
Lời giải : 
 Xét ( ) xxf arctan= liên tục trên [ ]1; +nn 
 ( ) 21
1
'
x
xf
+
=⇒ trên ( ) +∈∀+ Znnn 1; 
 Theo ñịnh lý Lagrange ta có : 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )






++
=
+
⇒






++
−+
=−+=
+
⇒
−+
−+
=+∈∃
1
1
arctan
1
1
11
1
arctanarctan1arctan
1
1
1
1
':1;
22
2
nnc
nn
nn
nn
c
nn
nfnf
cfnnc
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 25
 ðể ý ( ) 111; +<<≤⇒+∈ ncnnnc 
( )
1
1
1
1
arctan
22
1
1
1
1
1
22
1
2211
1
222
222
222
222
+
<





++
<
++
⇔
+
<
+
<
++
⇔
++<+<+⇔
+<<⇒
nnnnn
ncnn
nncn
ncn
 .ñpcm⇒ 
1.3.2. ðịnh lý về dấu của tam thức bậc hai : 
 Cho tam thức ( ) ( )02 ≠++= acbxaxxf và acb 42 −=∆ 
- Nếu 0<∆ thì ( )xf cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x. 
- Nếu 0=∆ thì ( )xf cùng dấu với a với mọi 
a
b
x
2
−≠ . 
- Nếu 0>∆ thì ( )xf có hai nghiệm 21 , xx và giả sử 21 xx < .Thế thì ( )xf cùng dấu 
với a với mọi x ngoài ñoạn [ ]21 ; xx (tức là 1xx ) và ( )xf trái dấu với a 
khi x ở trong khoảng hai nghiệm (tức là 21 xxx << ). 
 Trong một số trường hợp, ñịnh lý này là một công cụ hết sức hiệu quả. Ta sẽ coi biểu 
thức cần chứng minh là một tam thức bậc hai theo một biến rồi xét ∆ . Với ñịnh lý trên thì 
các bất ñẳng thức thường rơi vào trường hợp 0≤∆ mà ít khi ta xét 0>∆ . 
Ví dụ 1.3.2.1. 
 CMR +∈∀ Rzyx ,, và ABC∆ bất kỳ ta có : 
xyz
zyx
z
C
y
B
x
A
2
coscoscos 222 ++≤++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
 ( ) ( ) 0cos2coscos2 222 ≥−+++− AyzzyBzCyxx 
 Coi ñây như là tam thức bậc hai theo biến x. 
( ) ( )
( ) 0sinsin
cos2coscos'
2
222
≤−−=
−+−+=∆
BzCy
AyzzyBzCy
 Vậy bất ñẳng thức trên ñúng. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 26
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 
 cbaCBAzyx
BzCyx
BzCy
::sin:sin:sin::
coscos
sinsin
==⇔



+=
=
 tức zyx ,, là ba cạnh của tam giác tương ñương với ABC∆ . 
Ví dụ 1.3.2.2. 
 CMR Rx ∈∀ và ABC∆ bất kỳ ta có : 
 ( )CBxAx coscoscos
2
11 2 ++≥+ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )
( ) ( )
0
2
sin
2
sin4
1
2
cos
2
sin4
2
sin4
2
cos
2
cos2
cos12coscos'
0cos22coscos2
22
22
2
2
2
2
≤−−=






−
−
=
−




 −+
=
−−+=∆
≥−++−
CBA
CBA
ACBCB
ACB
ACBxx
 Vậy bất ñẳng thức trên ñúng. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 



==
=
⇔



+=
=∆
CBx
CB
CBx cos2cos2coscos
0
Ví dụ 1.3.2.4. 
 CMR trong mọi ABC∆ ta ñều có : 
2
222
2
sinsinsin 




 ++≤++ cbaCcaBbcAab 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )
( ) ( )BbccbCcAb
BbccbCcAbaa
2cos22cos2cos'
02cos22cos2cos2
222
222
++−+=∆
≥+++++
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 27
 ( ) 02sin2sin 2 ≤+−= CcAb 
 Vậy bất ñẳng thức ñược chứng minh xong. 
Ví dụ 1.3.2.4. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
2
3
coscoscos ≤++ CBA 
Lời giải : 
 ðặt ( )BACBCBCBAk +−−+=++= cos
2
cos
2
cos2coscoscos 
 01
2
cos
2
cos2
2
cos2 2 =−++−−+⇔ kBABABA 
 Do ñó 
2
cos
BA +
 là nghiệm của phương trình : 
 01
2
cos22 2 =−+−− kxBAx 
 Xét ( )12
2
cos' 2 −−
+
=∆ kBA . ðể tồn tại nghiệm thì : 
( )
2
3
coscoscos
2
31
2
cos120' 2
≤++⇒
≤⇒≤−≤−⇔≥∆
CBA
kBAk
 ⇒ñpcm. 
Ví dụ 1.3.2.5. 
 CMR Ryx ∈∀ , ta có : 
 ( )
2
3
cossinsin ≤+++ yxyx 
Lời giải : 
 ðặt ( )
2
sin21
2
cos
2
sin2cossinsin 2 yxyxyxyxyxk +−+−+=+++= 
 Khi ñó 
2
sin yx + là nghiệm của phương trình : 
 01
2
cos22 2 =−+−− kxyxx 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 28
( )
2
3
0121'
≤⇒
≥−−=∆⇒
k
k
 ⇒ñpcm. 
1.3.3. ðịnh lý về hàm tuyến tính : 
 Xét hàm ( ) baxxf += xác ñịnh trên ñoạn [ ]βα ; 
 Nếu 
( )
( ) ( )Rkkf
kf
∈



≥
≥
β
α
 thì ( ) [ ]βα ;∈∀≥ xkxf . 
 ðây là một ñịnh lý khá hay. Trong một số trường hợp, khi mà AM – GM ñã bó tay, 
BCS ñã ñầu hàng vô ñiều kiện thì ñịnh lý về hàm tuyến tính mới phát huy hết sức mạnh 
của mình. Một phát biểu hết sức ñơn giản nhưng ñó lại là lối ra cho nhiều bài bất ñẳng 
thức khó. 
Ví dụ 1.3.3.1. 
 Cho cba ,, là những số thực không âm thỏa : 
 4222 =++ cba 
 CMR : 8
2
1
+≤++ abccba 
Lời giải : 
 Ta viết lại bất ñẳng thức cần chứng minh dưới dạng : 
 08
2
11 ≤−++





− cbabc 
 Xét ( ) 8
2
11 −++





−= cbabcaf với [ ]2;0∈a . 
 Khi ñó : 
( ) ( )
( ) 08882822
0888280 22
=−<−=−++−=
=−=−+≤−+=
cbbcf
cbcbf
 (vì 02 ==⇔= cba ) 
 Vậy ( ) [ ]⇒∈∀≤ 2;00 aaf ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0,0 === cba và các hoán vị. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 29
Ví dụ 1.3.3.2. 
 CMR cba ,,∀ không âm ta có : 
 ( )( ) ( )3297 cbaabccbacabcab +++≤++++ 
Lời giải : 
 ðặt 
cba
c
z
cba
by
cba
a
x
++
=
++
=
++
= ;; . Khi ñó bài toán trở thành : 
 Chứng minh ( ) 297 +≤++ xyzzxyzxy với 1=++ zyx 
 Không mất tính tổng quát giả sử { }zyxx ,,max= . 
 Xét ( ) ( ) 27977 −+−+= yzxyzzyxf với 



∈ 1;
3
1
x 
 Ta có : 
( )
( ) 



∈∀≤⇒
<−==





1;
3
10
021;0
3
1
xxf
ff
 Vậy bất ñẳng thức chứng minh xong. 
 ðẳng thức xảy ra cbazyx ==⇔===⇔
3
1
. 
 ðây là phần duy nhất của chuyên ñề không ñề cập ñến lượng giác. Nó chỉ mang tính 
giới thiệu cho bạn ñọc một ñịnh lý hay ñể chứng minh bất ñẳng thức. Nhưng thực ra 
trong một số bài bất ñẳng thức lượng giác, ta vẫn có thể áp dụng ñịnh lý này. Chỉ có ñiều 
các bạn nên chú ý là dấu bằng của bất ñẳng thức xảy ra phải phù hợp với tập xác ñịnh 
của các hàm lượng giác. 
1.4. Bài tập : 
 Cho ABC∆ . CMR : 
1.4.1. 
3
1
cotcotcot 333 ≥++ CBA với ABC∆ nhọn. 
1.4.2. 
2
323
4
sin
4
sin
4
sin −≤++ CBA 
1.4.3. 32
sin
1
sin
1
sin
1 ≥++
CBA
1.4.4. 
8
7
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin 222 ≥+++ CBACBA 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 1 Các bước ñầu cơ sở 
The Inequalities Trigonometry 30
1.4.5. 
CBA
CBA
sinsinsin8
9
cotcotcot ≤++ 
1.4.6. CBAACCBBA sinsinsin8
2
cos
2
cos
2
cos ≥−−− 
1.4.7. CBACBA sinsinsincoscoscos1 ≥+ 
1.4.8. 
Sbacacbcba 2
33111 4≥
−+
+
−+
+
−+
1.4.9. 32≥++
cba m
c
m
b
m
a
1.4.10. 
2
33≥++
c
m
b
m
a
m cba
1.4.11. 2plmlmlm ccbbaa ≥++ 
1.4.12. 
abcmcmbma cba
3111
222 >++ 
1.4.13. ( )( )( )
8
abc
cpbpap ≤−−− 
1.4.14. rhhh cba 9≥++ 
1.4.15. 




 +





 +





 +≤
4
3
sin
4
3
sin
4
3
sinsinsinsin ACCBBACBA