Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số

C VÀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
 GTLN VÀ GTNN CỦA MỘT BIỂU THỨC. 
MỘT SỐ ĐẲNG THỨC , BẤT ĐẲNG THỨC VỀ SỐ, VỀ CẠNH. 
SỐ CHÍNH PHƯƠNG – BIỂU THỨC KHÔNG ÂM, KHÔNG DƯƠNG – HỢP SỐ. 
MỘT SỐ VẤN ĐỀ KHÁC 
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau 
A = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1 
Vậy Min A = 9/16 khi x =–1/2 
A = x 4 + 2x 3 + x 2 +2x 2 +2x + 1 
= (x 2 + x) 2 + 2.(x 2 + x) + 1 
= (x 2 + x + 1) 2 0 
Vì x 2 + x + 1 = (x + 1/2 ) 2 + 3/4  3/4 với mọi x 
Min ( x 2 + x + 1) = 3/4 khi x = –1/2 
Vì A 0 Nên min A = min ( x 2 + x + 1 ) 2 = (3/4) 2 = 9/16 khi x = –1/2 
Ví dụ 2: Cho biết 7x 2 + 8xy + 7y 2 = 10. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x 2 + y 2 
Vậy min ( x 2 + y 2 ) = 10/11 khi x = y thỏa (*) 
7x 2 + 8xy + 7y 2 = 10 (*) 
11x 2 + 11y 2 – 4x 2 + 8xy – 4y 2 = 10 
11(x 2 + y 2 ) = 10 + 4(x 2 – 2xy + y 2 ) 
11(x 2 + y 2 ) = 10 + 4(x – y) 2  10 với mọi x, y. 
 x 2 + y 2 10/11 
Ví dụ 2: Cho biết 7x 2 + 8xy + 7y 2 = 10. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x 2 + y 2 
Vậy, max ( x 2 + y 2 ) = 10/3 khi x = –y thỏa (**) 
7x 2 + 8xy + 7y 2 = 10 (**) 
3x 2 + 3y 2 + 4x 2 + 8xy + 4y 2 = 10 
3(x 2 + y 2 ) = 10 – 4(x 2 – 2xy – y 2 ) 
3(x 2 + y 2 ) = 10 – 4(x + y) 2  10 với mọi x, y. 
 x 2 + y 2  10/3 
Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 
B = 
x 4 + 1 
x 4 + 2x 2 + 1 
 + 1  2 
x 4 + 1 
2x 2 
Vậy MinB = 1/2 k hi x =  1 
 Max 2 
x 4 + 1 
x 4 + 2x 2 + 1 
Ta có: (x 2 – 1) 2  0 
 x 4 – 2x 2 + 1  0 
 x 4 + 1 2x 2 
x 4 + 1 
2x 2 
  1 
x 4 + 1 
x 4 + 2x 2 + 1 
 	  2 
Ví dụ 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 
B = 
x 4 + 1 
x 4 + 2x 2 + 1 
x 4 + 1 
x 4 + 2x 2 + 1 
B = 
x 4 + 2x 2 + 1 – 2x 2 
x 4 + 2x 2 + 1 
1 – 0 , x 
2x 2 
(x 2 + 1) 2 
Vì 2x 2  0 và (x 2 + 1) 2 0 
Vậy maxB = 1 khi x = 0 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: B = 5x 2 + 5y 2 + 8xy + 2y – 2x + 2 0 x, y 
B = (x 2 – 2x + 1) + (y 2 + 2y + 1) + (4x 2 + 8xy + 4y 2 ) 
 = (x – 1) 2 + (y + 1) 2 + (2x + 2y) 2 
Vì (x – 1) 2 0 x, y 
 (y + 1) 2 0 x, y 
 (2x + 2y) 2 0 x, y 
Vậy B 0 x, y 
Bài tập tương tự: Tìm x, y, z thỏa B = 0 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là một số chính phương 
A = (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y 4 
 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )(x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4 
 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )(x 2 + 5xy + 4y 2 + 2y 2 ) + y 4 
 = (x 2 + 5xy + 4y 2 ) 2 + 2y 2 . (x 2 + 5xy + 4y 2 ) + y 4 
 = (x 2 + 5xy + 5y 2 ) 2 
Vậy A là một số chính phương 
Ví dụ 3: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. 
D = n 2 + (n + 1) 2 + n 2 .(n + 1) 2 
 = n 2 + n 2 + 2n + 1 + n 2 .(n 2 + 2n + 1) 
 = n 2 + n 2 + 2n + 1 + n 4 + 2n 3 + n 2 
 = n 4 + 2n 3 + 3n 2 + 2n + 1 
 = (n 2 + n + 1) 2 
Ta có n 2 + n + 1 = n(n + 1) + 1, Vì n(n + 1) là số chẵn nên n 2 + n + 1 là số lẻ 
Vậy D là một số chính phương lẻ 
Gọi hai số chính phương liên tiếp là: n 2 và (n + 1) 2 . 
9999 + 1 = 10 4 
999999 + 1 = 10 6 
999 + 1 (Có n chữ số 9) = 
Nếu đặt 111 = a (Có n chữ số 1) thì 9a + 1 = 
11115555 = 1111.10 4 + 5555 
= 1111.10 4 + 5.1111 
10 n 
10 n 
Tổng quát: 111555 (Có n chữ số 1 và n chữ số 5) 
 = 
a.10 4 + 5a 
 111 (Có 2n chữ số 1) 
= 
a.10 n + 1.a = 
a.10 n + a 
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương 
A = a.10 n + 5a + 1 
a) A = 111555 + 1 (Có n chữ số 1 và n chữ số 5) 
Đặt 111 = a ( Có n chữ số 1 ) , khi đó 9a + 1 = 10 n 
A = a.(9a + 1) + 5a + 1 
A = 9a 2 + 6a + 1 
A = (3a + 1) 2 
A = (3334) 2 ( Có n – 1 chữ số 3 ) 
Vậy A là một số chính phương 
Xét trường hợp đặt biệt sau: A = 11115555 + 1 
= 11110000 + 5555 + 1 = 1111.10 4 + 5.1111 + 1 
B = a.10 n + a + 4a + 1 
B = a.(9a + 1) + 5a + 1 
B = 9a 2 + 6a + 1 
B = (3a + 1) 2 
B = (3334) 2 ( Có n – 1 chữ số 3 ) 
Vậy B là một số chính phương 
b) B = 111 + 444 + 1 (Có 2n chữ số 1 và n chữ số 4) 
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương 
Đặt 111 = a ( Có n chữ số 1 ) , khi đó 9a + 1 = 10 n 
= 1111 + 44 + 1 = 11.10 2 + 11 + 4.11 + 1 
Xét trường hợp đặt biệt sau: B = 111144 + 1 
C = a.10 999 + a + 10a + 1 + 6a + 8 
C = a.(9a + 1) + 17a + 9 
C = 9a 2 + 18a + 9 
C = (3a + 3) 2 
C = (3336) 2 ( Có 998 chữ số 3 ) 
Vậy C là một số chính phương 
c) C = 111 + 111 + 666 + 8  1998 chữ số 1 1000 chữ số 1 999 chữ số 6 
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương 
Đặt 111 = a ( Có 999 chữ số 1 ) Khi đó 9a + 1 = 10 999 
D = a.10 n .10 2 + 25 
D = 100a.(a + 1) + 25 
D = 100a 2 + 100a + 25 
D = (10a + 5) 2 
D = (9995) 2 ( Có n chữ số 9 ) 
Vậy D là một số chính phương 
d) D = 99900025 (n chữ số 9 và n chữ số 0) 
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương 
Đặt 999 = a ( Có n chữ số 9 ) Khi đó a + 1 = 10 n 
Xét trường hợp đặt biệt sau: D = 99900025 
= 99900000 + 25 = 999.10 3 .10 2 + 25 
444888 + 1 
E = 4a.10 n + 8a + 1 
E = 4a(9a + 1) + 8a + 1 
E = 36a 2 + 12a + 1 = (6a + 1) 2 
E = (6661) 2 ( Có n - 1 chữ số 6 ) 
Vậy E là một số chính phương 
e) E = 4448889 (Có n chữ số 4 và n - 1 chữ số 8) 
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương 
Đặt 111 = a ( Có n chữ số 1 ) Khi đó 9a + 1 = 10 n 
 E có thể viết lại: E = 4448888 + 1 (Có n chữ số 4 và n chữ số 8) 
444888 + 1 
E = 4a.10 n + 8a + 1 
E = 4a(9a + 1) + 8a + 1 
E = 36a 2 + 12a + 1 = (6a + 1) 2 
E = (6661) 2 ( Có n - 1 chữ số 6 ) 
Vậy E là một số chính phương 
f) F = 1112225 (Có n chữ số 1 và n + 1 chữ số 2) 
Ví dụ 4: Cmr các số sau là số chính phương 
Đặt 111 = a ( Có n chữ số 1 ) Khi đó 9a + 1 = 10 n 
 F có thể viết lại: F = 111222 + 25 (Có n chữ số 4 và n chữ số 8) 
Ví dụ 5: Cho a, b, c, d N * thỏa a 2 – b 2 = c 2 – d 2 . C/m: S = a + b + c + d là hợp số 
Ta có: a 2 – b 2 = c 2 – d 2  a 2 + d 2 = c 2 + b 2 (1) 
Xét A = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) – (a + b + c + d) (2) 
 = (a 2 – a) + (b 2 – b) + (c 2 – c) + (d 2 – d) 
 = a(a – 1) + b(b – 1) + c(c – 1) + d(d – 1) 
Vì a(a – 1) 2 ; b(b – 1) 2 ; c(c – 1) 2 ; d(d – 1) 2 
A 2 , thay (1) vào (2) ta được: 
A = 2(a 2 + d 2 ) – ( a + b + c + d) 
Do A 2 và 2(a 2 + d 2 ) 2 nên ( a + b + c + d) 2 
Mặt khác a + b + c + d >2 
Vậy S = a + b + c + d là hợp số 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 1 x 
 (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 1 
  (x – 1) (x – 6)(x – 3)(x – 4) + 9 0 
  (x 2 – 7x + 6)[(x 2 – 7x + 6) + 6) + 9 0 
 (x 2 – 7x + 6) 2 + 6(x 2 – 7x + 6) + 9 0 
 [ (x 2 – 7x + 6) + 3] 2 0 
( x 2 – 7x + 9) 2 0 (luôn đúng với mọi x)  Vậy (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 1 x 
Ví dụ 1: Cho biết a, b, c đôi một rời nhau 
a) Tính 
Đặt 
Ta cm được: (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x – 1)(y – 1)(z – 1) 
(xy + x + y + 1)(z + 1) = (xy – x – y +1)(z – 1) 
 xy + xz + + yz = – 1 
Vậy 
b) Cmr: 
Ta có: (x + y + z) 2 0 x, y, z 
 x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + xz) 0 
 x 2 + y 2 + z 2  – 2(xy + yz + xz) = – 2.( – 1) = 2 
Vậy 
Ví dụ 2: Cho a + b + c + d = 0Cmr: a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)(ab – cd) 
Vì a + b = – (c + d)  (a + b) 3 = – (c + d) 3 
VT = (a + b) 3 – 3ab (a + b) + (c + d) 3 – 3cd (c + d) 
 = – (c + d) 3 + 3ab (c + d) + (c + d) 3 – 3cd (c + d) 
 = 3(c + d)(ab – cd) = VP 
Vậy, a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)(ab – cd) 
Ví dụ: Cho biết a, b, c đôi một rời nhau 
Tính 
Ví dụ 1: Tìm x, y, z thỏa 9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0 
9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0 
(9x 2 + 18x + 9) + (y 2 – 6y + 9) + (2z 2 + 4z + 2) = 0 
9(x + 1) 2 + (y – 3) 2 + 2(z + 1) 2 = 0 (1) 
Vì (x + 1) 2  0 ; (y – 3) 2  0 ; 2(z + 1) 2 0 
Nên để x, y, z thỏa (1) thì 
 x + 1 = 0 
 y – 3 = 0  
 z + 1 = 0 
Vậy x = –1 ; y = 3 ; z = –1 
x = –1 
y = 3 
z = –1 
a 3 + b 3 + c 3 – 3abc 
= (a + b) 3 – 3ab(a + b) + c 3 – 3abc 
= (a + b + c) 3 – 3c(a + b).(a + b + c) –3ab(a + b)– 3abc 
= (a + b + c) 3 – 3c(a + b).(a + b + c) –3ab(a + b + c) 
= (a + b + c)[(a + b + c) 2 – 3c(a + b) – 3ab] 
= (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ac) 
Phân tích đa thức thành nhân tử: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc 
Một số bài tập phát triển từ nhận xét trên: 
Cmr: Nếu a 3 + b 3 + b 3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c 
Phân tích đa thức thành nhân tử: 
(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 
Nếu abc  0 và a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. 
 Tính A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) 
Cmr: Nếu a 3 + b 3 + b 3 = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c 
Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 3abc  a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0 
 (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ac) = 0 
(a + b + c) = 0 
(a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ac) = 0 
 
(a + b + c) = 0 
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 – 2ab – 2bc – 2ac = 0 
 
(a + b + c) = 0 
(a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 = 0 
 
(a + b + c) = 0 
a = b = c 
 
Phân tích đa thức thành nhân tử: 
(a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 
Đặt x = a – b ; y = b – c ; z = c – a  x + y + z = 0 
 x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz 
= (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – yz – xz) 
= 0 (Vì x + y + z = 0) 
 x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz 
Khi đó: (a – b) 3 + (b – c) 3 + (c – a) 3 
 = 3(a – b)(b – c)(c – a) 
Nếu abc  0 và a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. 
 Tính A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) 
Ta có: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 
 a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = 0 
 (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ac) = 0 
(a + b + c) = 0 
(a 2 + b 2 + c 2 – ab – bc – ac) = 0 
 
(a + b + c) = 0 
(a – b) 2 + (b – c) 2 + (c – a) 2 = 0 
 
(a + b + c) = 0 
a = b = c 
 
Trường hợp 1: a = b = c. Khi đó. 
A =(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8 
Trường hợp 1: a + b + c = 0. Khi đó. 
A =[1 + (– b – c )/b][1 + (– a – c )/c][1 + (– a – b )/a] 
A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) 
A = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) 
A =[1 – 1 – c/b][1 – a/c – 1][1 – 1 – b/a] 
A =(– c/b)(– a/c)(– b/a) = – 1