Bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học Lớp 8

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
Hình Học 
12/ 2004 
NHÌN HÌNH PHÁT HIỆN THÔNG TIN BỔ SUNG 
KIẾN THỨC BỔ TRỢ TRONG CHỨNG MINH 
BÀI TẬP NHÌN HÌNH CHỨNG MINH 
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
NỘI DUNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
° 
° 
° 
A 
B 
C 
M 
N 
P 
A 
D 
F 
B 
E 
C 
H 
M 
Q 
1 
1 
2 
1 
1 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
Cho ABCD là hình chữ nhật 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
Biết DE // AC 
° 
° 
A 
B 
C 
M 
N 
P 
Q 
° 
D 
E 
K 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
A 
B 
C 
H 
I 
° 
O 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
A 
B 
C 
° 
M 
N 
O 
H 
E 
ABC cân tại A 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
A 
B 
C 
D 
P 
Q 
° 
° 
H 
ABCD là hình vuông 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
A 
B 
C 
D 
H 
E 
K 
M 
Cho ABCD là hình chữ nhật 
NHÌN HÌNH VẼ 
 HÃY PHÁT HIỆN NHỮNG THÔNG TIN BỔ SUNG. 
A 
B 
C 
H 
D 
E 
° 
M 
K 
Tính góc MHA 
C/m:Tứ giác BDCE là hình thang cân. 
Cho ABCD là hình bình hành, E đối xứng với A qua BD. 
A 
D 
C 
B 
E 
O 
H 
Gọi O là giao điểm của AC và BD 
 H là giao điểm của AE và BD. 
 Xét AEC có:AH=HE (E đ/x A qua BD)AO = OC (T/c HBH ABCD) 
 OH là đường trung bình AEC 
 OH // EC  BD // EC (Vì B, H, O, D thẳng hàng) (1) 
A 
D 
C 
B 
E 
O 
H 
1 
1 
 BD là đường trung trực của AE (Vì A đ/x E qua BD) 
AD = DE ( Vì D  BD ) 
Mà AD = BC (Vì ABCD là hình bình hành) 
 BC = DE (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BDCE là hình thang cân 
A 
M 
B 
C 
N 
D 
F 
E 
H 
G 
O 
Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của MC, MD, NA, NB. 
C/mr: Ba đường thẳng EF, GH, MN đồng quy 
A 
M 
B 
C 
N 
D 
F 
E 
H 
G 
O 
Xét MDC có ME = EC (gt) và DN = NC (gt)  NE là đường trung bình của MDC 
 NE // MD và NE = 1/2 .MD 
Mà MF = 1/2.MD 
Nên NE = MF và NE // MF (Vì D, M, F thẳng hàng) 
Xét tứ giác MENF có NE = MF và NE // MF (Cmt) 
 tứ giác MENF là hình bình hành. 
C/m tương tự ta được tứ giác MHNG là hình bình hành 
Hai hình bình hành MENF và MHNG có chung đường chéo MN nên các đường chéo EF, GH, MN đồng quy tại O 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
M 
H 
K 
Cho tứ giác ABCD (AB // CD và AB < CD) 
E, F lần lượt là trung điểm của AC và BD. H đối xứng M qua E; K đối xứng M qua F 
C/m: D, K, H, C thẳng hàng 
C/m: Khi M di động trên đáy AB thì HK có độ dài không đổi. 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
M 
H 
K 
H đối xứng M qua E (gt) 
C đối xứng A qua E (gt) 
 AM đối xứng HC qua E 
 AM = CH và AM // CH 
 AM = CH và CH // AB (Vì A, M, B thẳng hành) (1) 
C/m tương tự ta được DK = BM và DK //AB. (2) 
Mặt khác AB // CD (gt) (3) 
Từ (1), (2) và (3) theo tiên đề Ơclit suy ra D, K, H, C thẳng hàng. 
HK = CD – (DK + CH) = CD – (BM + AM) = CD – AB 
Vì CD và AB không đổi nên HK không đổi. 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
N 
M 
G 
I 
° 
K 
° 
I, K lần lượt là trung điểm của GA và GD. AM, DN lần lượt là đường trung tuyến. 
C/m: MNIK là hình bình hành. 
Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau 
C/m: E đối xứng với F qua D 
Cho ABCD là hình chữ nhật 
A 
D 
F 
B 
E 
C 
1 
2 
C/m: E đối xứng với F qua D 
AE = AB ( E đối xứng B qua A) 
CD = AB ( ABCD là HCN) 
Chứng minh tương tự, ta suy ra: AD = CF 
ADE và CFD có: 
AE = CD; AD = CF ( Cmt) 
EAD = FCD = 90 0 (gt) 
 D 1 = D 2 và ED = DF (Yếu tố tương ứng) 
 D 1 + D 2 = 90 0  D 1 + D 2 + ADC = 180 0  E, D, F thẳng hàng 
Mà AD = CF (Cmt) 
Nên E đối xứng F qua D (đpcm) 
 AE = CD. 
 ADE = CFD (c.gc) 
C/m: MBQH là hình chữ nhật 
A 
D 
F 
B 
E 
C 
H 
M 
Q 
1 
1 
2 
1 
1 
AB  HM (gt) 
 BC  AB (ABCD là HCN) 
AB  BC (ABCD là HCN) 
HQ  BC (gt) 
Xét tứ giác MBQH có (1) và (2) suy ra: MBQH là hình bình hành. 
Mà ABC =90 0 
Nên MBQH là hình chữ nhật. 
 MB // HQ (1) 
 MH // BQ (2) 
2. C/m: MBQH là hình chữ nhật 
C/m: BD  MQ 
A 
D 
F 
B 
E 
C 
H 
M 
Q 
1 
1 
2 
1 
1 
 AD  HQ 
3. C/m: BD  MQ 
AD  BC ( ABCD là HCN) 
HQ  BF (gt) 
Mà EF  BH 
 D 2 = H 1 (cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc) 
Mặt khác, H 1 = M 1 (MBQH là HCN) 
  D 2 = M 1 
EDB cân tại D ( AD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến) 
B 1 = E (T/c tam giác cân) 
Mà E + D 2 = 90 0 Nên M 1 + B 1 = 90 0 
Vậy BD  MQ (đpcm) 
° 
° 
A 
B 
C 
M 
N 
P 
Q 
° 
D 
E 
Cho ABC cân tại A có A = 45 0 
C/m: MNQP là hình thang cân. 
C/m: AEBQ là hình vuông. 
A 
B 
C 
H 
I 
° 
O 
Cho ABC cân tại A 
C/m: AO  BI 
° 
E 
A 
B 
C 
H 
I 
° 
O 
° 
E 
Suy ra OE là đường TB của Tam giác HIC. 
Suy ra OE // HC suy ra OE // BC (B, H, C thẳng hàng ) 
Mà AH vuông góc BC nên OE vuông góc AH. 
Mặt khác HI vuông góc AE 
Suy ra O là trực tâm của tam giác AHE 
Suy ra AO vuông góc HE ( 1) 
Mà HE là đường trung bình tam giác BIC (Vì IE = EC ; BH = HC) suy ra HE // BI (2) 
Từ (1) và (2) suy ra AO VUÔNG GÓC bi 
A 
B 
C 
D 
P 
Q 
° 
° 
H 
Cho ABCD là hình vuông 
C/m: DH  HQ 
Cho ABC cân tại A 
E 
A 
B 
C 
° 
M 
N 
O 
H 
C/m: S AMON = 1/6. S ABC 
C/m: Tính S AMON biết S ABC = 6 cm 2 
ABCD là hình chữ nhật BH  AC. Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho AC = BE 
A 
B 
C 
D 
H 
E 
K 
M 
C/m: ADE = 45 0 
Cho ABC vuông tại A 
A 
B 
C 
H 
D 
E 
° 
M 
K 
C/m: AB = AE và tính góc AHM