Bối dưỡng học sinh giỏi - Phần: Dãy số

ất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy này có số hạng thứ 100 là 100. Số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100x102 = 10200. 	b) Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,… Mỗi số hạng của dãy (2) là tích của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Các thừa số thứ nhất làm thành một dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298. Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400. c) Dãy (3) có thể viết dưới dạng: ... Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng: 	 DÃY SỐ * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, ...... Tìm số hạng thứ 1998 của dãy số đó. Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, ...... a.Tìm số hạng thứ 200 của dãy số. b. Nếu cứ viết tiếp thì các số : 1000 ; 2009 ; 5000 có là số hạng của dãy không ? Tại sao. Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên mà khi chia cho 3 thì dư 2 bát đầu từ số 5 thành dãy số. Viết đến số hạng thứ 100 thì phát hiện đã viết sai. Hỏi bạn đó đã viết sai số nào ? DÃY SỐ Dạng 5: Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3,.......150. Hỏi để viết dãy số này người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Giải: Dãy số đã cho có : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số. Có ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số Có ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số có 3 chữ số. Vậy số chữ số cần dùng là : 9  1 + 90  2 + 51  3 = 342 chữ số DÃY SỐ Bài toán 2: Một quyển sách có 234 trang. Hỏi để đánh số trang quyển sách đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số. Giải: Để đánh số trang quyển sách đó người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 234 thành dãy số. Dãy số này có ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số Có: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 số có 2 chữ số Có: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số có 3 chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là: 9  1 + 90  2 + 135  3 = 594 chữ số DÃY SỐ * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp các số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số Bài 2: Trường Tiểu học Thành Công có 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường đó người ta phải dùng bao nhiêu chữ số Bài 3: Cần bao nhiêu chữ số để đánh số trang của một cuốn sách có tất cả là: a.752 trang. b.1251 trang. DÃY SỐ Dạng 6: Tìm số số hạng khi biết số chữ số Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có 9 số có 1 chữ số có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần số chữ số là 9  1 + 90  2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là: - 189 = 246 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 246 : 3 = 82 số Số trang quyển sách đó là 99 + 82 = 181 ( trang) DÃY SỐ Bài toán 2: Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số. 999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số Vì: 189 1). 	Ví dụ: B = Cách giải: Bước 1: Tính B x n (n = 3) 	B x 3 = 3 x = DÃY SỐ Bước 2: Tính B x n - B B x 3 - B = - B x (3 - 1) = - B x 2 = B x 2 = B x 2 B = B B DÃY SỐ Bài toán 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau: Ví dụ 1: A = Cách giải: 	A = 	 = 	 = 	 = DÃY SỐ Ví dụ 2: B = Cách giải: B = B = = = DÃY SỐ * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng: 	a) Của tất cả các số lẻ bé hơn 100 	b) 1 + 4 + 9 + 16 + …… + 169 Bài 2: 	a) Tính nhanh tổng của tất cả các số có 3 chữ số. 	b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. 	Dãy số trên có mười số hạng 	Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh 	Đố em, đố chị, đố anh 	Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài. Bài 3: Tính nhanh: a) b) c) DÃY SỐ Bài 4: + + + …… + + + = ? 	Phép cộng phân số khó gì? 	Kê đủ số hạng ra thì uổng công 	Cách gì ai tỏ ai thông 	Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờ 	Đố bạn hiền đó em thơ 	Đố ai ai biết đây nhờ giải mau. Bài 5: Hãy tính tổng của các dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng. b) ..., 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng. = ? DÃY SỐ Bài 6: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19. Bài 7: Cho dãy số: Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên. b) Số có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao? DÃY SỐ Dạng 10: Dãy chữ 	Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp. Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác. 	Các ví dụ: Bài toán 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành một dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào? 	Giải: 	Ta thấy mỗi nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có 2009 chữ cái thì có: 	2009 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 14 chữ cái. 	Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ N của tiếng TINH đứng ở vị trí thứ 14 của nhóm chữ thứ 134. DÃY SỐ Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi: 	a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì? 	b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N? 	c. Bạn Hải đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai? Giải thích tại sao? 	d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM,… hỏi chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu gì? 	 DÃY SỐ Giải: 	a. Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái: 	2002 : 13 = 154 (nhóm) 	Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ G của tiếng DƯƠNG. 	b. Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có 2 chữ H và cũng có 2 chữ A và 1 chữ N. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ H thì tức là người đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N. 	c. Bạn đó đếm sai, vì số chữ A trong dãy phải là số chẵn. 	d. Ta nhận xét: 	+ 2001 chia cho 4 thì dư 1. 	+ Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia cho 4 thì dư 1 thì được tô màu XANH. 	Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH. DÃY SỐ Bài toán 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng ... cứ như vậy. Hỏi: a) Viên bi thứ 100 có màu gì? b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít nhất bao nhiêu viên bi? Giải: a) Ta thấy, cứ 3 viên bi thì lập thành 1 nhóm màu: xanh, đỏ, vàng. 100 viên bi thì có số nhóm là: 100 : 3 = 33 nhóm (dư 1 viên bi) Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp được 33 nhóm, còn dư 1 viên của nhóm thứ 34 và là viên bi đầu tiên của nhóm này. Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh. b) Một nhóm thì có 3 viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ thì cần bỏ vào hộp: 3 x 10 = 30 viên bi. Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ 2 của nhóm. Vậy cần bỏ vào hộp ít nhất số viên bi là: 30 - 1= 29 viên. DÃY SỐ * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi: 	a. Chữ cái thứ 2010 trong dãy là chữ gì? 	b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? 	c. Một người đếm được trong dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? 	d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM…… hỏi chữ cái thứ 2009 trong dãy được tô màu gì? Bài 2: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT… bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu.	Hỏi chữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì? DÃY SỐ Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU ... Hỏi: a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì? b) Nếu trong dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H? Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi: 	a) Chữ cái thứ 1975 trong dãy là chữ gì?	 	b) Người ta đếm được trong dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I? 	c) Bạn An đếm được trong dãy có 1945 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao? 	d) Người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …Hỏi chữ cái thứ 2010 được tô màu gì? DÃY SỐ 4- Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số” 	Trong bài toán về dãy số thường người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật. Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho. Ở dạng 3 và 4: Học sinh phải được tự tìm ra công thức tổng quát, vận dụng một cách thành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác. Ở dạng 9: Có các yêu cầu: 	+ Tìm tổng các số hạng của dãy. 	+ Tính nhanh tổng. 	Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm số cặp rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào. 	Nếu tính nhanh tổng của các phân số phải dựa vào tính chất của phân số. 	Ở dạng 10: Đó là dãy chữ khi giải phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thể xem mỗi nhóm chữ có tất cả bao nhiêu chữ rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời của bài toán.