Các cách giải bài toán đơn điệu hàm số

1 
 Các cách giải bài toán đơn điệu hàm số 
Lý thuyết 
1) Giả sử hàm số y f x( ) có tập xác định D. 
+ Hàm số f đồng biến trên D  y x D0,    và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. 
+ Hàm số f nghịch biến trên D  y x D0,    và y 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. 
2) Tính chất tam thức bậc 2. 
+) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 
𝑎 > 0
∆≤ 0
+) 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 
𝑎 < 0
∆≤ 0
3) 
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) max ( )     ; 
a b
g x m x a b g x m
( ; )
( ) , ( ; ) min ( )     
Ví dụ ( ĐH A, A1-2013): Cho hàm số 𝑦 = −𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑚𝑥 − 1 (1) 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=0 
b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên (0, +∞) 
Giải: b) 
Cách 1: Ta có: 𝑦 ′ = −3𝑥2 + 6𝑥 + 3𝑚 
 Để hs (1) nghịch biến trên (0, +∞) khi và chỉ khi 𝑦 ′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) 
↔ 𝑚 ≤ 𝑥2 − 2𝑥 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) 
Xét hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥 ∈ (0, +∞) 
Có 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 2 
 𝑓′ 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 1 
BBT: 
x 0 1 +∞ 
f’(x) - 0 + 
f(x) 0 +∞ 
 -1 
Suy ra: 𝑚 ≤ −1 
Cách 2: Ta có: 𝑦 ′ = −3𝑥2 + 6𝑥 + 3𝑚 
 Để hs (1) nghịch biến trên (0, +∞) khi và chỉ khi 𝑦 ′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) 
↔ 𝑚 ≤ 𝑥2 − 2𝑥 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) 
Xét hàm số 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥 ∈ (0, +∞) 
2 
Vẽ đồ thị hs 
x 0 
−
𝑏
2𝑎
= 1 
2 
 y 0 -1 0 
Đường thẳng y = m tiếp xúc 
hoặc nằm dưới đồ thị khi và 
chỉ khi 𝑚 ≤ −1. 
Vậy : 𝑚 ≤ −1. 
Cách 3: Ta có: 𝑦 ′ = −3𝑥2 + 6𝑥 + 3𝑚 
 Để hs (1) nghịch biến trên (0, +∞) khi và chỉ khi 𝑦 ′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ (0, +∞) 
+) Xét TH1: 𝑦 ′ ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 ↔ −𝑥2 + 2𝑥 + 𝑚 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑅 
↔ 
𝑎 < 0
∆≤ 0
↔ 
−1 < 0
22 − 4. −1 . 𝑚 ≤ 0
↔ 𝑚 ≤ −1 
+) Xét TH2: y’ có hai nghiệm phân biệt 𝑥1, 𝑥2. 
BBT 
 x −∞ 𝑥1 𝑥2 +∞ 
 y’ - 0 + 0 - 
Để hs nghịch biến trên (0, +∞) ↔ 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 0 ↔
 𝑎 ≠ 0
∆> 0
𝑆 < 0
𝑃 ≥ 0
↔
−3 ≠ 0
36 + 36𝑚 > 0
−
6
−3
< 0
3𝑚
−3
≥ 0
∄𝑚 
Vậy : 𝑚 ≤ −1 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1. Cho 
3
1
)2(3)1(
3
1 23  xmxmmxy . Tìm m để hàm số đồng biến trên [1,  ). 
Bài 2: Tìm m để hàm số :    xmxm
x
y 71
3
2
3
 đồng biến trên (2, +). 
 1 2 0 
-1 
y 
x