Chuyên đề luyện thi đại học phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh đại học

h thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a; 
BA=BC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A 
trên SB. 
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông 
b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) 
Câu 40) Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là 1 tam giác vuông. SA=SB=BS=a. Gọi M, N, 
E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao 
điểm của AD và (SMN) 
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI 
b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI 
Câu 41) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có các cạnh AB=AD=a; AA’= 3
2
a
và góc 
BAD=600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc 
với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối chóp ABDMN. 
Câu 42) Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông 
góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho 3
3
aAM = , 
mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp SBCNM. 
Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAD=600. SA vuông 
góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a. Gọi C’ là trung điểm của SC, mặt phẳng (P) đi qua AC’ và 
song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối 
chóp SAB’C’D’. 
Câu 44) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh 
bên AA’=b. Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tanα và thể tích khối chóp 
A’BB’CC’. 
Câu 45) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy =a. Gọi SH là đường cao của hình 
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp 
SABCD. 
 19 
Câu 46) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh =a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao 
cho: 2
3
aCK = . Mặt phẳng α đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành 2 
khối đa diện. Tính thể tích của 2 khối đa diện đó. 
Câu 47) Cho 1 hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có 2 đỉnh liên tiếp A; B nằm trên 
đường tròn đáy thứ nhất, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 cùa hình trụ. Mặt phẳng 
(ABCD)tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. 
Câu 48) Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là 2 đường sinh. Biết SO=3a, 
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bẳng a, diện tích tam giác SAB=18a2. Tính thể tích và 
diện tích xung quanh. 
Câu 49) Cho hình trụ có 2 đáy là 2 hình tròn tâm O và O’. Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 
a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấyđiểm B sao cho 
AB=2a. 
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ 
b) Tính thể tích tứ diện OO’AB. 
Câu 50) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp 1 hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích 
khối chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ. (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình 
cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp). 
Câu 51) Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh bên bằng a. Các mặt bên hợp với mặt 
phẳng đáy một góc α . Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp. 
Câu 52) Cho hình chóp SABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. 
Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính thể tích 
khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD biết SA=h. 
Câu 53) Hình cầu đường kính AB=2R. Lấy H trên AB sao cho AH=x ( 0<x<2R). Mặt phẳng (P) 
vuông góc với AB tại H cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn (C), MNPQ là hình vuông nội 
tiếp trong hình tròn giao tuyến (C). 
a) Tính bán kính đường tròn giao tuyến. Tính độ dài MN, AC. 
b) Tính thể tích khối đa diện tạo bởi 2 hình chóp AMNPQ và BMNPQ. 
Câu 54) Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AC=BD=a; AD=b. Hai mp(ACD) và (BCD) vuông góc 
với nhau. 
a) Chứng minh tam giác ACD vuông. 
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Câu 55) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy bằng a, tâm đáy là O, chiều cao SH=
2
a
a) CMR tồn tại mặt cầu O tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính của 
mặt cầu 
b) (P) là mặt phẳng song song với (ABCD) và cách (ABCD) một khoảng x(0<x<R). Std là 
diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp (bỏ đi phần diện tích nằm trong mặt cầu) Xác 
định x để Std= 2Rpi 
Câu 56) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy và chiều cao cùng bằng a. Gọi E, K lần 
lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. 
a) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SEBK 
b) Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp SEBK. 
Câu 57) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên tạo với cạnh 
đáy 1 góc 300. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
 20 
ĐÁP SỐ: 
Câu 1) ĐS: 1
2
Câu 2) 
3 2 6) ; )
6 6
a a
a b 
Câu 3) 
316
45
a S 
Câu 4) 8 3 
Câu 5) 3 5
10
V = 
Câu 6) 
) 20 5; 10 5b V V= = 
Câu 7) 60 34 ( )
17
cm 
Câu 8) 
2 10 ( )
16
aS dvdt= 
Câu 10) 21
7
Câu 11) 
32 57 3 3) ; )
19 50
a a
a b
Câu 12) 
3 2
12
aV =
Câu 13) 
3
2
4 3
;cos
3cos .sin 3
a
α
α α
=
Câu 14) 
3 2
36
aV =
Câu 15) 
34 2 5
;
9 5
a aV d= = 
Câu 16) 33 15
5
V a= 
Câu 17) 
39
208
aV =
Câu 18) V=3a3 
2 2
2 2 2
' ' '
2 3
tan ;
3
6A BB CC
b a
a
a b aV
α
−
=
−
=
Câu 19) 
3
6
aV = 
Câu 20) 2
2
aAH = 
Câu 21) 
3 3 52 ;
10
aV a h= = 
Câu 22) 
3 6
12
aV = 
Câu 23) 
3 3
12
aV = 
Câu 24) 
3
16
aV =
Câu 25) 
33 3) ; )
4 6
a a
a b
Câu 26) 
3
)
36
a
c
Câu 27) 
3 2 7) ; )
2 7
a a
a b
Câu 28) 
33 5
;cos
3 5
a aV ϕ= =
Câu 29) 
3
3) ; )
3
a
a a b
Câu 30) 
3 1
;cos
2 4
aV α= =
Câu 31) 
3 3
96
aV = 
Câu 32) 5
3
ad = 
Câu 33) 3 13
13
ad = 
Câu 34) 
32
27
aV = 
Câu 35) 
3 6
12
RV = 
Câu 36) 
3 3
12
aV = 
Câu 37) 10
30
ad = 
Câu 38) 2
4
ad = 
Câu 39) 
3
ah = 
Câu 40) 
3
36
aV = 
Câu 41) 
33
16
aV = 
Câu 42) 
310 3
27
aV =
Câu 43) 
33
18
aV =
Câu44
2 2
2 2 2
' ' '
2 3
tan ;
3
6A BB CC
b a
a
a b aV
α
−
=
−
=
Câu 45) 
3
2 2
2
.
3 16
a bV
a b
=
−
Câu 46) 
3 3
1 2
2
;
3 3
a aV V= =
Câu 47) 
3
2
3 2 ( );
16
3
2xq
aV dvtt
aS
pi
pi
=
=
 21 
Câu 49) 
2 3
3
4 ; ;
3 ( )
12
TP
OOAB
S a V a
aV dvtt
pi pi= =
=
Câu 50) 27 3V r= 
Một số bài tập tự luyện 
1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy là tam giác cân có BC=AB=a, góc ˆ .BAC α= Mặt phẳng 
(BA’C’) tạo với đáy lăng trụ một góc
6
piβ = . 
Tính thể tích lăng trụ theo ,a α 
Tính diện tích BA’C’ và tính khoảng cách từ đỉnh B’ đến mặt phẳng (BA’C’). 
2) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt 
bên (BCC’B’) một gócα . Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC’. 
Chứng minh ˆAIJ α= 
Tính theo a thể tích khối lăng trụ. 
3) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C” đáy là tam giác đều. Tam giác ABC’ có diện tích bằng 3 và 
tạo với đáy một gócα thay đổi 0
2
pi
α
 
< < 
 
. Tìm α để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. 
4) Cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, CA=CB=a. Mặt 
phẳng (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC) , ˆ' 3, 'AA a A AB= nhọn. Góc của mặt phẳng 
(A’AC) và (ABC) bằng 060 . Tính thể tích khối lăng trụ. 
5) Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ 
lên mặt phẳng (ABC) trùng với O là tâm đường tròn (ABC). Biết ˆ '
4
BAA pi= . Tính thể tích và 
diện tích xung quanh của lăng trụ theo a. 
6) Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A với AB=a, BC=2a. Mặt bên 
ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, 2 mặt này tạo 
nhau 1 gócα . 
Xác định gócα 
Tính theo a vàα thể tích hình lăng trụ. 
7) Cho hình hộp xiên ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. 0ˆ 60BAD = , 
AA’=A’B=AD và cạnh bên tạo với đáy gócα . 
Xác định góc α và chân đường cao vẽ từ A’ 
Tính thể tích V của hình hộp theo a vàα . 
8) Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương cạnh a. Lấy M trên cạnh AB với AM=x (0<x<a). Gọi 
(P) là mặt phẳng qua M và A’C’. 
Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình lập phương 
Tìm x để mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành 2 khối đa diện mà thể tích khối này bằng 2 
lần thể tích khối đa diện kia. 
 22 
9) Trên các cạnh SA,SB của tứ diện SABC lấy các điểm M,N sao cho 1 , 2
2
SM SN
MA NB
= = . Một 
mặt phẳng (α )đi qua MN và song song với SC chia tứ diện thành 2 phần . Tính tỉ số thể tích hai 
phần đó. 
10) Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a và 
ˆABC α= . Gọi H là hình chiếu của S trên BC. 
Tính thể tích khối chóp SABC theo a và 
Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAH). 
Cho (P) là mặt phẳng qua A , trọng tâm tam giác SBC và song song với BC chia khối chóp 
SABC thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần 
11) Cho khối chóp DABC có mặt (DBC) vuông góc với đáy , các mặt bên (DAB) và (DAC) 
cùng hợp với đáy góc 0( 90 )α α < . Tính thể tích của khối chóp trong các trường hợp sau 
a) ABC là tam giác vuông tại A có AB = a , AC = 2a ; 
b) ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. 
12) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a. 
Góc giữa các mặt bên và mặt đáy làα . 
Tính thể tích khối chóp theo a và α 
Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất. 
13) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm 
của AB, AD, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và 3SH = . 
Tính thể tích khối chóp SCDNM và khoẳng cách giữa DM và SC theo a (A 2010) 
14) Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có AB=a góc tạo bới (A’BC) và (ABC) bằng 600. 
Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại 
tiếp khối chóp GABC theo a. (B 2010) 
15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA=a. Hình chiếu vuông 
góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho 
4
ACAH = . Gọi CM là đường cao tam giác 
SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích SMBC theo a. (D 2010)