Chương 1: Công thức lượng giác

30 tg40 tg50 tg60 cos20
3
+ + + = o
( )sin a btga tgb
cosa cos b
++ = Áp dụng : 
Ta có : )o( ) (o o otg50 tg40 tg30 tg60+ + + 
o o
o o o
sin90 sin90
cos50 cos40 cos30 cos60
= + o
o o
o
1 1
1sin40 cos40 cos30
2
= + 
o o
2 2
sin80 cos30
= + 
o o
1 12
cos10 cos30
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
o o
o o
cos30 cos102
cos10 cos30
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎝ ⎠
p o
o o
s20 cos10 co4
cos10 cos30
=
o8 3 cos20
3
= 
Bài 19 : Cho ABCΔ , Chứng minh : 
 a/ A B CsinA sinB sinC 4cos cos cos
2 2
+ + = 
2
A b/ B CcA cosB cosC 1 4sin sin sin
2 2 2
+ + = + so
 c/ sin 2A sin 2B sin 2C 4sin A sinBsinC+ + = 
 d/ 2 2A 2cos cos B cos C 2cosA cosBcosC+ + = − 
 e/ tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC+ + = 
 f/ =cot gA.cot gB cot gB.cot gC cot gC.cot gA 1+ + 
 g/ + + =A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g
2 2 2
C
2 2
2
a/ Ta có : ( )A B A BsinA sinB sinC 2sin cos sin A B
2 2
+ −+ + = + + 
A B A B A B2sin= cos cos
2 2 2
+ − +⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ 
+ π⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
C A B A B C4cos cos cos do
2 2 2 2 2 2
−
b/ Ta có : 
( )A B A BcosA cosB cosC 2cos cos cos A B
2 2
+ −+ + = − + 
2A B A B A B2cos cos 2cos 1
2 2 2
+ − +⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠ −
A B A B A B2cos cos cos 1
2 2 2
+ − +⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ +
A B A B4cos sin sin 1
2 2 2
+ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠ = −
C A B4sin sin sin 1
2 2 2
= + 
( ) ( )sin2A sin2B sin2C 2sin A B cos A B 2sinCcosC+ = + − + c/ 
= − +2sinCcos(A B) 2sinCcosC 
= − −2sinC[cos(A B) cos(A B) ] +
d/ 2
= − −4sinCsinAsin( B) 
= 4sinCsin A sinB 
+ +2 2cos A cos B cos C 
( ) 211 cos2A cos2B cos C
2
= + + + 
( ) ( ) 21 cos A B cos A B cos C= + + − + 
( )1 B= cosC cos A− −⎡ ⎤⎣ ⎦ do ( )( )cos A B cosC+ = − cosC−
( ) ( )1 cosC cos A B cos A B= − − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ 
1 2cosC.cosA.cosB= − 
e/ Do nên ta có 
g A B tgC+ = − 
 a b C+ = π −
( ) t
tgA tgB tgC
1 tgAtgB
+ = −− ⇔ 
⇔ tgC tgA tgB tgC tgAtgB+ = − +
⇔
a có : cotg(A+B) = - cotgC 
 tgA tgB tgC tgAtgBtgC+ + = 
f/ T
1 tgAtgB cot gC⇔ 
tgA + tgB
− = − 
⇔ cot gA cot gB 1 cot gC
cot gB cot gA
− = −+ (nhân tử và mẫu cho cotgA.cotgB) 
⇔ =
g/ Ta có : 
cot gA cot gB 1 cot gCcot gB cot gA cot gC− = − − ⇔ 
 cot gA cot gB cot gBcot gC cot gA cot gC 1+ + 
A B Ctg cot g
2 2
+ = 
⇔ 
A Btg tg C2 2 cot gA B 21 tg tg
2 2
+
=
−
A Bcot g cot g C2 2 cot gA B 2cot g .cot g 1
2 2
+
=
−
 .cotg B
2
A
2
⇔ (nhân tử và mẫu cho cotg ) 
⇔ A B A B C Ccot g
2
+ cot g cot g cot g cot g cot g
2 2 2 2 2
= − 
A B C A B⇔ C.cot g .cot g
2 2 2
Bài 20 :
cot g cot g cot g cot g
2 2 2
+ + =
ABC . Chứng minh : Cho Δ
cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + 1 = 0 
Ta có : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) 
= 2 cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C 
= - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C 
= - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC 
Do đó : cos2A + cos2B + cos2C + 1 + 4cosAcosBcosC = 0 
Bài 21 : ABCΔ Cho . Chứng minh : 
3A 3B 3C4sin sin sin
2 2
 cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 
2
Ta có : (cos3A + cos3B) + cos3C 
23 32cos (A B)cos (A B) 1 2sin
2 2
= + − + − 3C
2
Mà : A B C+ = π − nên ( )3 3A B
2 2
+ = π − 3C
2
=> ( )3cos A B cos+ = 3 3C
2 2 2
π⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
3Ccos
2 2
π⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
3Csin
2
= − 
Do đó : cos3A + cos3B + cos3C 
( ) 23 A B3C 3C2sin cos 2sin 1
2 2 2
−= − − + 
( )3 A B3C 3C2sin cos sin 1
2 2 2
−⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )3 A B3C 32sin cos cos A B 1
2 2 2
= − − +⎢⎣
−⎡ ⎤ +⎥⎦
−= +3C 3A 3B4sin sin sin( ) 1
2 2 2
3C 3A 3B4sin sin sin 1
2 2 2
= − + 
Bài 22 : A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh : 
sinA sinB sinC A B Ctg tg cot g
cosA cosB cosC 1 2 2 2
+ − =+ − + 
2
A B A B C C2sin cos 2sin cossinA sinB sinC 2 2 2
A B A B CcosA cosB cosC 1 2cos cos 2sin
2 2 2
2
+ − −+ − = + −+ − + +
 Ta có : 
C A B C A B A2cos cos sin cos cosC2 2 2 2 2cot g .
B
A B AC A B C 2 cos cos2sin cos sin
2 22 2 2
−⎡ ⎤
B
− +− −⎢ ⎥⎣ ⎦= = − +−⎡ ⎤ ++⎢ ⎥⎣ ⎦
A B2sin
C 2 2
− .sin
cot g . A B2 2cos .cos
2 2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠= 
C A Bcot g .tg .tg
2 2
= 
2
Bài 23 : Cho ABCΔ h : . Chứng min
A B C B C A C A Bsin cos cos sin cos cos sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ + 
( )A B C A B B C A Csin sin sin gtg tg tg t tg tg *
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + + + 
ATa có : B C
2 2 2
+ π= − vậy A B Ctg cot g
2 2 2
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
⇔ 
A Btg tg 12 2
A B C1 tg tg tg
2 2 2
+
=
−
⇔ A B C Atg tg tg 1 tg tg
2 2 2 2
⎡ ⎤+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦ 
B
2
⇔ ( )A C B C A Btg tg tg tg tg tg 1 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
 A B C B C Ac sin cos cos C A Bsin os cos sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
+ + Do đó : (*) Ù
A B Csin sin sin 1
2 2 2
= + (do (1)) 
A B C B C A B C C Bsin
2
⇔ cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
⇔ A B C A B Csin cos cos sin 1
2 2 2 2
+ ++ = 
⇔ A B Csin 1
2
+ + = π⇔ =sin 1
2
 ( hiển nhiên đúng) 
Bài 24 : ( )A B C 3 cosA cosB cosCtg tg tg *
2 2 2 sinA sinB sinC
+ + ++ + = + + Chứng minh : 
Ta có : 
2A B A B CcosA cosB cosC 3 2cos cos 1⎡ 2sin 3
2 2 2
+ − ⎤+ + = + +⎥⎣ ⎦ −⎢+
2C A B2sin cos 4 2s C
2 2 2
− in= + − 
C A B C2sin cos sin 4
2 2 2
−⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ =
C A B A B2sin cos cos 4
2 2 2
− +⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ =
C A Bin4sin sin .s 4
2 2 2
+ (1) =
A B A BsinA sinB sinC 2sin cos sinC
2 2
+ −+ + = + 
C A B C2cos cos 2sin cos
2 2 2
C
2
−= + 
C A B A B2cos cos cos
2 2 2
− +⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
C A B 
Từ (1) và (2) ta có : 
4cos cos cos
2 2 2
= (2)
(*) ⇔ 
A B C A B Csin sin sin sin sin sin 1
2 2 2 2 2 2
A B C A B Ccos cos cos cos co
+
s cos
2 2 2 2 2 2
+ + = 
A B C B A C C A Bsin cos cos sin cos cos sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 
⎤⎥⎦
⇔ 
 A B Csin sin sin 1
2 2 2
= + 
⇔ A B C B C A B C C Bsin cos cos sin sin cos sin cos sin cos 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡− + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ 
⎤ =⎥⎦
⇔ A B C A+ B Csin .cos cos sin 1
2 2 2 2
++ = 
A⇔ B C 1
2
+ + ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ sin
⎡
⇔ sin π 1
2
= ( hiển nhiên đúng) 
Bài 25 : . Chứng minh: 
A B Csin sin sin
2 2 2 2B C C A A Bcos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+ + = ABCΔ Cho 
Cách 1 : 
Ta có : 
A B A A Bsin sin sin cos sin cos
2 2 2 2 2
B C C A
B
2
B Ccos cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2
+
+ = 
A
A B Asin cos BsinA sinB 2 2
+
1
A B C A B C2 cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
−
+ = =
−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= =
A BC A B coscos .cos 22 2
A B C Acos .cos .cos cos cos
2 2 2 2
 B
2
Do đó : Vế trái 
A B C A B Acos sin cos cos2 2 2
A B A B A Bcos cos cos cos cos cos
2 2 2 2
B
2
2
−⎛ ⎞ − ++⎜ ⎟⎝ ⎠= + = 
2
A B2cos cos
2 2 2A Bcos cos
2 2
= = 
Cách 2 : 
B C A C A Bcos cos cos
2 2
B C C A A Bcos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2
+ + +
= + + 2
2
Ta có vế trái 
B C B C A C A Ccos cos sin sin cos cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2
B C C Acos cos cos cos
2 2 2 2
− −
= + 2
A B Acos cos sin sin
2 2 2
A Bcos cos
2 2
−
+ 
B
2
B C A C A B3 g tg tg tg tg tg t
2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
Mà : A B B C A Btg tg tg tg tg tg 1
2 2 2 2 2 2
+ + = 
(đã chứng minh tại b
Do đó : Vế trái = 3 – 1 = 2 
Bài 26 :
ài 10 ) 
. Có A B Ccot g ,cot g ,cot g
2 2
ABCΔ Cho 
2
 theo tứ tự tạo cấp số cộng. 
A Ccot g .cot g 3
2 2
= Chứng minh 
A B Ccot g ,cot g ,cot g
2 2
Ta có : 
2
 là cấp số cộng 
⇔ A C Bcot g cot g 2cot g
2 2
+ = 
2
⇔ 
+
=
A Csin 2cos
2 2
B
A C Bsin sin sin
2 2 2
⇔ 
Bcos 2cos
2 2
B
A C Bsin sin sin
2 2 2
= 
 nên Bcos 0
2
>⇔ = +
1 2
A C A Csin sin cos
2 2 2
 (do 0<B<π ) 
⇔ 
A C A Ccos cos sin sin
2 2 2 2 2A Csin .sin
2 2
−
 ⇔ A Ccot g cot g 3=
2 2
= 
Bài 27 :
ABCΔ Cho . Chứng minh : 
1 t+ 1 1 1 A B C A B Ctg tg tg cot g co g cot g
sin A sinB sinC 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤+ = + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ 
A B C A Bcot g cot g cot g cot g .cot g .cot g
2 2 2 2 2
+ + = Ta có : C
2
(Xem chứng minh bài 19g ) 
Mặt khác : sin cos 2tg cot g
cos sin sin2
α αα + α = + =α α α 
1 A B C A B Ctg tg tg cotg cotg cotg
2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤+ + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ Do đó : 
1 A B C 1 Acotg⎡ +⎢
B Ctg tg tg cotg cotg
2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 2
1 A A 1 B B 1 C Ctg cot g tg cot g tg cot g
2 2 2 2 2 2 2 2 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 
⎤⎥⎦
1 1 1
sinA sinB sinC
= + + 
BÀI TẬP 
1. Chứng minh : 
a/ 2 1cos cos
5 5
π π− = 
2
b/ 
o o
o o
cos15 sin15 3
cos15 sin15
+ =− 
2 4 6cos cos cos
7 7 7
π π π+ + = c/ 1
2
−
d/ 3+ =3 3sin 2xsin6x cos 2x.cos6x cos 4x 
o o o otg20 .tg40 .tg60 .tg80 3= e/ 
π π π π+ + + =2 5 π3tg tg tg cos
6 9 18 3 3 9
 8tgf/ 
7
2 3 4 5 6 7 1os .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15 2
π π π π π π = c πg/ 
h/ tgx.tg x .tgπ⎡ ⎤−⎢ ⎥ x tg3x3 3
π⎡ ⎤+ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
k/ o o o otg20 tg40 3tg20 .tg40 3+ + = 
o o o 3sin 20 .sin 40 .sin 80e/ 
8
= 
m/ o o o otg5 .tg55 .tg65 .tg75 1= 
( )
2. Chứng minh rằng nếu ( ) (x y 2k 1 k z
2
π+ ≠ + ∈⎪⎩ )
x y+
 thì 
sin x 2sin=⎧⎪⎨
sin( )
cos
ytg x y
y
+ = − 2 
3. Cho có 3 góc đều nhọn và A B C≥ ≥ ABCΔ
a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 
b/ Đ
Chứng minh (p-1)(q-1)
ặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q 
4 
4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x : 
a/ 
≥
( ) ( )4 2 4 2 2 2A sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1= + + + + +
( ) ( )8 8 6 6B 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x= − + − + b/ 4
c/ ( ) ( ) ( ) ( ) (2 2C cos x a sin x b 2cos x a sin x b sin a b= − + − − − − − )
5. Cho , chứng minh : ABCΔ
cosC cosBcota/ gB cot gC
sinBcosA sinCcosA
+ = + 
b/ 3 3 3 A B CC 3cos cos cos co 3A 3B 3Cs cos cos
2 2 2 2 2 2
= + sin A sin B sin+ +
A B C B A CsinA sinB sic/ nC scos .co cos .cos
2 2 2 2
− −+ + + =
C Acos .co B
2 2
−s+ 
otgAcotgB + cotgBcotgC + cotgC otgA = 1 
s C 1 2cosA cosBcosC= − 
in3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0 
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
d/ c c
e/ 2 2cos A cos B co+ + 2
f/ s
1 1y
sin x cos x
= + với 0 x
2
π< < a/ 
π= + +9y 4x sin x
x
 với 0 x< < ∞ b/ 
2y 2sin x 4sin x cos x 5= + + c/ 
7. Tìm giá trị lớn nhất của : 
a/ y sin x cos x cos x sin x= + 
b/ y = sinx + 3sin2x 
c/ 2y cos x 2 cos x= + − 
TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn